Vídeo: Determinar a Inversa de uma Função

Aprenda a determinar a inversa de uma função. Explicamos o que a função inversa representa e veremos exemplos para os quais o domínio e o contradomínio incluem valores reais, assim como alguns domínios e contradomínios restringidos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos algumas funções e os seus gráficos, e falaremos sobre o conceito de uma função e sua inversa. Além disso, veremos os passos algébricas para determinar a inversa de uma função e testar essa técnica em algumas questões típicas. Primeiro, vejamos a função 𝑓 de 𝑥 igual a um meio 𝑥 mais três. E para trabalhar com esta função, primeiro inserimos um valor de 𝑥, a seguir a função diz-nos quanto é metade desse número, e adicionamos três ao resultado, e sai a resposta. E se representarmos o gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, ficaria assim, onde a reta representa a correspondência entre todos os possíveis valores dos objetos para os seus valores de imagem. E podemos utilizar este gráfico para calcular também os valores de 𝑦 de um determinado valor de 𝑥. Portanto, se nos dessem um valor de um objeto, digamos quatro, poderíamos localizá-lo na reta e depois ir até ao eixo O𝑦 para obter a coordenada em O𝑦 correspondente ou o valor da imagem da função. Portanto, se nos derem o valor de 𝑥, podemos utilizar a função para determinar o valor de 𝑦 correspondente no gráfico ou utilizando a equação 𝑦igual a um meio 𝑥 mais três. Agora, é importante lembrar que, nesta função específica, qualquer valor real de 𝑥 é válido para objeto. O domínio ou o conjunto dos números que pode inserir nesta função são todos os números reais. E como esta reta segue infinitamente nesta direção e nesta direção, o contradomínio ou o conjunto das imagens possíveis também é o conjunto completo de números reais no eixo 𝑦.

Agora, voltaremos a estas duas coisas, o contradomínio e o domínio, mais adiante neste vídeo. Voltando à função que estávamos a ver, e se nos dessem um valor 𝑦 e quiséssemos determinar o 𝑥 ou valor do objeto correspondente? Bem, poderíamos ler de trás para frente no gráfico, para que pudéssemos ver nosso valor no eixo O𝑦; podemos ir até à reta e depois descer e simplesmente ler a coordenada em 𝑥 correspondente. Mas seria ótimo ter uma boa equação que pudéssemos utilizar sem precisar de desenhar o gráfico. Bem, é claro que podemos utilizar as nossas habilidades de álgebra para reorganizar a equação original e isolar 𝑥. Portanto, se 𝑦 é igual a um meio 𝑥 mais três, eu poderia subtrair três de ambos os membros para obter 𝑦 menos três igual a um meio 𝑥 mais três menos três. Bem, estas duas coisas anulam-se, de modo que 𝑦 menos três é igual à um meio 𝑥. A seguir, posso multiplicar ambos os membros por dois para me dar dois 𝑦 menos seis igual a 𝑥 ou 𝑥 igual a dois 𝑦 menos seis. E podemos simplesmente substituir valores por 𝑦, fazer o cálculo e determinar o valor correspondente de 𝑥. Portanto, este processo e estas ideias são a base das funções inversas.

Agora vimos como o gráfico transforma todos os valores dos objetos do domínio nos valores das imagens correspondentes no contradomínio. Bem, a função inversa transforma todos os valores originais do contradomínio nos valores originais do domínio. Agora, se pudéssemos virar os eixos O𝑥 e O𝑦, poderíamos definir uma nova função que transforma qual está o contradomínio no que está no domínio. É assim que determinamos a função inversa; é o contrário da função original. Então, aqui está o gráfico da função original. Agora vamos adicionar a reta 𝑦 igual a 𝑥. Em seguida, podemos refletir tudo na reta 𝑦 igual a 𝑥, que efetivamente troca os eixos e nos dá uma nova função 𝑦 igual à inversa da função original. Portanto, a função e a sua inversa são imagens espelhadas na reta 𝑦 igual a 𝑥. Portanto, observe como dois corresponde a quatro na função original e quatro corresponde a dois na função inversa. É disso que se trata as funções inversas. E voltando brevemente ao domínio e ao contradomínio, o que era o domínio da função original agora foi trocado para o eixo O𝑦 na função inversa. Portanto, o domínio da função original torna-se o contradomínio da função inversa, e o que era o contradomínio da função original torna-se o domínio da função inversa.

