Vídeo: Fractais Normalmente Não são Semelhantes

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Fractais Normalmente Não são Semelhantes

19:57

Transcrição do vídeo

Quem não gosta de fractais? Eles são uma bela mistura de simplicidade e complexidade, geralmente incluindo esses padrões de repetição infinita. Programadores, em particular, tendem a gostar especialmente deles. Porque é necessária uma quantidade surpreendentemente pequena de código para produzir imagens muito mais complexas do que qualquer mão humana jamais poderia desenhar. Mas muita gente não conhece a definição de fractal, pelo menos não a que Benoit Mandelbrot, o pai da geometria fractal, tinha em mente.

Um equívoco comum é que os fractais são formas perfeitamente auto semelhantes. Por exemplo, esse formato de floco de neve aqui, chamado de floco de neve Von Koch, consiste em três segmentos diferentes. E cada um deles é perfeitamente auto semelhante, pois quando você a aproxima, obtém uma cópia perfeitamente idêntica do original. Da mesma forma, o famoso triângulo de Sierpinski consiste em três cópias idênticas menores de si mesmo. E não me interpretem mal, formas auto semelhantes são definitivamente lindas. E elas são um bom modelo de brinquedo para o que realmente são os fractais.

Mas Mandelbrot tinha uma concepção muito mais ampla em mente, motivada não pela beleza, mas mais por um desejo pragmático de modelar a natureza de uma maneira que realmente capta rugosidade. De certa forma, a geometria fractal é uma rebelião contra o cálculo, cuja suposição central é que as coisas tendem a parecer suaves se você ampliar o suficiente. Mas Mandelbrot viu isso como excessivamente idealizado, ou pelo menos desnecessariamente idealizado, resultando em modelos que negligenciam os detalhes mais finos daquilo que eles estão realmente modelando, o que pode importar! O que ele observou é que formas auto semelhantes fornecem uma base para modelar a regularidade em algumas formas de rugosidade. Mas a percepção popular de que os fractais só incluem formas perfeitamente auto semelhantes é outra superidealização. Uma vez que ironicamente vai contra o espírito pragmático das origens da geometria fractal.

A definição real de fractais tem a ver com essa ideia de dimensão fractal, o principal tópico deste vídeo. Há uma certa maneira de definir a dimensão da palavra na qual o triângulo de Sierpinski tem aproximadamente 1.558 dimensões. Que a curva de Von Koch é aproximadamente 1.262 dimensões. O litoral da Grã-Bretanha acaba por ter 1.21 dimensões. E, em geral, é possível ter formas cuja dimensão é qualquer número real positivo, não apenas números inteiros.

Acho que quando ouvi pela primeira vez alguém referir uma dimensão fracionária como essa, eu pensei que era um absurdo, certo? Quero dizer, os matemáticos estão claramente inventando coisas. Dimensão é algo que geralmente só faz sentido para números naturais, certo? Uma reta é unidimensional. Um plano bidimensional. O espaço em que vivemos, é tridimensional e assim por diante. E, de fato, qualquer estudante de álgebra linear que acabou de aprender a definição formal de dimensão, nesse contexto, concordaria. Só faz sentido contar números. E, claro, a ideia de dimensão fractal é apenas inventada. Quero dizer, isso é matemática, tudo está inventado. Mas a questão é se será ou não uma construção útil para modelar o mundo. E acho que você concorda. Depois de aprender como a dimensão fractal é definida, é algo que você começa a ver em quase todos os lugares que olha.

Na verdade, ajuda a iniciar a discussão aqui, apenas olhando para formas perfeitamente semelhantes. Na verdade, vou começar com quatro formas, as três primeiras nem sequer são fractais. Uma reta, um quadrado, um cubo e um triângulo de Sierpinski. Todas essas formas são auto semelhantes. Uma reta pode ser dividida em duas retas menores, cada uma das quais é uma cópia perfeita da original, reduzida à metade. Um quadrado pode ser dividido em quatro quadrados menores, cada um dos quais é uma cópia perfeita do original, redimensionado pela metade. Da mesma forma, um cubo pode ser dividido em oito cubos menores. Novamente, cada um é uma versão reduzida pela metade. E a principal característica do triângulo de Sierpinski é que ele é feito de três cópias menores de si mesmo. E o comprimento do lado de uma dessas cópias menores é metade do comprimento do lado do triângulo original.

