Vídeo: Introdução ao Números Complexos

Neste vídeo, aprenderemos a lidar com números imaginários, sabendo que os números complexos são formados por uma parte real e uma parte imaginária.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos olhar para o conceito de números imaginários e complexos. Para começar, vamos simplesmente definir o que queremos dizer com um número imaginário e um número complexo. E vamos ver quando e porque podemos precisar utilizá-los. Depois, veremos como realizar cálculos simples e manipular este tipo de números.

Quando começamos a aprender sobre números, aprendemos sobre o conjunto dos números naturais. Estes são chamados, às vezes, os números de contagem. São os números que podem ser utilizados para contar e ordenar. Por exemplo, há três maçãs na tigela, ou história é a minha segunda disciplina favorita, atrás de matemática, é claro. Em seguida, ampliamos essa ideia e aprendemos a fazer uma adição e subtração simples.

Agora, nesta fase, podemos ter dificuldade em entender uma soma como três menos cinco sem entender o conceito de números negativos. Aí deparamo-nos com o conceito de partilha. E somos forçados a introduzir mais um conjunto de números quando começamos a analisar a divisão. Uma equação como dois 𝑥 igual a um não tem um número inteiro como solução. Então, introduzimos a ideia de frações ou números decimais.

A nossa compreensão de números agora inclui números racionais, números que podem ser escritos na forma 𝑎 sobre 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são inteiros. E assim descobrimos que há ainda mais números do que os números naturais, os números negativos e os números racionais. Aprendemos sobre radicais e 𝜋. Estes são números irracionais, números que não podem ser escritos como um inteiro sobre outro. Combinamos todos estes números e temos o conjunto dos números reais. Bem, ótimo, isto é tudo que precisamos, certo?

Bem, não, não é bem assim. Durante a nossa exploração do conceito de números, deparar-nos-emos com equações que não têm solução, ou pelo menos aquelas que supomos não ter solução. Considere 𝑥 ao quadrado mais um igual a zero por exemplo. Sabemos que, para qualquer valor real de 𝑥, 𝑥 ao quadrado será sempre maior ou igual a zero. Então, significa que 𝑥 ao quadrado mais um deve ser sempre maior ou igual a um.

Então, no que nos diz respeito, a equação 𝑥 ao quadrado mais um igual a zero realmente não faz muito sentido ainda. E podemos até considerar o gráfico da equação 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado mais um. É uma parábola que interseta o eixo O𝑦 em um. Vemos que simplesmente não há soluções reais para a equação 𝑥 ao quadrado mais um igual a zero. Este gráfico não interseta o eixo O𝑥. Na verdade, já ampliámos o nosso entendimento de números desde os números naturais até aos números irracionais. Então, o que nos impede de ampliar um pouco mais?

Imaginemos que a equação 𝑥 ao quadrado mais um igual a zero tem uma solução. Nós poderíamos resolvê-la como qualquer outra equação. Poderíamos subtrair um dos dois membros para obter 𝑥 ao quadrado igual a menos um. E aqui, é aqui onde estendemos a nossa compreensão dos números.

Introduzimos um novo número, 𝑖, tal que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. E agora podemos ver que 𝑖 deve ser uma solução para a equação 𝑥 ao quadrado igual a menos um. E, de facto, se aplicarmos a raiz quadrada, vemos que 𝑖 é igual à raiz quadrada de menos um. Chamamo-lo de número imaginário.

Este termo foi o utilizado originalmente porque, na época, ninguém acreditava que nenhum mundo real encontraria utilidade para este número. Era visto como um número falso, inventado apenas com o propósito de resolver certas equações. Mas se pensarmos nos diferentes conjuntos de números, são todos inventados. Então, por que não inventar um novo? E este realmente caiu bem.

Assim, definimos 𝑖 como sendo a solução para a equação 𝑥 ao quadrado igual a menos um. E é frequentemente referido como a raiz quadrada de menos um. Agora, como 𝑖 não é um número real, este e quaisquer múltiplos reais de 𝑖 — que são números da forma 𝑏𝑖, em que 𝑏 é um número real — são chamados de números imaginários puros. E assim como o conjunto de todos os números reais é denotado por ℝ, o conjunto de todos os números imaginários é denotado por 𝕀. Então esta é a nossa primeira definição.