Certo, vamos dar alguns exemplos e falar sobre isso. Então, primeiro vamos terminar este exemplo que analisámos: determine a função inversa para 𝑓 de 𝑥 igual a um meio 𝑥 mais três. Agora, provavelmente, a maneira mais fácil de abordar estas questões é trocar 𝑥 e 𝑦 na equação e, em seguida, reorganizar para isolar o novo 𝑦. Então, trocando os 𝑥’s e 𝑦’s ​​agora temos 𝑥 igual a um meio 𝑦 mais três. E, como fizemos antes, agora podemos refazer isto. Subtraindo três de ambos os membros, temos x menos três igual a um meio y. E, fazendo o dobro dos dois membros, temos dois 𝑥 menos seis igual a y. E isto dá-nos a nossa função inversa. Esta é a função que faz corresponder todas as imagens antigas nos objetos originais. É a equação desta reta aqui, a nossa reta da função inversa.

Agora determine a função inversa, dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 menos dois. Portanto, escreva 𝑦 igual a três 𝑥 menos dois, troque 𝑥 e 𝑦 na equação e depois reorganize para isolar 𝑦. E isso dá a nossa função inversa. Portanto, os dois exemplos que vimos até agora têm domínios e contradomínios que incluem todos os números reais; portanto, são questões relativamente fáceis de fazer. Mas quando vê questões um pouco mais complicadas, às vezes precisa de pensar cuidadosamente sobre o domínio e o contradomínio. Determine a função inversa, dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a três mais a raiz cúbica de 𝑥. Depois de começar a ver coisas como raiz cúbica e raiz quadrada, deve tomar atenção. Mas, na verdade, com a raiz cúbica, novamente um domínio e um contradomínio contêm todos os números reais, pelo que não temos que nos preocupar. Então, escrevemos a nossa equação, 𝑦 igual a três mais a raiz cúbica de 𝑥, trocamos as variáveis ​​𝑥 e 𝑦 e, em seguida, reorganizamos para isolar 𝑦. E, novamente, isso dá-nos a nossa função inversa, a função que transforma os valores originais de 𝑦 nos valores originais de 𝑥.

Agora, precisamos de determinar a inversa da função 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑥 mais três. Bem, há algumas coisas que precisamos de pensar aqui: a função de raiz quadrada é definida como sendo apenas as raízes quadradas positivas e, como não podemos determinar a raiz quadrada de números negativos, não há soluções reais, os valores de 𝑥 aqui devem ser maiores ou iguais a zero. Portanto, o domínio para esta função deve ser 𝑥 maior ou igual a zero. Agora, se 𝑓 de 𝑥 fosse igual à raiz quadrada de 𝑥, o gráfico parecer-se-ia com isto. Mas estamos a adicionar três a todos estes valores, pelo que a curva sobe para algo parecido com isto. Então, o nosso domínio era que 𝑥 tinha que ser maior ou igual a zero, mas isto tem a implicação de que os valores de 𝑦 acabarão por ser maiores ou iguais a três. Portanto, precisamos de ter isto em mente quando pensarmos na nossa resposta. Então, novamente, vamos começar por escrever a equação da função, então 𝑦 igual à raiz quadrada de 𝑥 mais três, depois trocaremos as variáveis ​​𝑥 e 𝑦, e, em seguida, vamos reorganizar para isolar 𝑦. Então, podemos subtrair três de ambos os membros e depois aplicar o quadrado. E isso dá-nos a nossa função inversa 𝑦 igual 𝑥 menos três tudo ao quadrado ou inversa de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos três tudo ao quadrado. Mas lembre-se de que o processo de reorganizar e trocar as variáveis ​​𝑥 e 𝑦 teve como objetivo refletir na reta 𝑦 igual a 𝑥. Portanto, esta é a curva que estávamos à procura, mas 𝑦 igual a 𝑥 menos três ao quadrado, na verdade, continua aqui para cima, assim. Então, na verdade não queremos este pedaço. Mas lembre-se, o contradomínio da função original passa a domínio da função inversa. Portanto, se definirmos o nosso novo domínio como 𝑥 maior ou igual a três, estaremos apenas a analisar a parte da curva em que estamos interessados. Agora, lembre-se, trocámos 𝑥 e 𝑦 quando estávamos a fazer o cálculo, então trocámos 𝑥 e 𝑦 no domínio e no contradomínio também. Esta será a nossa resposta: a inversa da função de 𝑥 é 𝑥 menos três tudo ao quadrado, e isto só funciona para 𝑥 maior ou igual a três.

