Vídeo: Produto Escalar de Vetor

Entenda como executar cálculos de produto escalar de vetor e alguns exemplos de como usar produtos escalares para encontrar a medida do ângulo entre dois vetores.

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Transcrição do vídeo

Existem três maneiras de multiplicar um vetor. Pode realizar uma multiplicação por um escalar na qual multiplica cada coordenada do vetor por um número real ou um escalar. Assim, por exemplo, para três 𝑣, multiplicaríamos cada coordenada do vetor 𝑣 pelo número três. Também pode multiplicar vetores por vetores e há duas formas diferentes: produto escalar (ou interno) e produto externo. Neste vídeo, vamos ver só o produto escalar, mas vamos ver uma maneira simpática de utilizá-la, e também vamos ver alguns exemplos.

Certo! Então temos o vetor 𝑢, que é sete dois, e vetor 𝑣 que é três seis, e pediram-nos para determinar o produto escalar dos vetores 𝑢 e 𝑣. Então, aqui está a notação que utilizamos: o 𝑢 com um ponto e depois o 𝑣. O ponto não está no chão (na linha). É subindo, se entende o que quero dizer, o espaço entre 𝑢 e 𝑣, mas esta é a notação para o produto escalar.

Agora, quando calculamos o produto escalar, obtemos uma resposta que é um escalar ou apenas um número real. Então vamos ver como. Vamos apenas escrever os vetores na sua forma em coordenadas. Então é sete vírgula dois ponto três vírgula seis. E para resolver isto, podemos somar o produto das coordenadas horizontais e o produto das coordenadas verticais. Então, primeiro que tudo, vamos fazer sete vezes três, e depois vamos adicionar dois vezes seis.

Isto parece um pouco estranho, sete ponto três mais dois ponto seis. Bem, isto não significa sete ponto três mais dois ponto seis. Significa sete vezes três dois vezes três, e o “vezes” é o ponto do produto escalar. Não utilizamos o sinal normal de multiplicação em cruz porque isso confundiria este tipo de multiplicação com o produto externo vetorial. Então, desculpe por esta confusão, mas isto é apenas uma notação que terá que se habituar para fazer com que isto seja o que utilizamos para o produto escalar. Então, quando vê este ponto que se eleva do chão um pouco, significa que estamos a multiplicar estas duas coisas. Então sete vezes três é vinte e um duas vezes seis é doze. Quando somamos os dois, obtemos trinta e três. Então, como dissemos, o produto escalar de dois vetores, apenas multiplicamos cada coordenada correspondente e somamos todos os resultados, a resposta que obtemos é apenas um número, um escalar. Então vamos resumir isso. O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos das coordenadas correspondentes, multiplicamos as coordenadas em 𝑥 e, em seguida, adicionamos o produto das coordenadas em 𝑦 neste caso.

Então, nós estávamos a trabalhar com um exemplo bidimensional, mas isto também pode ser aplicado em três, quatro ou qualquer dimensão que queiramos. Nestes casos, obviamente, os vetores 𝑢 e 𝑣 têm que ter o mesmo número de dimensões, mas, sabe, podemos ter um, dois, três, quatro, quantos quisermos aqui, até 𝑛 dimensões em cada, que tudo o que precisamos de fazer é multiplicar as coordenadas correspondentes. Então, é 𝑢 um vez 𝑣 um, e isto é apenas um escalar, um resultado numérico real. A seguir, 𝑢 dois vezes 𝑣 dois. A seguir, vamos adicionar 𝑢 três vezes 𝑣 três e todas as outras 𝑢 quatro vezes 𝑣 quatro, 𝑢 cinco vezes 𝑣 cinco e assim por diante até 𝑢 𝑛 vezes 𝑣 𝑛. E assim, estamos apenas a multplicar um número por um número, um número por um número, um número por número e assim por diante e adicionando-os a todos no fim. A resposta que vamos obter é apenas um número real ou um escalar. Ora, este é o processo para 𝑛 dimensões, para quantas dimensões quisermos.

Agora, já que estamos aqui, vamos revisitar rapidamente as normas de vetores e apenas colocar algo mais em prática. Então, aqui, temos o vetor 𝐴𝐵 que tem uma coordenada em 𝑥 de cinco e uma coordenada em 𝑦 de doze. Deverá lembrar-se que se quiséssemos descobrir a norma do vetor 𝐴𝐵, o que precisamos de fazer é aplicar o teorema de Pitágoras e calcular a raiz quadrada de cinco ao quadrado mais doze ao quadrado, que, para aqueles de vocês que estão curiosos em relação a isto, a resposta chega a ser treze. Mas isto é irrelevante para o que vou dizer. Eu só quero ver rapidamente dentro desta raiz quadrada aqui, dentro deste radical aqui, e olhar para aquela expressão que temos. Agora, imaginem que fazemos vetor 𝐴𝐵 ponto vetor 𝐴𝐵. Isso será cinco doze ponto cinco doze. Então, vamos multiplicar a coordenada – as coordenadas correspondentes e adicionar os resultados. Então, isso será cinco vezes cinco adicionado a doze vezes doze, o que nos dá cinco ao quadrado mais doze ao quadrado. Então, na verdade, o que temos aqui é o mesmo que temos aqui, então o que está dentro da raiz quadrada é 𝐴𝐵 ponto 𝐴𝐵. Assim, a norma do vetor 𝐴𝐵 é apenas a raiz quadrada de 𝐴𝐵 ponto 𝐴𝐵, e fizemos isto com um exemplo bidimensional, mas também funciona em três dimensões, quatro dimensões e tantas quantas desejarmos. Então, este é um ótimo resultado útil e simples que podemos utilizar. Tudo isto significa que estamos a pegar no quadrado de cada coordenada e, em seguida, a adicioná-los e, em seguida, a colocá-los dentro da raiz quadrada.

