Vídeo: Propriedades dos Limites

Neste vídeo, aprenderemos como usar as propriedades de limites, como os limites de soma, diferença, produto e quociente de funções e o limite de funções compostas.

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Propriedades dos Limites

Neste vídeo, aprenderemos como usar as propriedades de limites, como os limites das somas, diferenças, produtos e quocientes de funções e os limites de certas funções compostas. Veremos vários exemplos de como podemos usar essas propriedades. Vamos começar definindo algumas propriedades.

Suponha que 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 sejam funções e 𝑎 seja algum valor tal que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 e o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existam. Então, temos a propriedade de limites de somas de funções, o que nos diz que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite, quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 mais o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Também temos uma propriedade para os limites das diferenças de funções. E isso nos diz que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite, quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos o limite, quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. E podemos notar que essas duas propriedades podem ser usadas em combinação umas com as outras. Vamos ver um exemplo de como essas propriedades podem ser usadas.

Dado que o limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑓 de 𝑥 é igual a três, o limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑔 de 𝑥 é igual a menos sete e o limite quando 𝑥 tende a dois de ℎ de 𝑥 é igual a menos um, encontre o limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥.

Para encontrar esse limite, podemos começar dividindo-o usando as propriedades dos limites. Temos a propriedade dos limites de somas de funções que nos dizem que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite, quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 mais o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Também temos a propriedade dos limites das diferenças de funções. E isso nos diz que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite, quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos o limite, quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Agora, podemos aplicar essas duas propriedades ao limite que estamos tentando encontrar.

Podemos começar usando a regra para limites de somas de funções. No nosso caso, 𝑎 é igual a dois. E podemos dividir o interior do nosso limite para adicionar duas funções, sendo essas funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥. Obtemos que nosso limite é igual ao limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑓 de 𝑥 mais o limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥. Em seguida, podemos usar a regra para os limites das diferenças de funções. Novamente, 𝑎 é igual a dois. E dentro do nosso limite, temos uma diferença de duas funções que são 𝑔 de 𝑥 e ℎ de 𝑥. Aplicando a regra, obtemos que nosso limite é igual ao limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑓 de 𝑥 mais o limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑔 de 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a dois de ℎ de 𝑥.

Agora podemos perceber que sabemos o valor de cada um desses três limites, uma vez que eles nos foram dados na pergunta. Assim, substituindo em três, sete negativos e um negativo, obtemos que nosso limite é igual a três mais menos sete menos menos um. Simplificando isso, obtemos uma solução em que o limite quando 𝑥 tende a dois de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥 é igual a menos três. Agora vamos cobrir mais algumas propriedades de limites.

Novamente, temos funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 com alguns valores constantes 𝑎 e 𝑐 de tal modo que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 e o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existe. Desta vez, temos uma constante extra 𝑐. E veremos por que isso está aqui em nossa primeira propriedade. Esta primeira propriedade é sobre constantes multiplicativas dentro de um limite. Diz-nos que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑐 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑐 multiplicado pelo limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Essencialmente, o que isso nos diz é que, se tivermos um fator constante dentro do nosso limite, podemos simplesmente fatorar fora do limite. A próxima propriedade é o limite do produto das funções. Diz-nos que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado pelo limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Nossa terceira propriedade aqui é para os limites de quocientes de funções. Diz-nos que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. E é novamente importante observar que cada uma dessas regras, podem ser usadas em combinação uma com a outra, incluindo as duas regras que abordamos anteriormente. Vamos agora ver alguns exemplos de como essas regras podem ser usadas.

Suponha que o limite quando 𝑥 tende a três de 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco, o limite quando 𝑥 tende a três de 𝑔 de 𝑥 é igual a oito e o limite quando 𝑥 tende a três de ℎ de 𝑥 é igual a nove. Encontre o limite quando 𝑥 tende a três de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥.

Podemos começar quebrando o limite dado na pergunta usando as propriedades dos limites. Primeiramente, podemos usar a regra para os limites das diferenças de funções. Isso nos diz que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 de menos 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Olhando para o nosso limite, podemos ver que nosso valor de 𝑎 é três. E podemos ver que temos uma diferença de funções dentro do nosso limite. Temos 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥. Portanto, podemos aplicar nossa regra, dando-nos que nosso limite é igual ao limite quando 𝑥 tende a três de 𝑓 de 𝑥 vezes 𝑔 de 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a três de ℎ de 𝑥.

Para dividir ainda mais esse limite, precisamos usar outra propriedade de limite. E essa é a propriedade dos limites dos produtos das funções, o que nos diz que o limite quando 𝑥 tende a alguma constante 𝑎 de um produto das funções — então 𝑓 de 𝑥 vezes 𝑔 de 𝑥 — é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 vezes o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Novamente, nosso valor de 𝑎 é três. E podemos ver que dentro do nosso limite, temos um produto de funções. Então isso é 𝑓 de 𝑥 vezes 𝑔 de 𝑥. Aplicando essa propriedade, descobrimos que nosso limite é igual ao limite quando 𝑥 tende a três de 𝑓 de 𝑥 multiplicado pelo limite quando 𝑥 tende a três de 𝑔 de 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a três de ℎ de 𝑥.