Agora, é divertido comparar como medimos essas coisas. Diríamos que a reta menor é metade do comprimento da reta original. O quadrado menor é um quarto da área do quadrado original. O cubo pequeno é um oitavo do volume do cubo original. E esse triângulo menor de Sierpinski, bem, falaremos sobre como medir isso em apenas um momento. O que eu quero é uma palavra que generalize a ideia de comprimento, área e volume, mas que eu possa aplicar a todas essas formas e muito mais. E normalmente em matemática, a palavra que você usaria para isso é medida. Mas acho que pode ser mais intuitivo falar sobre massa. Imagine que cada uma dessas formas seja feita de metal, um fio fino, uma folha plana, um cubo sólido e algum tipo de malha de Sierpinski.

A dimensão fractal tem tudo a ver com a compreensão de como a massa dessas formas muda à medida que você as escala. O benefício de iniciar a discussão com formas auto semelhantes é que elas nos fornecem uma maneira clara de comparar massas. Quando você reduz essa reta pela metade, a massa também é reduzida pela metade, o que você pode ver visceralmente por que são necessárias duas cópias dessa menor para formar o todo. Quando você reduz o tamanho de um quadrado pela metade, sua massa é reduzida em um quarto, onde novamente você pode ver isso reunindo quatro das cópias menores para obter o original. Da mesma forma, quando você reduz o tamanho do cubo pela metade, a massa é reduzida em um oitavo ou metades de cubos, porque são necessárias oito cópias desse cubo menor para reconstruir o original.

E quando você reduz esse triângulo de Sierpinski em um fator de um meio, você não concorda que faz sentido dizer que sua massa diminui em um fator de um terço? Quero dizer, são precisos exatamente três desses menores para formar o original. Mas observe que, para a reta, o quadrado e o cubo, o fator pelo qual a massa mudou é esse belo expoente inteiro de um meio. De fato, esse expoente é a dimensão de cada forma. Além disso, você poderia dizer que o que significa uma forma ser, por exemplo, bidimensional, o que coloca as duas em bidimensional é que, quando você a escala por algum fator, sua massa é escalada pelo fator gerado para o segundo expoente. E talvez o que significa para uma forma ser tridimensional seja que, quando você a escala por algum fator, a massa é escalada pela terceira potência desse fator.

Portanto, se essa é a nossa concepção de dimensão, qual deveria ser a dimensionalidade de um triângulo de Sierpinski? Você gostaria de dizer que, quando reduzimos a escala em um fator de um meio, sua massa diminui em metade ao expoente de - bem, seja qual for sua dimensão. E por ser auto semelhante, sabemos que queremos que sua massa diminua em um fator de um terço. Então, qual é o número 𝐷 tal que elevar a um meio ao expoente 𝐷 dá a você um terço? Bem, isso é o mesmo que pedir dois para o que é igual a três. O tipo de pergunta por excelência que os logaritmos devem responder. E quando você coloca log de base dois de três em uma calculadora, o que você descobre é que é cerca de 1.585.

Portanto, o triângulo de Sierpinski não é unidimensional, mesmo que você possa definir uma curva que passe por todos os seus pontos. E também não é bidimensional, mesmo que se encontre no plano. Em vez disso, tem 1.585 dimensões. E se você quiser descrever sua massa, nem comprimento nem área parecem as noções apropriadas. Se você tentasse, seu comprimento seria infinito. E sua área acabaria sendo zero. Em vez disso, o que você deseja é qualquer que seja o comprimento análogo de 1.558 dimensões.