Ok, agora conhecemos o produto escalar e testámo-lo num exemplo e — não se preocupe, vamos praticar um pouco mais em breve. Aqui está outro resultado útil que nos ajudará a determinar o ângulo entre dois vetores. Se tivermos dois vetores 𝑢 e 𝑣, podem ser bidimensionais, podem ser tridimensionais, podem ser de qualquer dimensão, como dissemos antes, porque o cos ângulo entre eles é o vetor 𝑢 dividido pela norma de 𝑢. Então este é o vetor unitário na direção do vetor 𝑢 ponto o vetor unitário de 𝑣 na direção do vetor 𝑣. E assim 𝜃, obviamente, como dissemos, é o ângulo entre estes dois vetores, então este é um ótimo resultado; podemos reorganizar isto. Obviamente, se cos 𝜃 é igual a tudo isto, então 𝜃 é igual a cos menos um de tudo isto. Então, isto é apenas um ligeiro rearranjo da fórmula. Se determinarmos o produto escalar dos vetores unitários nas direções de 𝑢 e 𝑣, dará o cosseno do ângulo entre eles, e a partir daí podemos determinar o ângulo entre eles. Então, vamos ver alguns exemplos disso em ação.

Certo! Então deram-nos um vetor 𝑢 que é quatro um e vetor 𝑣 e a sua forma em coordenadas que é dois cinco. Vamos fazer duas coisas: 1) determinar o produto escalar desses dois vetores e 2) determinar o ângulo entre eles. Então, primeiro, vamos fazer rapidamente um esboço desta situação. Eu tenho o vetor 𝑢 que é quatro um, o vetor 𝑣 que é dois cinco, parece mais ou menos assim, e o que estamos também a tentar determinar é este ângulo 𝜃, que é o ângulo entre os dois vetores. OK! Então vamos em frente fazer isso. Então, para determinar o produto escalar dos dois vetores, lembre-se de que multiplicaremos as coordenadas em 𝑥 e adicionaremos o resultado ao produto das coordenadas em 𝑦. Então, isso é quatro vezes duas e um vezes cinco, que é oito mais cinco, o que equivale a treze. Ora, esta parte da questão foi bem rápida. O produto escalar de 𝑢 e 𝑣 é treze.

Agora, para determinar o ângulo entre eles, sabemos que o cos do ângulo entre eles é o produto escalar dos vetores unitários na direção 𝑢 e 𝑣. E para determinar os vetores unitários, pegamos no vetor 𝑢 e o dividimo-lo pela sua norma, e pegamos no vetor 𝑣 e o dividimo-lo pela sua norma. Então, vamos escrever alguns números. Para o vetor 𝑢, que era quatro, para descobrir a sua norma, vou fazer a raiz quadrada de quatro ao quadrado mais um quadrado. Então pegue em cada uma das coordenadas, faça o quadrado, adicione os resultados, e aplique a raiz quadrada. Então, é basicamente o nosso teorema de Pitágoras, e vamos fazer o mesmo novamente para 𝑣. E como as coordenadas de 𝑣 eram dois e cinco, é apenas um sobre dois ao quadrado mais cinco ao quadrado do vetor 𝑣. Então, tudo isto significa que temos cada coordenada de 𝑢 dividida pela norma e temos cada coordenada 𝑣 dividida por sua norma também. Então, quatro ao quadrado mais um ao quadrado; é dezasseis mais um. Então nós temos raiz de dezassete para este. E a seguir vamos dividir a coordenada em 𝑥 pela raiz de dezassete e a coordenada em 𝑦 pela raiz de dezassete. Vamos fazer o mesmo para 𝑣, dois ao quadrado é quatro, cinco ao quadrado é vinte e cinco, então temos um sobre raiz de vinte e nove. E dividindo cada uma das coordenadas em 𝑥 e em 𝑦 pela raiz de vinte e nove, este vetor torna-se dois sobre raiz de vinte e nove, cinco sobre raiz de vinte e nove. Então, fazendo o produto escalar, vamos multiplicar este termo por este termo, e vamos multiplicar este termo por este termo e adicionar os resultados. Então, cos 𝜃 é igual a quatro sobre raiz de dezassete vezes dois sobre raiz de vinte e nove mais um sobre raiz de dezassete vezes cinco sobre raiz de vinte e nove. E quatro vezes dois é oito e dezassete vezes vinte e nove é quatrocentos e noventa e três. Então temos oito sobre raiz de quatro nove e três. Um lote de cinco é cinco, então é cinco sobre a raiz de quatro nove três. Oito e cinco faz treze, então cos 𝜃 é igual a treze sobre a raiz de quatro nove e três. Então, agora só precisamos de fazer o inverso do cos disto. Então, cos menos um de treze sobre a raiz de quatro nove e três, que é cinquenta e quatro ponto dois, a uma casa decimal, esta é a nossa resposta. Bem, essa é a nossa resposta em graus com uma casa decimal, então este ângulo aqui é cinquenta e quatro ponto dois graus com uma casa decimal.

