Vídeo: O Teorema de Pitágoras — Introdução

Introduzimos o termo hipotenusa e explicamos as palavras exatas do teorema de Pitágoras e depois examinamos a Prova de Dissecação de Perigal sobre o teorema . Então, vemos como usar e aplicar o teorema para mostrar se um triângulo é um triângulo retângulo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vai ser-nos introduzido o teorema de Pitágoras, que é um resultado geométrico realmente útil dentro da matemática que também tem algumas aplicações realmente interessantes. Este teorema é sobre triângulos retângulos. Ou, mais especificamente, é sobre a relação que existe entre os comprimentos dos lados em qualquer triângulo retângulo. O seu nome, o teorema de Pitágoras, vem da pessoa que o concretizou. Por isso, o seu nome vem de um matemático chamado Pitágoras, que era um matemático grego. Ele nasceu não sabemos exatamente quando, mas em torno de 570 BC. E foi-lhe dado o seu nome. Poderá ter sido utilizado antes do seu tempo. Mas é-lhe creditado como sendo a primeira pessoa a realmente provar este teorema. E é por isso que tem o seu nome.

Agora analisemos o teorema em detalhe, precisamos de um pouco de linguagem ou terminologia associada a triângulos retângulos. E o que precisamos de ver é o nome que damos a um desses lados em particular. E o lado em que estamos interessados ​​é o lado de maior comprimento de um triângulo retângulo. Vejamos, em qualquer triângulo retângulo, o lado de maior comprimento é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Então, para este triângulo aqui, vai ser este lado que marquei a laranja. Esse é o lado de maior comprimento deste triângulo. Agora temos um nome específico que damos a esse lado. E o nome que damos é a hipotenusa do triângulo. Verás aqui esta palavra estranha muitas vezes quando trabalhamos com triângulos retângulos e, em particular, com o Teorema de Pitágoras: a hipotenusa do triângulo, que significa o lado de maior comprimento, o lado oposto ao ângulo reto. Agora precisas de ver triângulos retângulos em várias orientações diferentes. Nem sempre serão exatamente iguais ao primeiro que desenhei aqui. Mas, em qualquer caso, se seguires simplesmente o ângulo correto, poderás identificar facilmente que lado é a hipotenusa.

Então agora vejamos o enunciado do teorema. Escrevi-o na tela aqui. O teorema de Pitágoras diz-nos que, em qualquer triângulo retângulo — e deve ter um ângulo reto. O teorema não funciona se não tivermos um triângulo retângulo. Mas o que nos diz é o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois lados mais curtos (os catetos). Então, o que isto significa é, em qualquer triângulo retângulo, se eu olhasse para o comprimento da hipotenusa, qualquer que fosse, e fizesse o quadrado, eu obteria exatamente o mesmo resultado, que se tivesse feito o quadrado dos outros dois lados (os catetos), ambos de menor comprimento que a hipotenusa. E depois adiciono estes dois quadrados. Agora pode ajudar-te se visualizares isto utilizando um esquema. Assim, eu tenho aqui um triângulo retângulo. E marquei os seus três lados com 𝑎, 𝑏 e 𝑐. E a seguir desenhei quadrados em cada lado. Para o lado cujo comprimento é 𝑎, a área desse quadrado é 𝑎 ao quadrado. Para o lado cujo comprimento é 𝑏, a área é 𝑏 ao quadrado. E para o lado cujo comprimento é 𝑐, a área desse quadrado é 𝑐 ao quadrado. E assim, pensando sobre isto com um desenho, o que o teorema de Pitágoras me diz é que se eu somar a área destes dois quadrados menores, portanto, o quadrado vermelho e o quadrado azul, eu obterei a área do maior quadrado, o quadrado verde. Também verás frequentemente o teorema escrito em termos de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Portanto, aqui 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. Verás muitas vezes o teorema escrito desta forma. E isso significa apenas somar estes dois quadrados menores dá-me o mesmo resultado do que quando calculo o quadrado maior.

Existem muitas maneiras diferentes de te convenceres da validade deste teorema. Por exemplo, poderias desenhar ou construir um triângulo retângulo. E poderias medir o comprimento de cada um dos seus lados com a maior precisão possível. E poderias testá-lo. É verdade que quando fazes isso, obténs este resultado, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado igual a 𝑐 ao quadrado? Ora, se fizeres isso, poderás descobrir que não obténs o resultado exatamente porque ficará limitado pela precisão da régua ou do que estiveres a utilizar para medir. Mas deves conseguir algo bem próximo se o triângulo que desenhaste realmente contiver um ângulo reto.