Aqui, vamos ver outro fractal auto semelhante, a curva de Von Koch. Este é composto por quatro cópias idênticas menores, cada uma das quais é uma cópia do original reduzida em um terço. Portanto, o fator de escala é de um terço. E a massa diminuiu em um fator de um quarto. Então, isso significa que a dimensão deve ter algum número 𝐷, de modo que, quando elevamos um terço ao expoente 𝐷, isso dá um quarto. Bem, é o mesmo que dizer três elevado a que é igual a quatro. Assim, você pode substituir log de base três de quatro na calculadora. E isso resulta por volta de 1.262. Então, em certo sentido, a curva de Von Koch é uma forma de 1.226 dimensões.

Aqui está outro divertido. Essa é a versão de ângulo retângulo da curva de Koch. Ela é composta de oito cópias reduzidas de si mesmo, onde o fator de escala aqui é um quarto. Então, se você quer saber sua dimensão, deve haver algum número 𝐷 tal que um quarto da potência de 𝐷 seja igual a um oitavo. O fator pelo qual a massa apenas diminuiu. E, neste caso, o valor que queremos é a log de base quatro de oito. E são exatamente três meios. Então, evidentemente, esse fractal tem precisamente 1,5 dimensões. Isso faz sentido? É estranho, mas é tudo sobre escalar e comparar massas enquanto você escala.

E o que eu descrevi até agora, tudo até agora é o que você pode chamar de dimensão de auto semelhança. É um bom trabalho fazer com que a ideia de dimensão fracionária pareça pelo menos um pouco razoável, mas há um problema. Não é realmente uma noção geral. Quero dizer, quando estávamos pensando sobre como a forma de uma massa deveria mudar, ela se baseava na auto semelhança das formas. Que você pode construí-las a partir de cópias menores de si mesmas. Mas isso parece desnecessariamente restritivo. Afinal, a maioria das formas bidimensionais não é auto semelhante.

Considere o disco, o interior de um círculo. Sabemos que é bidimensional. E você poderia dizer que isso ocorre porque quando você o escala por um fator de dois, sua massa proporcional à área é escalada pelo quadrado desse fator, neste caso quatro. Mas não é possível encontrar quatro cópias desse círculo menor para reconstruir o original. Então, como sabemos que esse disco maior é exatamente quatro vezes a massa do original? Responder isso requer uma maneira de tornar essa ideia de massa um pouco mais matematicamente rigorosa, já que não estamos lidando com objetos físicos feitos de matéria, estamos? Estamos lidando com objetos puramente geométricos que vivem em um espaço abstrato. E há algumas maneiras de pensar sobre isso, mas aqui está uma comum.

Cubra o plano com a grade e destaque todos os quadrados da grade que estão tocando o disco. E agora conte quantos existem. No fundo de nossas mentes, já sabemos que um disco é bidimensional. E o número de quadrados da grade em que ele toca deve ser proporcional à sua área. Uma maneira inteligente de verificar isso empiricamente é escalar o disco por algum fator, como dois, e contar quantos quadrados da grade tocam nessa nova versão em escala. O que você deve descobrir é que esse número aumentou aproximadamente na proporção do quadrado do nosso fator de escala, que neste caso significa cerca de quatro vezes mais caixas.

Bem, é certo que o que está na tela aqui pode não parecer tão convincente. Mas é só porque a grade é realmente grossa. Se, em vez disso, você adotou uma grade muito mais fina, uma que captura mais firmemente a intenção que pretendemos aqui, medindo o tamanho do círculo. Essa relação de quadruplicar o número de caixas tocadas quando você dimensiona o disco por um fator de dois deve brilhar mais claramente. No entanto, admito que, quando estava animando isso, fiquei surpreso com a velocidade com que esse valor converge para quatro. Aqui está uma maneira de pensar sobre isso. Se você desenhar o fator de escala em comparação com o número de caixas em que o disco dimensionado toca, seus dados devem se encaixar muito bem em uma parábola perfeita. Como o número de caixas tocadas é aproximadamente proporcional ao quadrado do fator de escala. Para valores de escala cada vez maiores, que na verdade são equivalentes a apenas olhar para uma grade mais fina, esses dados se encaixam mais perfeitamente nessa parábola.

