Video Transcript
Neste vídeo, veremos algumas funções e os seus gráficos. E falaremos sobre o conceito de uma função e a sua inversa. E também veremos os passos algébricas para determinar a inversa de uma função e testar esta técnica em algumas questões típicas.
Primeiro, vejamos a função 𝑓 de 𝑥 igual a um meio 𝑥 mais três. E para trabalhar com esta função, primeiro inserimos um valor de 𝑥. Em seguida, a função diz-nos quanto é metade deste número e adicionamos três ao resultado. E daqui sai a resposta. E se representássemos o gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, ficaria assim. Onde a reta representa a correspondência entre todos os possíveis valores dos objetos para os seus valores de imagem. E podemos utilizar este gráfico para calcular também os valores de 𝑦 de um determinado valor de 𝑥. Portanto, se nos dessem o valor de um objeto, digamos quatro, poderíamos localizá-lo na reta e depois ir até ao eixo O𝑦 para obter a coordenada em 𝑦 correspondente ou o valor da imagem da função. Portanto, se nos derem o valor de 𝑥, podemos utilizar a função para determinar o valor de 𝑦 correspondente, no gráfico ou utilizando a equação 𝑦 igual a um meio 𝑥 mais três.
Agora, é importante lembrar que, nesta função em particular, qualquer valor real de 𝑥 é válido para objeto. O domínio ou o conjunto dos números que pode inserir nesta função é todos os números reais. E como esta reta segue infinitamente neste sentido e neste sentido. O contradomínio ou o conjunto das imagens possíveis também é o conjunto completo dos números reais no eixo O𝑦. Agora, voltaremos a estas duas coisas, o contradomínio e o domínio, mais adiante neste vídeo.
Voltando à função que estávamos a ver, e se nos dessem um valor 𝑦 e quiséssemos determinar 𝑥 ou o valor do objeto correspondente? Bem, poderíamos ler de trás para frente no gráfico. Portanto, podemos ver o nosso valor no eixo O𝑦. Podemos ir até à reta e depois descer e simplesmente ler a coordenada em 𝑥 correspondente. Mas seria ótimo ter uma boa equação que pudéssemos utilizar sem precisar de desenhar o gráfico. Bem, é claro que podemos utilizar as nossas habilidades algébricas para reorganizar a equação original e isolar 𝑥. Portanto, se 𝑦 é igual a um meio 𝑥 mais três, eu poderia subtrair três de ambos os membros para obter 𝑦 menos três igual a um meio 𝑥 mais três menos três. Bem, estas duas coisas anulam-se. Logo, 𝑦 menos três é igual a um meio 𝑥. A seguir, posso multiplicar ambos os membros por dois para me dar dois 𝑦 menos seis igual a 𝑥 ou 𝑥 igual a dois 𝑦 menos seis.
E podemos simplesmente substituir valores em 𝑦. Fazemos o cálculo. E determinamos o valor correspondente de 𝑥. Portanto, este processo e estas ideias são a base das funções inversas. Agora, vimos como o gráfico transforma todos os valores dos objetos do domínio nos valores das imagens correspondentes no contradomínio. Bem, a função inversa transforma todos os valores originais do contradomínio nos valores originais do domínio. Agora, se pudéssemos rodar os eixos O𝑥 e O𝑦, poderíamos definir uma nova função que transforma o que está no contradomínio no que está no domínio. É assim que determinamos a função inversa. É o contrário da função original.
Então, aqui está o gráfico da função original. Agora vamos adicionar a reta 𝑦 igual a 𝑥. Em seguida, podemos refletir tudo na reta 𝑦 igual a 𝑥. Isto troca efetivamente os eixos e dá-nos uma nova função 𝑦 igual à inversa da função original. Portanto, a função e a sua inversa são imagens espelhadas na reta 𝑦 igual a 𝑥. Portanto, observe como dois corresponde a quatro na função original e quatro corresponde a dois na função inversa. É disto que se trata as funções inversas.
