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Vídeo da aula: Encontrando a Área de um Losango Utilizando Diagonais Matemática • 6º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a área de um losango em termos de comprimentos diagonais como metade do produto desses comprimentos.

17:09

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como encontramos a área de um losango usando as diagonais. Começaremos observando as propriedades de um losango. Vamos recapitular como encontramos a área usando a base e a altura e, em seguida, provaremos como podemos encontrar a área usando essas diagonais. Vamos começar com um losango.

A definição matemática de um losango é que é um quadrilátero com todos os quatro lados iguais em comprimento. Então, poderíamos desenhar alguns losangos como este, desde que em cada losango saibamos que todos os quatro lados serão iguais em comprimento. Você já deve saber que há uma maneira de encontrar a área de um losango usando a base e a altura. Isso é, dizendo que é igual à base multiplicada pela altura. Podemos pensar nisso visualmente se imaginarmos um retângulo desenhado com a mesma base e altura. Se imaginarmos esta seção externa do triângulo sendo cortada e colocada nesta seção vazia em nosso retângulo, podemos ver como a área deste losango com uma base 𝑏 e altura ℎ seria a mesma que a área de um retângulo com o comprimento e largura da base e altura.

Então, digamos que recebemos um losango 𝐴𝐵𝐶𝐷. E em vez de receber os comprimentos da base e da altura, recebemos o comprimento das diagonais. Como poderíamos encontrar a área usando esses comprimentos? Às vezes, é útil girar esse losango para que possamos ter uma ideia visual melhor. Sabemos que os quatro lados terão o mesmo comprimento e vamos considerar esse losango em termos de dois triângulos. Nós temos o triângulo 𝐴𝐵𝐶 no topo e o triângulo embaixo. Podemos dizer que o lado 𝐴𝐵 é igual em comprimento ao lado 𝐴𝐷, pois eles têm dois comprimentos do losango. Da mesma forma, o lado 𝐵𝐶 é igual ao lado 𝐶𝐷. E como 𝐴𝐶 é um lado comum, o comprimento de 𝐴𝐶 é igual em ambos os triângulos.

O que mostramos aqui é que existem três pares de lados correspondentes congruentes. Não se preocupe se você não fez muito na congruência dos triângulos. Mas o que mostramos aqui é que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é congruente com o triângulo 𝐴𝐷𝐶. Isso significa que esses dois triângulos são exatamente da mesma forma e tamanho.

Vamos voltar ao objetivo principal disso. Nós realmente queremos encontrar a área deste losango 𝐴𝐵𝐶𝐷. Dividimos em dois triângulos, então podemos dizer que a área do losango é igual à área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 mais a área do triângulo 𝐴𝐷𝐶. Acabamos de mostrar que 𝐴𝐷𝐶 e 𝐴𝐵𝐶 são iguais. Então, isso é realmente como encontrar a área de 𝐴𝐵𝐶 mais a área de 𝐴𝐵𝐶, ou alternativamente, são dois multiplicados pela área do triângulo 𝐴𝐵𝐶. E como calculamos a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶? Precisamos lembrar que a área de um triângulo é igual a metade da base vezes a altura. No triângulo 𝐴𝐵𝐶, a base terá o comprimento de 𝐴𝐶 e a altura será a metade de 𝐵𝐷. Podemos simplificar o que está dentro dos parênteses para nos dar duas vezes um quarto vezes 𝐴𝐶 vezes 𝐵𝐷. Isso simplificará para nos dar um meio vezes 𝐴𝐶 vezes 𝐵𝐷. E o que exatamente são 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷? Bem, eles são o comprimento das diagonais.

Isso significa que provamos que há outra fórmula para a área de um losango usando as diagonais. Quando 𝑑 sub um e 𝑑 sub dois são os comprimentos das diagonais, para encontrar a área, calculamos 𝑑 sub um vezes 𝑑 sub dois sobre dois. Poderíamos, é claro, dar a essa fórmula um meio vezes 𝑑 sub um vezes 𝑑 sub dois. À medida que avançamos neste vídeo, analisaremos as perguntas e aplicaremos a fórmula para a área usando as diagonais. Mas é claro, vale sempre a pena lembrar que a outra fórmula usando a base e a altura também existe. Então, vamos ver algumas perguntas.