Agora voltando aos fractais, vamos jogar este jogo com o triângulo de Sierpinski, contando quantas caixas estão tocando pontos nessa forma. Como você imagina que esse número se compara a escalar o triângulo por um fator de dois e contar o novo número de caixas tocadas? Bem, a proporção de caixas tocadas pelo grande e o número de caixas tocadas pelo pequeno deve ser de cerca de três. Afinal, essa versão maior é composta apenas de três cópias da versão menor. Você também pode pensar nisso como dois elevado à dimensão do fractal, que acabamos de ver em cerca de 1.585. E assim, se você quiser traçar o fator de escala nesse caso em relação ao número de caixas tocadas pelo triângulo de Sierpinski. Os dados ajustariam de perto uma curva com a forma de 𝑦 igual 𝑥 à potência de 1.585, apenas multiplicada por alguma constante de proporcionalidade.

Mas, o mais importante, todo o motivo pelo qual estou falando sobre isso é que podemos jogar o mesmo jogo com formas não semelhantes a si mesmas que ainda têm algum tipo de rugosidade. E o exemplo clássico aqui é o litoral da Grã-Bretanha. Se você traçar esse litoral no avião e contar quantas caixas estão tocando nele. Em seguida, dimensione-o de alguma forma e conte quantas caixas estão tocando nessa nova versão em escala. O que você descobrirá é que o número de caixas tocando a costa aumenta aproximadamente na proporção do fator de escala aumentado para a potência de 1.21. Aqui, é divertido pensar em como você realmente calcula esse número empiricamente. Por exemplo, imagine que eu lhe dou alguma forma e você é um programador experiente. Como você encontraria esse número?

Então, o que estou dizendo aqui é que, se você escalar essa forma por algum fator, que chamarei de 𝑠. O número de caixas que tocam nessa forma deve ser igual a alguma constante multiplicada pelo fator de escala aumentado para qualquer que seja a dimensão, o valor que estamos procurando. Agora, se você tem algum gráfico de dados que se encaixa perfeitamente em uma curva que se parece com a entrada aumentada para alguma potência, pode ser difícil ver exatamente qual deve ser essa potência. Portanto, um truque comum é usar o logaritmo de ambos os lados. Dessa forma, a dimensão cairá do expoente. E teremos uma boa relação linear. O que isso sugere é que, se você desenhar o log do fator de escala contra o log do número de caixas que tocam a costa, a relação deve se parecer com uma reta. E essa reta deve ter uma inclinação igual à dimensão.

Então, o que isso significa é que, se você experimentou vários fatores de escala, contou o número de caixas tocando a costa em cada instante e depois desenhou os pontos no gráfico de log-log. Você pode fazer algum tipo de regressão linear para encontrar a melhor reta de ajuste para o seu conjunto de dados. E quando você olha para a inclinação dessa reta, isso indica a medida empírica para a dimensão do que você está examinando. Eu acho que isso torna a ideia da dimensão fractal muito mais real e visceral em comparação com formas abstratas artificialmente perfeitas. E quando você se sentir confortável pensando em uma dimensão como essa, você, meu amigo, ficou pronto para ouvir a definição de fractal.

Essencialmente, fractais são formas cuja dimensão não é um número inteiro, mas uma quantidade fracionária. O que é interessante nisso é que é uma maneira quantitativa de dizer que são formas rugosas e permanecem rugosas mesmo quando você aumenta o zoom. Tecnicamente, há uma definição um pouco mais precisa, e eu a incluí no vídeo descrição. Mas essa ideia aqui de dimensão não-integrante captura quase inteiramente a ideia de rugosidade que estamos buscando. Há uma nuance, porém, que eu não mencionei ainda, mas vale ressaltar. O que é que essa dimensão, pelo menos como a descrevi até agora usando o método de contagem de caixas, às vezes pode mudar com base na distância em que você está com o zoom.