E podemos perceber que nos foi dado cada um desses três limites dentro da questão. Temos que o limite quando 𝑥 tende a três de 𝑓 de 𝑥 é igual a cinco, o limite quando 𝑥 tende a três de 𝑔 de 𝑥 é igual a oito, e o limite quando 𝑥 tende a três de ℎ de 𝑥 é igual a nove. Portanto, substituímos esses valores pelo nosso limite, dando-nos que nosso limite é igual a cinco vezes oito menos nove. Isso pode ser simplificado para obter uma solução que o limite quando 𝑥 tende a três de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 menos ℎ de 𝑥 é igual a 31. No próximo exemplo, veremos como a propriedade para quocientes de funções pode ser usada.

Dado que o limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 sobre três 𝑥 ao quadrado é igual a menos três, determine o limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥.

Nesta questão, recebemos o limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 sobre três 𝑥 ao quadrado. Podemos quebrar esse limite usando as propriedades dos limites. Temos a propriedade de limites de quocientes de funções, o que nos diz que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Para o nosso limite, estamos tomando o limite quando 𝑥 tende a menos dois. Portanto, 𝑎 é igual a menos dois. E nós temos um quociente de funções. No numerador, temos 𝑓 de 𝑥. E no denominador, temos três 𝑥 ao quadrado. Aplicando esta regra para limites de quocientes de funções, obtemos que nosso limite é igual ao limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 sobre o limite quando 𝑥 tende a menos dois de três 𝑥 ao quadrado.

Vamos agora considerar o limite no denominador da fração. Esse é o limite quando 𝑥 tende a menos dois de três 𝑥 ao quadrado. Podemos aplicar a substituição direta a esse limite, dando-nos que o limite quando 𝑥 tende a menos dois de três 𝑥 ao quadrado é igual a três vezes menos dois ao quadrado. Menos dois ao quadrado é igual a quatro. Simplificamos então para obter que esse limite seja igual a 12. Podemos substituir esse valor de 12 no denominador de nossa fração, dando-nos que o limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 sobre três 𝑥 ao quadrado é igual ao limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 tudo sobre 12.

No entanto, nos foi dado na pergunta que o limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 sobre três 𝑥 ao quadrado é igual a menos três. E como este está no lado esquerdo da nossa equação, podemos definir nossa equação igual a menos três. Portanto, agora temos que o limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 sobre 12 é igual a menos três. Simplesmente multiplicamos os dois lados da equação por 12. Aqui, chegamos à nossa solução: o limite quando 𝑥 tende a menos dois de 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 36. Existem mais algumas propriedades de limite que abordaremos neste vídeo e estas são as seguintes.

Dada uma função 𝑓 de 𝑥 com algum valor 𝑎 e um número inteiro 𝑛 tal que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe.

Temos a propriedade dos limites de potências das funções, o que nos diz que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à potência de 𝑛 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 tudo elevado a 𝑛. Então, essencialmente, se tivermos uma potência de uma função dentro de um limite, podemos tirar o expoente para fora do limite e simplesmente elevar todo o limite a esse expoente. Vamos observar rapidamente que nosso valor inteiro de 𝑛 aqui pode ser positivo ou negativo. E essa regra ainda funcionará. Podemos ver como essa propriedade de limite pode ser derivada das propriedades dos limites dos produtos das funções e dos limites dos quocientes das funções. Como se repetíssemos uma dessas propriedades 𝑛 vezes com apenas uma função 𝑓 de 𝑥, obteríamos essa propriedade.

Nossa propriedade final de limite aqui é a propriedade dos limites das raízes das funções. Diz-nos que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 da 𝑛-ésima raiz de 𝑓 de 𝑥 é igual à 𝑛-ésima raiz do limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Portanto, essencialmente, se tivermos a 𝑛-ésima raiz de uma função dentro do nosso limite, podemos colocar a 𝑛-ésima raiz fora do limite em vez de tomar 𝑛-ésima raiz do limite da função. Essas duas propriedades podem ser novamente combinadas entre si e com qualquer uma das propriedades anteriores. Vejamos alguns exemplos de como elas podem ser usadas.

Suponha que o limite quando 𝑥 tende a seis de 𝑓 de 𝑥 é igual a três e o limite quando 𝑥 tende a seis de 𝑔 de 𝑥 é igual a oito. Encontre o limite quando 𝑥 tende a seis da raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥.