Então, toda esta parte b depende do facto de que o cosseno do ângulo entre os vetores é igual ao produto escalar dos vetores unitários nas direções de 𝑢 e 𝑣. E para calcular um vetor unitário, pega no seu vetor e divide-o pela sua norma, de modo que ele tenha um comprimento de um. Fizemos isso tudo, fizemos o inverso do cos e conseguimos a nossa resposta final.

Ok, mais um exemplo. Determine o ângulo entre os vetores 𝑢 que é três menos dois e 𝑣 que é menos cinco menos três. Façamos um esboço rápido para ver como isto é.

Então, 𝑢 é três menos dois e 𝑣 é menos cinco menos três, e o ângulo entre eles será este ângulo aqui. Vou chamá-lo de 𝜃, ok? Então, nós — nós não precisamos de trabalhar com o produto escalar de 𝑢 e 𝑣 para começar. Isso foi apenas na questão anterior. Tudo o que se pede é que utilizemos o resultado de que cos 𝜃 é igual ao produto escalar dos vetores unitários nas direções de 𝑢 e 𝑣. Então, na verdade, vou reorganizar isto e fazer 𝜃 equivale a cos menos um de tudo isto, vamos escrever isso. É sempre uma boa ideia anotar o resultado com o qual começa, pois poderá guiar os seus cálculos. Certo! Vamos fazer um pouco de substituição agora. Então, sabemos como calcular a norma de 𝑢; será apenas a raiz quadrada de três vezes menos dois ao quadrado, e podemos escrever esta parte agora. E o mesmo novamente para o vetor 𝑣. Ok, já poderá ver que isto começa a parecer um pouco desalinhado, porque eu rearranjei isto em ordem a 𝜃 que equivale o cos menos um. Eu estou a escrever isto — todos estes parêntesis, assim pode tomar a sua decisão sobre se utiliza esta forma diretamente ou se utiliza a forma anterior que eu acabei de utilizar e depois fazer a sua conversão no final para o cos menos um. Mas continuemos com o exercício, vamos calcular cada um destes termos. Ok, então três ao quadrado mais menos dois ao quadrado é treze, então o vetor 𝑢 torna-se três sobre raiz de treze menos dois sobre raiz de treze. E, em seguida, passando para o vetor 𝑣, cinco ao quadrado mais três ao quadrado dá trinta e quatro. Portanto, as coordenadas de 𝑣 são menos cinco sobre a raiz de trinta e quatro e menos três sobre a raiz de trinta e quatro. Agora temos que fazer o produto escalar. Então será esta coordenada vezes esta coordenada mais esta coordenada vezes esta coordenada, o que nos dá isto. E agora, eu acabei de chegar a — tenho três sobre a raiz de treze vezes menos cinco sobre a raiz de trinta e quatro, e tenho menos dois vezes menos três sobre raiz de treze vezes raiz de trinta e quatro. Então, isto dá-nos menos quinze sobre raiz de quatro quatro dois mais seis sobre raiz de quatro quatro dois. Adiciono os dois e tenho menos nove sobre raiz de quatro quatro dois. Então, se eu pegar na minha calculadora e fizer o inverso do cos de nove sobre a raiz de quatro quatro dois, dá-me um ângulo de cento e quinze ponto três graus a uma casa decimal. E já está! Esta é a minha resposta. Agora, vamos voltar rapidamente ao esquema apenas para ter certeza de que tudo faz sentido. Isto deu-me um ângulo de cento e quinze graus, o que se encaixa neste ângulo. Não me deu este ângulo fora. Às vezes, precisa de verificar exatamente o ângulo que a máquina calculou, é bom que esteja esclarecido em relação a isso.

Ok, vamos fazer um breve resumo do que vimos neste vídeo. O produto escalar de dois vetores: pegamos em cada uma das coordenadas correspondentes dos vetores e multiplicamo-las, 𝑢 ponto 𝑣. Temos 𝑢 um 𝑣 um mais 𝑢 dois 𝑣 dois mais 𝑢 três 𝑣 três até 𝑢 𝑛 𝑣 𝑛, portanto é um caso simples, como vimos no nosso exemplo, se tivermos um exemplo bidimensional. Mas pode ser aplicado em qualquer dimensão que desejarmos. E o resultado é apenas um número, um número real, um escalar. E também o produto escalar de vetores unitários nas direções dos dois vetores dá-nos o cosseno do ângulo entre eles, o que nos permite descobrir qual é o ângulo entre dois vetores. Muito muito útil. Ok, e é isto por agora.

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