Por exemplo, aqui está uma forma em três dimensões que, à distância, parece uma reta. Em 3D, a propósito, quando você faz uma contagem de caixas, você tem uma grade 3D cheia de pequenos cubos em vez de pequenos quadrados. Mas funciona da mesma maneira. Nessa escala, em que a espessura da forma é menor que o tamanho das caixas, ela parece unidimensional. Ou seja, o número de caixas em que toca é proporcional ao seu comprimento. Mas quando você aumenta a escala, ela começa a se comportar muito mais como um tubo, tocando as caixas na superfície desse tubo. E, assim, parecerá bidimensional, com o número de caixas tocadas sendo proporcional ao quadrado do fator de escala. Mas não é realmente um tubo. É feito dessas pequenas curvas rápidas. Assim, quando você aumenta a escala ainda mais, até o ponto em que as caixas podem captar os detalhes dessas curvas, ela fica unidimensional novamente. Com o número de caixas tocadas na escala diretamente na proporção da constante de escala.

Então, na verdade, atribuir um número a uma forma para sua dimensão pode ser complicado. E deixa espaço para diferentes definições e diferentes convenções. Em um ambiente de matemática pura, existem de fato inúmeras definições de dimensão. Mas todos eles se concentram em qual é o limite dessa dimensão em níveis de zoom cada vez mais próximos. Você pode pensar nisso em termos de desenho como o limite dessa inclinação, à medida que você se move cada vez mais para a direita. Portanto, para que uma forma puramente geométrica seja um fractal genuíno, ela precisa continuar parecendo rugosa, mesmo quando você aumenta o zoom infinitamente. Mas em um cenário mais aplicado, como olhar para o litoral da Grã-Bretanha, não faz muito sentido falar sobre o limite à medida que você aumenta o zoom cada vez mais. Quero dizer, em algum momento, você estaria atingindo átomos.

Em vez disso, o que você faz é observar uma escala suficientemente ampla de escalas, de muito zoom a muito zoom. E calcular a dimensão em cada uma. E nessa configuração mais aplicada, uma forma é normalmente considerada um fractal apenas quando a dimensão medida permanece aproximadamente constante, mesmo em várias escalas diferentes. Por exemplo, o litoral da Grã-Bretanha não parece ter 1.21 dimensões à distância. Mesmo se você aumentar o zoom em um fator de mil, o nível de rugosidade ainda estará em torno de 1.21. É esse o sentido em que muitas formas da natureza são auto semelhantes, embora não sejam perfeitas.

Formas perfeitamente auto semelhantes desempenham um papel importante na geometria fractal. O que eles nos dão são exemplos simples de baixa informação desse fenômeno de rugosidade. Rugosidade que persiste em muitas escalas diferentes e em escalas arbitrariamente próximas. E isso é importante! Ela nos fornece as ferramentas primitivas para modelar esses fenômenos fractais. Mas acho que também é importante não os ver como exemplos prototípicos de fractais. Como os fractais em geral, na verdade, têm muito mais caráter para eles.

Eu realmente acho que essa é uma daquelas ideias em que, uma vez que você aprende, faz você começar a olhar o mundo de maneira completamente diferente. O que esse número é, o que essa dimensão fracionária nos dá, é uma maneira quantitativa de descrever a rugosidade. Por exemplo, o litoral da Noruega tem cerca de 1.52 dimensões, o que é um número numérico para comunicar o fato de que é muito mais irregular do que o litoral da Grã-Bretanha. A superfície de um oceano calmo pode ter uma dimensão fractal apenas um pouco acima de dois, enquanto uma tempestade pode ter uma dimensão mais próxima de 2.3. De fato, a dimensão fractal não surge apenas com frequência na natureza. Parece ser o principal diferenciador entre os objetos que surgem naturalmente e os que são feitos apenas pelo homem. Para a animação final aqui, tenho um certo fractal caprichoso de criaturas 𝜋 que quero lhe mostrar.

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