A figura mostra um losango dentro de um retângulo. Encontre a área do losango com duas casas decimais.

Podemos lembrar que um losango tem quatro lados de igual comprimento. Percebemos que o comprimento e a largura desse retângulo também corresponderão aos comprimentos das diagonais do losango. Então, teremos uma diagonal de 30,3 centímetros e uma diagonal de 15,8 centímetros. Para encontrar a área desse losango, lembramos da fórmula que a área de um losango é igual a 𝑑 sub um vezes 𝑑 sub dois sobre dois, onde 𝑑 sub um e 𝑑 sub dois são os comprimentos das diagonais.

Substituindo os valores de 30,3 e 15,8 para os comprimentos de nossas diagonais na fórmula nos dá 30,3 vezes 15,8 sobre dois. Observe que, como estamos multiplicando, não importa em que ordem escrevemos as diagonais. Como somos solicitados a responder a duas casas decimais, poderíamos seguir em frente e inserir isso em nossa calculadora. Mas, claro, é sempre bom simplificar nosso cálculo onde podemos. Aqui, poderíamos tirar o fator comum de dois de 15,8 e dois. Isso nos dará uma resposta de 239,37, e as unidades aqui serão as unidades quadradas de centímetros quadrados. Como nossa resposta já possui apenas duas casas decimais, não precisaremos fazer nenhum arredondamento. Portanto, a resposta é 239,37 centímetros quadrados.

Vamos dar uma olhada em outra pergunta. Desta vez, não temos um diagrama.

A diagonal de um losango tem comprimento 2,1, enquanto a outra é quatro vezes maior. Qual é a sua área?

Começamos lembrando que um losango é um quadrilátero com todos os quatro lados de igual comprimento. Então, quando modelamos nosso losango, precisamos ter quatro lados iguais. Em vez de receber informações sobre o comprimento dos lados desse losango, recebemos informações sobre as diagonais. Nos é dado que uma dessas diagonais tem um comprimento de 2,1 unidades e a outra é quatro vezes mais longa. Quatro multiplicado por 2,1 nos dará 8,4. Olhando para o nosso diagrama, podemos ver que há uma diagonal mais curta e uma diagonal mais longa. E, portanto, o mais curto será 2,1 unidades e o mais longo será 8,4 unidades.

Existem duas fórmulas que podemos usar para encontrar a área de um losango. Uma envolve a base e a altura perpendicular e a outra envolve as diagonais. Como nos é dado apenas o comprimento das diagonais, seria sensato usar essa fórmula. Então, lembramos que a área de um losango é igual a 𝑑 sub um multiplicado por 𝑑 sub dois sobre dois, onde 𝑑 sub um e 𝑑 sub dois são os comprimentos das duas diagonais. Podemos inserir os valores de nossas duas diagonais para nos dar 2,1 multiplicado por 8,4 sobre dois.

Simplificando nosso cálculo, precisaremos calcular 2,1 multiplicado por 4,2, o que podemos fazer sem uma calculadora. Calculamos 21 multiplicado por 42 usando qualquer método de multiplicação que escolhermos. E então, como nossos dois valores tinham um total de duas casas decimais, então nossa resposta também terá. Não nos deram nenhuma unidade de comprimento na pergunta, mas como calculamos uma área, estaríamos usando unidades quadradas. E assim, nossa resposta é que a área desse losango é de 8,82 unidades quadradas.

Em nossa próxima pergunta, encontraremos a área de um losango dada em uma malha de coordenadas.

Determine a área do losango 𝐴𝐵𝐶𝐷. O comprimento da unidade é igual a um centímetro.

Na malha de coordenadas, temos este losango 𝐴𝐵𝐶𝐷. Como é um losango, sabemos que os quatro lados terão o mesmo comprimento. Somos solicitados a encontrar a área desse losango, que é a quantidade de espaço dentro da forma. Quando estamos encontrando a área de um losango, temos a opção de duas fórmulas diferentes. A primeira fórmula para a área de um losango nos diz que multiplicamos as duas diagonais e dividimos por dois. Com a segunda fórmula, teríamos a base multiplicada pela altura perpendicular.