Agora, outra maneira de ver isso e, de facto, um método que podes reproduzir por ti mesmo, foi oferecido por um matemático chamado Henry Perigal em 1891. E o que ele sugeriu foi uma prova em que cortas os quadrados menores. Cortas de uma maneira particular, conforme ilustrado pelas linhas deste esquema. E a seguir podes reorganizar as peças e encaixá-las todas diretamente dentro do maior quadrado para mostrar que essas duas áreas de facto se somam à área do maior quadrado. E esta é uma boa prova física que podes utilizar para ilustrar o teorema de Pitágoras. Também existem muitas outras maneiras pelas quais poderias ver o teorema, e outras provas que existem. Uma dessas provas é uma chamada prova de Garfield, que envolve um argumento geométrico e algébrico para o demonstrar. E esta é efetivamente coberta noutro vídeo, se estiveres interessado em vê-la. Muitas maneiras diferentes de provar o teorema e o teorema em si é realmente poderoso, porque o que podemos fazer é utilizá-lo de maneiras diferentes. Podemos utilizá-lo, em primeiro lugar, para testar se um triângulo é, de facto, um triângulo retângulo. E vamos ver alguns exemplos disso adiante. Ou podemos utilizá-lo se soubermos que um triângulo já tem um ângulo reto. Podemos também utilizá-lo para calcular o comprimento de qualquer um dos lados em falta, desde que conheçamos os outros dois. E há algumas aplicações bastante interessantes dentro de matemática em que podemos utilizar o teorema.

Então, vamos analisar se um triângulo é ou não retângulo ao ver se o teorema de Pitágoras é válido ou não. Então eu tenho um triângulo aqui. Os lados são cinco centímetros, 12 centímetros e 13 centímetros. E a questão que procuro responder é: este triângulo contém um ângulo reto? Parece que sim pela maneira como o esquema foi desenhado. Mas nunca devemos supor isso só porque o triângulo parece ter um ângulo reto. Nós não podemos fazer essa suposição. Então, o que precisamos de fazer é ver se o teorema de Pitágoras é válido ou não para este triângulo. E se o for, terá um ângulo reto. Se não o for, este triângulo não terá um ângulo reto. Então, relembrando o teorema de Pitágoras: 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. Agora, 𝑎 e 𝑏 representam os catetos deste triângulo. Então, estes serão o cinco e o 12. Agora, não importa a quem atribuo 𝑎 e 𝑏. Eu posso fazê-lo em qualquer ordem. E 13 representa a hipotenusa deste triângulo, então o lado de maior comprimento é 13. Então, agora precisamos de testar se o teorema é válido ou não. Então, vou começar por calcular o que 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado neste triângulo. O que será igual a cinco ao quadrado mais 12 ao quadrado. Agora, se eu os substituir pelos seus valores reais, tenho 25 mais 144. E se os somarmos, tenho 169. Os números desta questão são todos bons. E eu sei que, na verdade, 169 é igual a 13 ao quadrado. E 13 é o comprimento do terceiro lado do meu triângulo 𝑐. Então, isto é igual a 𝑐 ao quadrado. Assim, neste triângulo, o teorema funciona. Cinco ao quadrado mais 12 ao quadrado é igual a 13 ao quadrado. Portanto, nós temos 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. E, assim, este triângulo contém um ângulo reto. E este ângulo aqui é um ângulo reto.

Agora, na verdade, este é um tipo especial de triângulo retângulo, porque não apenas contém um ângulo reto, mas também os três lados são inteiros: cinco centímetros, 12 centímetros e 13 centímetros. E este poderá não ser sempre o caso quando tiveres que responder a uma questão utilizando o teorema de Pitágoras. Mais frequentemente, poderás ter comprimentos que sejam números decimais. Este é um tipo de triângulo particularmente interessante. E tem um nome particular. É conhecido como um terno pitagórico porque é um triângulo retângulo onde os três lados são inteiros. E poderás procurar por outros ternos pitagóricos para ver se consegues mais.

Agora vejamos outro exemplo, se podemos determinar se este triângulo tem um ângulo reto. Portanto, temos um triângulo aqui com lados de quatro centímetros, seis centímetros e sete centímetros. E queremos ver se o teorema de Pitágoras se aplica ou não a este triângulo. Este dir-nos-á se contém ou não um ângulo reto. Então, relembrando o teorema, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado, onde 𝑎 e 𝑏 são os catetos. Eu vou rotular este com 𝑎 e este com 𝑏. E 𝑐 é o lado de maior comprimento. Então este é o lado de sete centímetros. Como fizemos antes, vamos começar por calcular o valor de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Assim, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado será quatro ao quadrado mais seis ao quadrado. Então, se eu calcular os valores destas duas quantidades, tenho 16 para quatro ao quadrado e 36 para seis ao quadrado. Eu preciso de adicionar estes valores, o que me dá um total de 52 para 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Agora 𝑐 é sete centímetros. Ora, eu sei que 𝑐 ao quadrado é igual a sete ao quadrado, que é igual a 49. E o que eu vejo é que estas duas quantidades não são iguais. Por um lado, tenho 52. E, por outro lado, tenho 49. Portanto, para este triângulo específico, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado não é igual a 𝑐 ao quadrado. E, portanto, não é um triângulo retângulo.

Esta é uma ilustração do contrarrecíproco do teorema de Pitágoras, ou seja, o oposto, que nos diz que se 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado não é o mesmo que 𝑐 ao quadrado, então o triângulo não é um triângulo retângulo. Portanto, não importa o quanto um triângulo se possa parecer com um triângulo retângulo num dado esquema. Se o teorema de Pitágoras não funciona para os três lados, então não é um triângulo retângulo. Ora aqui tens uma introdução ao teorema de Pitágoras, alguns exemplos de como te podes convencer da sua validade e também alguns exemplos de como podes utilizá-lo para testar se um triângulo é ou não um triângulo retângulo.

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