Vídeo: Provando que a Raiz Quadrada de Dois é Irracional

Neste vídeo, vamos aprender como utilizar a técnica de demonstração por absurdo para provar que a raiz quadrada de dois é um número irracional. Isto significa que a raiz quadrada de dois não pode ser escrito na forma de fração com inteiros no numerador e do denominador.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos abordar uma demonstração matemática que é que a raiz quadrada de dois é um número irracional, o que significa que é um número que não pode ser escrito na forma de fração em que o numerador e o denominador sejam ambos números inteiros.

E isto, por sua vez, significa que se tentar escrevê-lo na forma decimal, teria que determinar as casas decimais indefinidamente, mas falaremos mais sobre isso adiante.

Primeiro, falemos sobre os filósofos da Grécia antiga, Pitágoras e Hípaso. Eu deveria pensar, e muito bem, que todos vocês já terão ouvido sobre Pitágoras devido ao teorema Pitagórico, ou teorema de Pitágoras como algumas pessoas o chamam.

O teorema afirma que, num triângulo retângulo, o quadrado do comprimento do lado mais longo (hipotenusa) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos lados mais curtos (catetos). Poderá conhecer isto na forma 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. E parece bastante fácil porque o aprendemos muito cedo nas nossas carreiras escolares. Mas foi um grande resultado nos tempos de Pitágoras, há cerca de 2500 anos atrás.

O consenso geral é que o teorema de Pitágoras não foi escrito por Pitágoras, mesmo que tenha se tornado um dos seus maiores sucessos mais conhecidos. Há muitas histórias, mitos e lendas sobre Pitágoras. E o que disser sobre ele, alguém provavelmente dirá algo diferente.

O problema é que nenhum de seus escritos sobreviveu à passagem do tempo. E muitas das coisas que foram escritas sobre ele por outras pessoas são contraditórias. Ele parece ter sido uma figura um pouco controversa. Ele autoproclamava-se filósofo, amante da sabedoria. E começou um movimento de seguidores chamado os pitagóricos. Eles eram muito secretos. E havia muitas referências relativas às suas crenças nos poderes místicos e na pureza dos números.

Um dos seguidores de Pitágoras se chamava Hípaso, embora não se tenha entendido completamente se seguiu Pitágoras ou se era simplesmente um seguidor do movimento pitagórico. E talvez ele nem tenha nascido durante a época de vida de Pitágoras. Mas de qualquer forma, a partir de obras de arte antigas e desenhos que sobreviveram, parece provável que uma coisa que eles tinham em comum era que ambos tinham barba. Essas barbas estavam muito na moda na época. Poucas pessoas irão contradizer isto.

Ok, para trazer esta história desconexa a um ponto de foco, há uma história de que Hípaso conseguiu desenvolver uma prova de que alguns números são irracionais, o que realmente contradizia a política pitagórica e a natureza divina dos números. Há relatos de que Hípaso se afogou no mar pouco tempo depois.

Algumas pessoas dizem que ele escolheu um momento péssimo para revelar a verdade sobre os números irracionais aos seus amigos pitagóricos, enquanto estavam no mar num navio. E eles agiram rapidamente para encobri-la. Mas isto não tem fundamento, por assim dizer, porque se fosse verdade, como saberíamos nós sobre isso?

Ora, Hípaso aparentemente mostrou como a construção de um dodecaedro dentro de uma esfera leva à necessidade de números irracionais. Mas um método mais fácil teria sido usar um triângulo isósceles retângulo com dois lados com um comprimento de uma unidade e o teorema de Pitágoras para mostrar que, nesse caso, o comprimento do lado mais longo (hipotenusa) seria igual à raiz quadrada de duas unidades.

Então, sabemos que a necessidade de uma situação simples envolvendo a raiz quadrada de dois emerge. Como podemos agora mostrar que este é um número irracional? Bem, primeiro, vamos certificar-nos de que sabemos o que são números racionais e irracionais.

Um meio pode ser chamado de proporção de um para dois. Consiste numa fração com um número inteiro ou um inteiro no numerador, um neste caso, e outro número inteiro ou um inteiro no denominador, dois neste caso. Isto é basicamente um número racional, uma fração com números inteiros na parte superior e na parte inferior.

Lembre-se, se o numerador e o denominador tiverem um divisor comum, podemos reduzir a fração dividindo ambos pelo mesmo divisor e obtemos uma fração equivalente. Por exemplo, dois sobre quatro é um número racional. Mas podemos dividir o numerador e o denominador por dois para obter uma fração equivalente, um meio. Um meio é uma forma mais simples de dois quartos. E também é um número racional.

Agora podemos tomar em qualquer número inteiro que quisermos como numerador e qualquer outro inteiro que quisermos como denominador para fazer um número racional. Agora vejamos um par de números racionais. Um terço e dois terços, existe outro número racional entre estes valores? Bem, um terço e meio não conta, porque um e meio não é um número inteiro.