E voltando brevemente ao domínio e ao contradomínio. O que era o domínio da função original agora trocou para o eixo O𝑦 na função inversa. Portanto, o domínio da função original torna-se o contradomínio da função inversa. E o que era o contradomínio da função original torna-se o domínio da função inversa. Certo, ver alguns exemplos e falar sobre isto. Então, primeiro vamos terminar este exemplo que estivemos a analisar.
Determine a função inversa de 𝑓 de 𝑥 igual a um meio 𝑥 mais três.
Agora, provavelmente, a maneira mais fácil de abordar estas questões é trocar 𝑥 e 𝑦 na equação. E a seguir, reorganizar para isolar o novo 𝑦. Então, trocando os 𝑥’s e 𝑦’s, temos agora 𝑥 igual a um meio 𝑦 mais três. E, como fizemos antes, agora podemos refazer isto. Subtraindo três de ambos os membros, temos x menos três igual a um meio y. E, fazendo o dobro dos dois membros, temos dois 𝑥 menos seis igual a y. E isto dá-nos a nossa função inversa. Esta é a função que faz corresponder todas as imagens antigas nos objetos originais. É a equação desta reta aqui, a nossa reta da função inversa.
Agora determine a função inversa, dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 menos dois.
Portanto, escreva 𝑦 igual a três 𝑥 menos dois, troque 𝑥 e 𝑦 na equação e depois reorganize para isolar 𝑦. E isto dá a nossa função inversa.
Portanto, os dois exemplos que vimos até agora têm domínios e contradomínios que incluem todos os números reais. Portanto, são questões relativamente fáceis de resolver. Mas quando vê questões um pouco mais complicadas, às vezes precisa de pensar cuidadosamente sobre o domínio e o contradomínio.
Determine a função inversa, dado que 𝑓 de 𝑥 é igual a três mais a raiz cúbica de 𝑥.
Uma vez que comece a ver coisas como raiz cúbica e raiz quadrada, deve tomar atenção. Mas, na verdade, com a raiz cúbica, novamente, o domínio e o contradomínio contêm todos os números reais. Pelo que não temos que nos preocupar. Então, escrevemos a nossa equação, 𝑦 igual a três mais a raiz cúbica de 𝑥, trocamos as variáveis 𝑥 e 𝑦 e, em seguida, reorganizamos para isolar 𝑦. E, novamente, isto dá-nos a nossa função inversa, a função que transforma os valores originais de 𝑦 nos valores originais de 𝑥.
Agora, temos que determinar a inversa da função 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑥 mais três.
Bem, há algumas coisas que precisamos de pensar aqui. A função de raiz quadrada é definida como sendo apenas as raízes quadradas positivas. E, como não podemos determinar a raiz quadrada de números negativos, não há soluções reais. Os valores de 𝑥 aqui devem ser maiores ou iguais a zero. Portanto, o domínio para esta função deve ser 𝑥 maior ou igual a zero. Agora, se 𝑓 de 𝑥 fosse igual à raiz quadrada de 𝑥, o gráfico parecer-se-ia com isto. Mas estamos a adicionar três a todos estes valores. Pelo que a curva sobe para algo parecido com isto. Então, o nosso domínio era que 𝑥 tinha que ser maior ou igual a zero. Mas isto tem a implicação de que os valores de 𝑦 acabarão por ser maiores ou iguais a três. Portanto, precisamos de ter isto em mente quando pensarmos na nossa resposta.