Precisamos encontrar o limite quando 𝑥 tende a seis da raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥. Podemos quebrar esse limite usando as propriedades dos limites. Temos a propriedade dos limites das raízes das funções. Diz-nos que o limite quando 𝑥 tende a alguma constante 𝑎 da 𝑛-ésima raiz de alguma função 𝑓 de 𝑥 é igual à 𝑛-ésima raiz do limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. O limite que estamos tentando encontrar é o limite quando 𝑥 tende a seis da raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥. Portanto, temos o limite de uma raiz quadrada de uma função. Portanto, podemos aplicar nossa regra para limites de raízes de funções. Ele nos diz que nosso limite é igual à raiz quadrada do limite quando 𝑥 tende a seis de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥.

Agora, podemos ver que temos o limite de uma diferença de funções, já que nosso limite é 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥. Podemos aplicar a regra para o limite de diferenças de funções, o que nos diz que o limite quando 𝑥 tende a alguma constante 𝑎 de uma diferença de funções — então isso é 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 — é igual ao limite quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Podemos aplicar esta regra ao nosso limite dentro da raiz quadrada, dando-nos que nosso limite é igual à raiz quadrada do limite quando 𝑥 tende a seis de 𝑔 de 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a seis de 𝑓 de 𝑥.

Agora, podemos ver que os limites dentro de nossa raiz quadrada nos foram dados na pergunta. Temos que o limite quando 𝑥 tende a seis de 𝑓 de 𝑥 é igual a três e o limite quando 𝑥 tende a seis de 𝑔 de 𝑥 é igual a oito, dando-nos que nosso limite é igual à raiz quadrada de oito menos três. Simplificando isso, obtemos nossa solução: o limite quando 𝑥 tende a seis da raiz quadrada de 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de cinco. A seguir, passaremos para o nosso exemplo final, onde veremos como as propriedades dos limites podem ser usadas, mesmo quando a função for definida graficamente.

Considere o gráfico de 𝑓 de 𝑥. Encontre o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 tudo ao quadrado.

Aqui, fomos solicitados a encontrar o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 ao quadrado. Podemos ver que temos uma potência de uma função. E assim, podemos usar nossa regra para os limites das potências de funções. Diz-nos que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à potência de 𝑛 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 tudo elevado a 𝑛. No caso do nosso limite, o valor de 𝑎 é um e o expoente para o qual estamos elevando nossa função é dois. Então 𝑛 é igual a dois. Agora, podemos aplicar esta regra. Ele nos diz que nosso limite é igual ao limite quando 𝑥 tende a um de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 tudo ao quadrado.

Em seguida, podemos de fato simplificar ainda mais o limite dentro de nosso quadrado. Temos a regra para os limites do produto das funções. Diz-nos que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado pelo limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. Agora nosso produto de funções é 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥. Portanto, quando aplicamos essa regra ao nosso limite, obtemos o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑥 multiplicado pelo limite quando 𝑥 tende a um de 𝑓 de 𝑥 tudo ao quadrado.

Agora, vamos considerar o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑥. Podemos aplicar a substituição direta a esse limite. E obtemos que é igual a um. Portanto, podemos substituir novamente esse limite pelo nosso limite, dando-nos que o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥 ao quadrado é igual ao limite quando 𝑥 tende a um de 𝑓 de 𝑥 tudo ao quadrado. Agora tudo o que precisamos fazer é encontrar o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑓 de 𝑥. Para fazer isso, precisamos usar nosso gráfico. Precisamos encontrar o valor de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 é igual a um. Vemos que quando 𝑥 é igual a um, 𝑓 de 𝑥 é igual a três. E o gráfico de 𝑓 de 𝑥 próximo ao valor de 𝑥 de um é uma linha reta. Portanto, o limite direito de 𝑓 de 𝑥 e o limite esquerdo de 𝑓 de 𝑥 concordarão que esse limite é igual a três. Portanto, podemos substituir três para o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑓 de 𝑥. Então descobrimos que nosso limite é igual a três ao quadrado. E podemos elevar o três ao quadrado para obter nossa solução de que o limite quando 𝑥 tende a um de 𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 ao quadrado é igual a nove. Agora, cobrimos uma variedade de exemplos, vamos recapitular alguns pontos chave do vídeo.

Pontos chave

Para funções 𝑓 de 𝑥 e 𝑔 de 𝑥 com valores 𝑎 e 𝑐 e inteiro 𝑛, de tal forma que o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 e o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 exista: o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 mais o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. O limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 menos o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. O limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑐 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑐 multiplicado pelo limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. O limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 multiplicado pelo limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. O limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sobre o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥. O limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 à potência de 𝑛 é igual ao limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 tudo à potência de 𝑛. O limite quando 𝑥 tende a 𝑎 da 𝑛-ésima raiz de 𝑓 de 𝑥 é igual à 𝑛-ésima raiz do limite quando 𝑥 tende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. E todas essas propriedades de limite podem ser usadas em combinação umas com as outras.

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