Mas uma fração equivalente a um terço é dois sextos, duplicamos o numerador e o denominador. E uma fração equivalente a dois terços é quatro sextos, novamente duplicamos o numerador e o denominador. Então, em vez de um terço e dois terços, temos dois sextos e quatro sextos. E vemos imediatamente que três sextos ficaria no meio. E podemos reduzi-lo para um meio dividindo o numerador e o denominador por três.

Agora podemos aplicar esta técnica a quaisquer dois números racionais para determinar outro número racional entre eles. E podemos continuar indefinidamente, obtendo diferenças cada vez menores. Então começa a parecer que deveria ser capaz de tornar qualquer número racional. Então, o que é um número irracional?

Bem, é um número que não conseguimos representar exatamente na forma de fração com números inteiros no numerador e no denominador. Por exemplo, utilizamos o teorema de Pitágoras para mostrar que há um valor chamado raiz quadrada de dois. Agora vamos brincar um pouco com o conceito para ver se conseguimos provar que não consegue determinar um par de inteiros para o numerador e o denominador para representar esse valor.

Vamos começar supondo, de facto, que a raiz quadrada de dois é racional e que existem dois inteiros - vamos chamá-los 𝑎 e 𝑏 - que podemos utilizar no numerador e no denominador para representar esse valor. Então, temos a raiz quadrada de dois é igual a 𝑎 sobre 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são inteiros e 𝑏 não é igual a zero porque algo dividido por zero não está definido.

Vamos também escolher 𝑎 e 𝑏 para que representem uma versão fracionada totalmente reduzida da raiz dois. Obviamente, haverá uma família de frações equivalentes: dois 𝑎 sobre dois 𝑏, três 𝑎 sobre três 𝑏 e assim por diante. Mas estamos a escolher 𝑎 e 𝑏 para tornar a fração na forma reduzida, para que tenham nenhum divisor em comum.

E há outra implicação disto. Se 𝑎 é um número par, 𝑏 deve ser ímpar. E se 𝑏 é um número par, então 𝑎 deve ser ímpar. Se ambos forem pares, ambos serão múltiplos de dois. E dois será um divisor comum. Assim, poderíamos cortar e reduzir a fração. Mas escolhemos 𝑎 e 𝑏 com cuidado para que não tivessem nenhum divisor em comum.

Ok, então nós temos a raiz quadrada de dois igual a 𝑎 sobre 𝑏. Agora vamos elevar a dois os dois membros da equação. E isso dá-nos dois igual a 𝑎 ao quadrado sobre 𝑏 ao quadrado. Agora posso multiplicar ambos os membros da minha equação por 𝑏 ao quadrado para que os 𝑏 quadrados se anulem à direita, o que nos dá que dois 𝑏 ao quadrado igual a 𝑎 ao quadrado.

No entanto, no primeiro membro, lembre-se que 𝑏 é um inteiro. Então, 𝑏 vezes 𝑏, 𝑏 ao quadrado, é um número inteiro vezes um inteiro que também deve ser um inteiro. Então o primeiro membro é duas vezes um número inteiro. E um número inteiro que é um múltiplo de dois é um número par.

Agora no segundo membro, temos 𝑎, um inteiro, vezes ele próprio. Então temos um número inteiro vezes um número inteiro. E a única maneira de obter um número par ao multiplicar dois números inteiros é se um desses números inteiros for par. E como estamos a falar de 𝑎 vezes ele próprio, então 𝑎 tem que ser um número par.

Ok, vamos analisar esta lógica com um pouco mais de detalhe. Podemos dizer que um número par é apenas um número inteiro múltiplo de dois. Então, vamos escolher uma letra para representar qualquer número inteiro. Digamos 𝑚. Então podemos dizer que dois 𝑚 é um número par.

Diga-me o número par que deseja e eu escolho um valor adequado para 𝑚 gerar esse número par. Será apenas metade do valor do número par desejado. Se quiser oito, eu escolho 𝑚 igual a quatro. Então, dois 𝑚 é o número par oito, neste caso. Dois 𝑚 é apenas uma expressão que representa um número que sabemos que deve ser par.

Agora podemos representar outro número par atribuindo a letra 𝑛 para representar outro número inteiro. E então dois 𝑛 deve ser outro número par. Agora vamos multiplicar os nossos dois números pares, dois 𝑚 vezes dois 𝑛. E como a multiplicação é associativa, podemos escrever isto duas vezes 𝑚 vezes duas vezes 𝑛.

E como dois 𝑚 e 𝑛 são todos números inteiros, sabemos que 𝑚 vezes duas vezes 𝑛 também será um número inteiro. E isso significa que duas vezes 𝑚 vezes duas vezes 𝑛 é duas vezes um número inteiro, que deve ser um número par. Então, se multiplicarmos dois números pares, definitivamente teremos como resultado um número par.

Ora, os números ímpares e pares alternam-se no conjunto dos números inteiros. Um é ímpar, dois é par, três é ímpar, quatro é par, cinco é ímpar, seis par e assim por diante. E isto significa que, porque dois 𝑚 é um número par, dois 𝑚 mais um devem ser o número ímpar que lhe segue. Da mesma forma, dois 𝑛 é um número par. Então, dois 𝑛 mais um deve ser o número ímpar seguinte.