Então, novamente, vamos começar por escrever a equação da função. Então 𝑦 igual à raiz quadrada de 𝑥 mais três. Depois trocaremos as variáveis 𝑥 e 𝑦. E, em seguida, vamos reorganizar para isolar 𝑦. Então, podemos subtrair três de ambos os membros e depois aplicar o quadrado. E isso dá-nos a nossa função inversa 𝑦 igual 𝑥 menos três tudo ao quadrado. Ou inversa de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos três tudo ao quadrado. Mas, lembre-se, de que o processo de reorganizar e trocar as variáveis 𝑥 e 𝑦 teve como objetivo refletir na reta 𝑦 igual a 𝑥. Portanto, esta é a curva que estávamos à procura. Mas 𝑦 igual a 𝑥 menos três ao quadrado, na verdade, continua aqui para cima, assim. Então, na verdade não queremos esta parte.
Mas lembre-se, o contradomínio da função original passa a domínio da função inversa. Portanto, se definirmos o nosso novo domínio como 𝑥 maior ou igual a três, estaremos apenas a analisar a parte da curva em que estamos interessados. Agora, lembre-se, trocámos 𝑥 e 𝑦 quando estávamos a fazer o cálculo. Portanto, trocámos 𝑥 e 𝑦 no domínio e no contradomínio também. Esta será a nossa resposta. A inversa da função de 𝑥 é 𝑥 menos três tudo ao quadrado. E isto só funciona para 𝑥 maior ou igual a três.
Ok, então, um último exemplo.
Determine a inversa da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos dois tudo ao quadrado menos três, onde 𝑥 é maior que ou igual a dois.
Agora, antes de tentarmos esta questão, vamos tentar esboçar a função com que iniciamos. Vamos começar por ver que parece haver algum tipo de variação em 𝑥 ao quadrado. Portanto, se começarmos com a função 𝑥 ao quadrado, esta parte entre parênteses aqui é uma translação de 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado de dois positivo na direção de O𝑥. E depois vamos a retirar três de todos estes resultados, as coordenadas em 𝑦. O que é uma translação de menos três na direção de O𝑦. Então, fazendo isto primeiro, temos 𝑦 igual a 𝑥 menos dois tudo ao quadrado se pareceria com 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado deslocado para a direita duas unidades. E depois baixando-o três unidades vai parecer-se com, oops, com algo assim. Portanto, este ponto mínimo passará para menos três. Mas ainda terá uma coordenada em 𝑥 de dois.
Mas a questão dizia que o domínio era apenas quatro 𝑥 maior ou igual a dois. Então, esta parte da curva sobe aqui. Pelo que podemos apagar tudo o resto. Portanto, a função resultante será assim. Agora vamos pensar nos nossos domínio e contradomínio. Bem, a questão disse-nos que os valores de 𝑥 que poderíamos utilizar para objetos eram maiores ou iguais a dois, então o nosso domínio é maior ou igual a dois. E isso está a gerar apenas as respostas que são maiores ou iguais a menos três. Portanto, o contradomínio pode conter apenas as respostas de 𝑦 que são maiores ou iguais a menos três. Agora, pensando bem, podemos continuar e tentar resolver a questão.
Comece por escrever 𝑦 igual a 𝑥 menos dois ao quadrado menos três. Depois trocamos as variáveis 𝑦 e 𝑥 e reorganizamos para isolar 𝑦. Então, primeiro, podemos adicionar três a ambos os membros. Depois podemos aplicar as raízes quadradas a ambos os membros. E, finalmente, adicionar dois aos dois membros. E depois de trocarmos as nossas variáveis 𝑥 e 𝑦, agora precisamos de trocar o domínio e o contradomínio. Portanto, agora o domínio não é 𝑥 maior ou igual a dois. Mas é maior que ou igual a menos três. Que era o contradomínio dos valores de 𝑦 na função inicial.
Agora, se pensarmos na reflexão em 𝑦 igual a 𝑥, então, para a nossa função inversa, obviamente os valores 𝑥 que podemos inserir são maiores ou iguais a menos três. E se nos pedissem o contradomínio, os valores das imagens que poderíamos obter seriam maiores ou iguais a dois. Portanto, a nossa resposta final é que a função inversa de 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 mais três ou mais dois para 𝑥 maior ou igual a menos três.