E aqui introduzimos uma segunda definição. Esta definição é para números complexos. Estes são o resultado da adição de números reais e imaginários. Estes são da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. E o conjunto de todos os números complexos é denotado por esta letra ℂ. E para um número complexo 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, dizemos que a parte real de 𝑧 é 𝑎 e a parte imaginária é 𝑏. E tenha cuidado. A parte imaginária é 𝑏, não 𝑏𝑖.

Agora que temos todas as definições relevantes de que precisamos, vamos ver como formar e manipular este tipo de números.

Qual é o valor de cinco 𝑖 ao quadrado?

Para responder a esta questão, vamos relembrar as nossas regras para simplificar expressões algébricas. Por exemplo, para simplificar uma expressão da forma 𝑎 multiplicado por 𝑏 elevados a 𝑛, fazemos 𝑎 elevado a 𝑛 e multiplicamo-lo por 𝑏 elevado a 𝑛. Neste caso, cinco 𝑖 ao quadrado é o mesmo que cinco ao quadrado multiplicado por 𝑖 ao quadrado. E claro, cinco ao quadrado é 25. E 𝑖 é definido como a solução para a equação 𝑥 ao quadrado igual a menos um. 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então, podemos escrever cinco 𝑖 ao quadrado como 25 multiplicado por menos um. E como mais multiplicado por menos é menos, temos que cinco 𝑖 ao quadrado é igual a menos 25.

Calcule três 𝑖 multiplicado por sete 𝑖.

Para responder a esta questão, vamos relembrar que a multiplicação é comutativa. Pode ser executada em qualquer ordem. Podemos reescrever este produto como três multiplicado por sete multiplicado por 𝑖 multiplicado por 𝑖. Três multiplicado por sete é 21 e 𝑖 multiplicado por 𝑖 é 𝑖 ao quadrado. Ainda não terminámos.

𝑖 não é uma variável como 𝑥 ou 𝑦. Sabemos que 𝑖 é a solução para a equação 𝑥 ao quadrado igual a menos um. Podemos dizer que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um ou 𝑖 é igual à raiz quadrada de menos um. Vamos substituir 𝑖 ao quadrado no nosso problema por menos um. E podemos ver que três 𝑖 multiplicado por sete 𝑖 se torna 21 multiplicado por menos um. 21 multiplicado por menos um é menos 21. Calculámos três 𝑖 multiplicado por sete 𝑖. É menos 21.

Escreva a raiz quadrada de menos quatro em termos de 𝑖.

Para responder a esta questão, precisaremos de reescrever menos quatro. Escreveremos como quatro multiplicado por menos um. E por que o fazemos? Bem, significa que podemos reescrever a raiz quadrada de menos quatro como a raiz quadrada de quatro multiplicado por menos um.

Agora as propriedades das raízes dizem-nos que, para números reais positivos 𝑎 e 𝑏, a raiz quadrada de 𝑎𝑏 é a mesma que a raiz quadrada de 𝑎 multiplicada pela raiz quadrada de 𝑏. Agora, enquanto isso não é verdade para todos os números complexos em geral, podemos dizer que a raiz quadrada de menos 𝑎 pode ser escrita como a raiz quadrada de 𝑎 multiplicada por menos um. E por sua vez, isso pode ser escrito como a raiz quadrada de 𝑎 multiplicada pela raiz quadrada de menos um.

Isto significa que podemos escrever a raiz quadrada de menos quatro como a raiz quadrada de quatro multiplicada pela raiz quadrada de menos um. Sabemos que a raiz quadrada de quatro é dois, e também sabemos que a raiz quadrada de menos um é 𝑖. Então podemos dizer que a raiz quadrada de menos quatro é dois multiplicada por 𝑖. E, de facto, simplificaremos isto. E vemos que a raiz quadrada de menos quatro é dois 𝑖.

Escreva a raiz quadrada de menos 54 em termos de 𝑖.

Para responder a esta questão, vamos reescrever menos 54. Reescrevemo-lo como 54 multiplicado por menos um. E isso significa que podemos dizer que a raiz quadrada de menos 54 é a mesma que a raiz quadrada de 54 multiplicada por menos um. E vamos ver por que fazemos isto de uma forma mais geral.