Para estabelecer qual fórmula de área devemos usar, precisaremos olhar e ver quais comprimentos nos são dados. Para usar a segunda fórmula, a base seria o comprimento de um dos lados, e precisamos encontrar a altura perpendicular. Como não vamos medir fisicamente esses comprimentos com uma régua, precisaríamos usar algo como o teorema de Pitágoras para encontrar esses comprimentos.

Vamos ver se seria mais fácil usar nossa primeira fórmula. Podemos encontrar o comprimento das diagonais? Bem, sim, nós podemos, usando a malha. Nossa reta horizontal 𝐴𝐶 vai de menos oito a dois no eixo 𝑥, o que significa que terá 10 unidades de comprimento. Na verdade, somos informados de que cada unidade tem um centímetro. Então, 𝐴𝐶 terá 10 centímetros. A diagonal 𝐷𝐵 vai de menos cinco a menos nove no eixo 𝑦, então terá quatro centímetros de comprimento. Usando a fórmula que envolve as diagonais, substituímos nossos dois valores, o que nos dá 10 multiplicado por quatro sobre dois. Podemos simplificar isso primeiro ou calcular 10 vezes quatro é 40 dividido por dois, o que nos dá 20. E as unidades aqui serão as unidades quadradas de centímetros quadrados. Podemos dar nossa resposta que o losango 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem uma área de 20 centímetros quadrados.

Vamos dar uma olhada em outra pergunta.

No losango 𝐴𝐵𝐶𝐷, o comprimento lateral é de 8,5 centímetros e os comprimentos diagonais são de 13 centímetros e 11 centímetros. Encontre o comprimento do segmento de reta 𝐷𝐹. Arredonde sua resposta para o 10º mais próximo.

Podemos começar essa pergunta reconhecendo que um losango é um quadrilátero que tem todos os quatro lados do mesmo comprimento. Disseram-nos que esse comprimento lateral é de 8,5 centímetros, então podemos rotular isso no diagrama. Também podemos rotular as duas diagonais. Um deles tem 13 centímetros e o outro tem 11 centímetros. É sempre bom ver se podemos colocá-los nas posições corretas. E como a diagonal 𝐴𝐶 parece maior do que o comprimento de 𝐵𝐷, ela terá 13 centímetros. Somos solicitados a encontrar o comprimento desse segmento de reta, 𝐷𝐹. Se olharmos para o diagrama, devemos notar que esse comprimento de 𝐷𝐹 é de fato a altura perpendicular do losango. Então, como poderíamos ligar as diagonais do losango com a altura perpendicular? Bem, podemos de fato fazer isso usando as fórmulas para a área de um losango.

A primeira fórmula, devemos lembrar, é que a área de um losango é calculada multiplicando as duas diagonais 𝑑 sub um e 𝑑 sub dois e depois dividindo-a pela metade. A segunda fórmula nos diz que a área de um losango é igual à base multiplicada pela altura perpendicular. Como nos são dados os comprimentos das diagonais nesta questão, vamos preencher esses valores em nossa primeira fórmula. Portanto, calculamos 11 multiplicado por 13 dividido por dois. Como nossas respostas são solicitadas até o décimo mais próximo, podemos assumir que temos permissão para usar uma calculadora. Portanto, podemos dar nossa resposta como 71,5 centímetros quadrados.

Agora, encontramos a área de um losango, podemos inserir nosso valor na segunda fórmula. No lado esquerdo, teremos a área de 71,5. A base terá o comprimento do losango, que é de 8,5 centímetros. E estamos tentando calcular a altura perpendicular desconhecida, que podemos deixar como ℎ. Para encontrar o valor de ℎ, dividiríamos ambos os lados da nossa equação por 8.5, o que nos dá 8.41176 e assim por diante é igual a ℎ. Como precisamos arredondar nossa resposta para o décimo mais próximo, verificaríamos nosso segundo algarismo decimal para ver se é cinco ou mais. E como não é, então nosso valor de ℎ seria arredondado para 8,4 centímetros. Sabemos que o comprimento do segmento de reta 𝐷𝐹 é o mesmo que a altura perpendicular do losango. Portanto, nossa resposta é que o comprimento do segmento de reta 𝐷𝐹 é de 8,4 centímetros.

Vamos ver uma pergunta final envolvendo um quadrado e um losango.

Dois lotes de terreno têm a mesma área. Um é um quadrado e o outro é um losango com diagonais de 48 metros e 35 metros de comprimento. Qual é o perímetro do gráfico quadrado? Dê sua resposta para duas casas decimais.