Então, vamos analisar outras combinações de números ímpares e pares para ver se podemos obter um resultado numérico par. Por exemplo, se quisermos multiplicar um número par por um número ímpar, podemos fazer dois 𝑚 vezes dois 𝑛 mais um. E novamente, por causa da associatividade, podemos escrever duas vezes 𝑚 vezes duas vezes 𝑛 mais um.

E novamente, temos números inteiros dentro dos parêntesis. Então temos duas vezes um inteiro. Então, par vezes ímpar também nos dá um número par. E isso funciona ao contrário também. Se tivéssemos um número ímpar multiplicado por um número par, também obteríamos um número par.

Por fim, vamos tentar multiplicar um número ímpar por um número ímpar. Então multiplicar cada termo no primeiro parêntesis por cada termo no segundo parêntesis dá-nos dois 𝑚 vezes dois 𝑛 mais dois 𝑚 vezes um mais um vezes dois 𝑛 mais um vezes um, o que simplifica para quatro 𝑚𝑛 mais dois 𝑚 mais dois 𝑛 mais um.

E se fatorarmos o dois destes três primeiros termos, obtemos duas vezes dois 𝑚𝑛 mais 𝑚 mais 𝑛 mais um. Agora, dois, 𝑚 e 𝑛 são todos inteiros. E estamos a multiplica-los e a adicioná-los. Então o conteúdo destes parêntesis vai ser um inteiro. Isto dá-nos duas vezes um inteiro, que é um número par. Então o resultado será um número par mais um, que é um número ímpar. E isso significa que, se eu multiplicar dois números ímpares, o resultado será outro número ímpar.

Então, de volta ao nosso problema, tínhamos dois 𝑏 ao quadrado igual 𝑎 ao quadrado. Agora dissemos que o primeiro membro, porque 𝑏 é um inteiro, deve ser um número par. E o segundo membro é igual a 𝑎 ao quadrado, o que é algo vezes ele próprio. Então, estamos a lidar com um número par vezes um número par ou um número ímpar vezes um número ímpar. Agora, a única maneira pela qual podemos obter um resultado par é se 𝑎 for par. Então isto é definitivamente verdade.

Certo, lembre-se que eu disse que se quiser um número par específico, posso dividi-lo por dois e escrever o seu número par como duas vezes metade desse número. Bem, vamos fazer o mesmo para o número par 𝑎. Vamos chamar a metade de 𝑎, 𝑐. Isto significa que 𝑐 é igual a metade de 𝑎.

Por outras palavras, dois 𝑐 é igual a 𝑎. E podemos substituir 𝑎 por dois 𝑐 na nossa equação, o que significa que dois 𝑏 ao quadrado é igual a dois 𝑐 todos ao quadrado e que dois 𝑐 ao quadrado significa dois 𝑐 vezes dois 𝑐. Então agora sabemos que dois 𝑏 ao quadrado é igual a quatro 𝑐 ao quadrado.

Agora eu posso dividir os dois membros por dois para anular o dois aqui. E obtenho dois e um aqui. Por outras palavras, 𝑏 ao quadrado é igual a duas vezes 𝑐 ao quadrado. Então, no primeiro membro, dissemos que 𝑐 é um inteiro. Então, 𝑐 ao quadrado, um inteiro multiplicado por um inteiro, também é um inteiro. E esta expressão aqui, duas vezes um inteiro, deve dar-nos um resultado par.

Então, aplicando a mesma lógica que utilizamos aqui para provar que 𝑎 deve ser par, podemos dizer que 𝑏 também deve ser par. Mas espere um minuto! Nós dissemos no início que se 𝑎 for um número par, então 𝑏 deverá ser ímpar. E se 𝑏 for um número par, então 𝑎 deverá ser ímpar. E agora acabamos de mostrar que 𝑎 deve ser par e 𝑏 deve ser par. Isso é uma contradição.

Nós mostramos que 𝑏 deve ser ao mesmo tempo ímpar e par. Isto deve significar que a nossa suposição original estava errada. Assumimos que existem dois inteiros 𝑎 e 𝑏 que podem ser utilizados para numerador e denominador numa fração na sua forma reduzida para representar o valor da raiz quadrada de dois.

Mas essa suposição leva-nos a duas conclusões mutuamente exclusivas. Ou seja, 𝑏 é um número par e 𝑏 é um número ímpar. Então a suposição deve estar errada. Não há dois inteiros 𝑎 e 𝑏 que possam ser utilizados no numerador e no denominador numa fração reduzida para representar o valor da raiz quadrada de dois. Chamamos a este tipo de prova “demonstração por absurdo”. Em vez de provar que alguma coisa é verdadeira para todos os casos, comprovamos que assumir que a sua verdade leva-nos a uma situação sem sentido. Então não pode ser verdade. É uma técnica muito poderosa.

Os números irracionais são conhecidos há muito tempo. E as pessoas não tendem a ficar tão chateadas quanto os pitagóricos quando descobrem sobre eles hoje em dia. Mas se mostrar esta prova da irracionalidade da raiz quadrada de dois a qualquer pessoa, talvez seja melhor ter certeza de que está em terra firme quando o fizer, só por pr

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