Agora podemos dizer que a raiz quadrada de menos 𝑎 pode ser escrita como a raiz quadrada de 𝑎 multiplicada por menos um, que por sua vez pode ser escrita como a raiz quadrada de 𝑎 multiplicada pela raiz quadrada de menos um. E se nos lembrarmos de que dizer que 𝑖 é igual à raiz quadrada de menos um, a raiz quadrada de menos 𝑎 deve ser igual à raiz quadrada de 𝑎 multiplicada por 𝑖.

Para o nosso número, podemos escrevê-lo como a raiz quadrada de 54 multiplicada pela raiz quadrada menos um, que é a raiz quadrada de 54 multiplicada por 𝑖. Nós ainda não terminámos. Precisamos de simplificar a raiz quadrada de 54 na medida do possível. Existem várias maneiras de o fazer. Poderíamos considerar 54 como um produto dos seus fatores primos. Ou, alternativamente, poderíamos determinar o maior fator de 54, que também é um quadrado perfeito.

Neste caso, o fator que nos interessa é nove. Assim, dizemos que a raiz quadrada de 54 é igual à raiz quadrada de nove multiplicada por seis, ou a raiz quadrada de nove multiplicada pela raiz quadrada de seis. Mas nós, é claro, sabemos que a raiz quadrada de nove é três. Então podemos dizer que a raiz quadrada de 54 é igual a três raiz de seis. E podemos ver que a raiz quadrada de menos 54 é três raiz de seis 𝑖.

Agora é importante ter cuidado aqui. Tente incluir os parêntesis como apresentado. Se fôssemos escrever três raiz de seis 𝑖 sem parênteses, poderia facilmente ser confundido por três multiplicado pela raiz quadrada de seis 𝑖, o que é uma solução completamente diferente.

Adicione quatro a menos 𝑖.

Deram-nos um número real e um número imaginário. E pretendemos determinar a sua soma. O que esta questão nos está a pedir é para formar um número complexo. Lembre-se, um número complexo, 𝑧, é da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑎 é a componente real de 𝑧 e 𝑏 é a componente imaginária.

Agora, se adicionarmos quatro a menos 𝑖, obteremos quatro mais menos 𝑖. Mas podemos escrevê-lo simplesmente como quatro menos 𝑖. E podemos ver que temos um número complexo com uma componente real quatro e uma componente imaginária menos um.

A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Qualquer número real também é um número complexo.

Sabemos que um número complexo 𝑧 é da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. Agora de facto, poderíamos dizer que um número real 𝑎 é da forma 𝑎 mais zero 𝑖. Zero é um número real. E pela sua própria definição, 𝑎 mais zero 𝑖 é um número complexo.

Então, mostrámos que qualquer número real também é um número complexo. Podemos dizer que a afirmação “Qualquer número real é também um número complexo” é verdadeira. É importante notar que a afirmação contrária não é verdadeira. Não podemos dizer que qualquer número complexo também seja um número real, já que um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária. A única maneira que um número complexo também poder ser um número real é se a parte imaginária for zero.

Qual é a parte imaginária do número complexo dois menos dois 𝑖?

Um número complexo é o resultado da adição de um número real e um número imaginário. E um número complexo 𝑧 está na forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. Dizemos que a parte real desse número complexo geral é 𝑎. E a parte imaginária é essencialmente o coeficiente de 𝑖. É 𝑏. Lembre-se, não é 𝑏𝑖, é apenas 𝑏.

Vamos comparar esta forma geral com nosso número complexo dois menos dois 𝑖. Podemos ver que 𝑎 é igual a dois e 𝑏 é igual a menos dois. E isto significa que a parte real deste número complexo é dois e a parte imaginária é menos dois.

Então vamos recapitular o que aprendemos hoje. Expandimos a nossa compreensão do conjunto de todos os números para incluir números imaginários. Temos um novo número 𝑖, que é definido como a solução da equação 𝑥 ao quadrado igual a menos um. E, é claro, costumamos dizer que 𝑖 é igual à raiz quadrada menos um.

Aprendemos que um número da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais, é chamado de número complexo. Estes são formados adicionando um número real e um número imaginário. E finalmente, vimos que a parte real do nosso número complexo é 𝑎 e a parte imaginária é 𝑏, não 𝑏𝑖.

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