Nesta pergunta, pode ser útil desenhar alguns diagramas para visualizar o problema. Somos informados de que há dois lotes de terreno, e um é um quadrado e o outro é um losango. Vamos desenhar o quadrado. Sabemos que este será um quadrilátero com quatro lados do mesmo comprimento e todos os ângulos internos serão de 90 graus. Quando se trata do losango, sabemos que este será um quadrilátero com todos os quatro lados do mesmo comprimento. Neste diagrama, podemos colocar a marcação dupla nas linhas para que não fiquemos confusos em pensar que o comprimento deste losango será o mesmo que o comprimento do quadrado.

A outra informação que nos é dada são os comprimentos das diagonais no losango. O mais comprido tem 48 metros e o mais curto tem 35 metros. Também nos é dito que esses dois terrenos, o quadrado e o losango, têm a mesma área. E somos solicitados a encontrar o perímetro do gráfico quadrado. Podemos lembrar que o perímetro de uma forma é a distância ao redor do exterior. Poderíamos fazer isso se tivéssemos o comprimento do lado do quadrado, mas não temos; vamos precisar calculá-lo. Vamos ver se conseguimos encontrar a área do losango. Para fazer isso, precisamos lembrar de uma determinada fórmula.

Podemos encontrar a área de um losango usando as duas diagonais 𝑑 sub um e 𝑑 sub dois multiplicando 𝑑 sub um e 𝑑 sub dois e depois dividindo por dois. Podemos simplesmente substituir nossas duas diagonais de 35 e 48 para calcular 35 vezes 48 sobre dois. É sempre bom simplificar um cálculo quando podemos. Somos solicitados a dar nossa resposta a duas casas decimais aqui, então podemos assumir que uma calculadora seria permitida.

Usando uma calculadora ou um método escrito, obteremos nossa resposta de 840. E como é uma área, nossas unidades serão metros quadrados. Fomos informados de que as áreas eram as mesmas, o que significa que o quadrado também terá uma área de 840 metros quadrados. Precisamos lembrar que a área de um quadrado é igual ao comprimento ao quadrado. E desta vez, estamos substituindo o fato de que a área é 840. Então, temos 840 é igual a 𝐿 ao quadrado. Para encontrar o valor de 𝐿, pegaríamos a raiz quadrada de ambos os lados de nossa equação. Então, 𝐿 é igual à raiz quadrada de 840. Como estamos lidando com um comprimento, as unidades estarão em metros.

É sempre tentador pegar nossa calculadora e encontrar o valor decimal para isso. Mas como ainda precisamos encontrar o perímetro, manteremos nossa resposta na forma de raiz quadrada. Lembramos que o perímetro do quadrado será a distância ao redor da aresta externa, o que significa que trabalharemos quatro multiplicados pela raiz quadrada de 840. Usando nossa calculadora, obtemos o valor decimal de 115,93101 e assim por diante em metros. Arredondar para duas casas decimais significa que verificamos nosso terceiro algarismo decimal para ver se é cinco ou mais. E como não é, nossa resposta arredonda para baixo para nos dar o perímetro do quadrado de 115,93 metros.

Agora podemos resumir o que aprendemos neste vídeo. Começamos este vídeo lembrando que um losango é um quadrilátero com todos os quatro lados de igual comprimento. Lembramos a primeira fórmula de que a área de um losango é igual à base multiplicada pela altura perpendicular. Em seguida, provamos que a área de um losango também é igual à metade do produto das diagonais. Podemos escrever essa fórmula como 𝑑 sub um multiplicado por 𝑑 sub dois sobre dois ou 𝑑 sub um e 𝑑 sub dois são o comprimento das diagonais.

Finalmente, podemos usar qualquer uma dessas fórmulas para encontrar a área de um losango, dependendo das informações que recebemos sobre os comprimentos. Como vimos em uma das perguntas, às vezes precisaremos usar ambos para encontrar algumas informações de comprimento ausentes. Precisamos nos lembrar de ambas as fórmulas, mas tenha cuidado, porque é muito fácil se confundir e calcular a base vezes a altura e dividir incorretamente por dois. Mas nós apenas dividimos por dois quando estamos usando a fórmula com as diagonais.

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