Ok, então, um último exemplo: determine a inversa da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos dois tudo ao quadrado menos três, onde 𝑥 é maior que ou igual a dois. Agora, antes de tentarmos esta questão, vamos tentar esboçar a função com que iniciamos. Vamos começar por ver que parece haver algum tipo de variação no 𝑥 quadrado. Portanto, se começarmos com a função 𝑥 ao quadrado, esta parte entre parênteses aqui é uma translação de 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado de dois positivo na direção em O𝑥. E depois estamos a retirar três de todos estes resultados, as coordenadas em 𝑦, para que seja uma translação de menos três na direção em O𝑦. Então, fazendo isto primeiro, temos 𝑦 igual a 𝑥 menos dois tudo ao quadrado se pareceria com 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado deslocado para a direita duas unidades. E depois baixando-o três unidades vai parecer-se com algo assim. Portanto, este ponto mínimo passaria para menos três, mas ainda teria uma coordenada em 𝑥 de dois. Mas a questão dizia que o domínio era apenas quatro 𝑥 maior ou igual a dois, então esta parte da curva sobe aqui. Pelo que podemos apagar tudo o resto. Portanto, a função resultante será assim. Agora vamos pensar nos nossos domínio e contradomínio.

Bem, a questão disse-nos que os valores de 𝑥 que poderíamos utilizar para objetos eram maiores ou iguais a dois, então o nosso domínio é maior ou igual a dois. E isso está a gerar apenas as respostas que são maiores ou iguais a menos três, portanto o contradomínio pode conter apenas as respostas de 𝑦 que são maiores ou iguais a menos três. Agora, pensando bem, podemos continuar e tentar resolver a questão. Comece por escrever 𝑦 igual a 𝑥 menos dois ao quadrado menos três, depois trocamos as variáveis ​​𝑦 e 𝑥 e reorganizamos para isolar 𝑦. Então, primeiro podemos adicionar três a ambos os membros, depois podemos aplicar as raízes quadradas a ambos os membros e, finalmente, adicionar dois aos dois membros. E depois de trocarmos as nossas variáveis 𝑥 e 𝑦, agora precisamos de trocar o domínio e o contradomínio. Portanto, agora o domínio não é 𝑥 maior ou igual a dois, mas é maior que ou igual a menos três, que era o contradomínio dos valores de 𝑦 na função inicial. Agora, se pensarmos na reflexão em 𝑦 igual a 𝑥, então, para a nossa função inversa, obviamente os valores 𝑥 que podemos inserir são maiores ou iguais a menos três. E se nos pedissem o contradomínio, os valores das imagens que poderíamos obter seriam maiores ou iguais a dois. Portanto, a nossa resposta final é que a função inversa de 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 mais três ou mais dois para 𝑥 maior ou igual a menos três.

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