Vídeo da aula: Rsolvendo Equações com Números Racionais Matemática • 7º Ano

Utilizaremos números inversos (inversos multiplicativos) e os princípios de equivalência da adição e da multiplicação para resolver equações que têm números racionais como termos (frações), tais como 𝑥 − (1/17) = (5/17) ou (46/13)/? = 1.

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Vamos falar sobre como resolver equações com números racionais. Antes de o fazer, precisamos de falar sobre alguns conceitos-chave. O primeiro é o inverso; também é chamado inverso multiplicativo. O inverso é pelo que quer que multipliques um número e o produto é um. É representado aqui por 𝑎 vezes um sobre 𝑎. Quando os multiplicas, 𝑎 sobre 𝑎 é igual a um. Cinco vezes um quinto é igual a um. Um quinto é o inverso ou inverso multiplicativo de cinco.

Próximo passo, o princípio de equivalência da adição. Este princípio afirma que, se 𝑎 é igual a 𝑏, então 𝑎 mais 𝑐 é igual a 𝑏 mais 𝑐. Aqui está um exemplo da utilização do princípio de equivalência da adição para resolver uma equação. Adicionei cinco aos dois membros aqui para resolver em ordem a 𝑥. Às vezes, podemos dizer que se fazes algo num membro da equação, precisa de fazer o mesmo no outro. Quando dizemos isso, estamos a utilizar o princípio da equivalência da adição.

O nosso terceiro e último conceito-chave, princípio de equivalência da multiplicação, que é semelhante ao princípio de equivalência da adição. Este afirma que se 𝑎 é igual a 𝑏 então 𝑎 vezes 𝑐 é igual a 𝑏 vezes 𝑐. Aqui está o nosso exemplo: 𝑎 dividido por cinco é igual a sete. Para resolver em ordem a 𝑎, multiplicarei por cinco ambos os membros da equação e estou a utilizar o princípio de equivalência da multiplicação para o fazer.

Agora, resolvemos equações.

Exemplo um: um meio 𝑥 é igual a menos cinco sextos. O objetivo aqui é resolver em ordem a 𝑥. E precisamos de o fazer utilizando primeiro o inverso para isolar 𝑥. Eis como é: multiplico os dois membros por dois sobre um. Depois de o fazer, tenho 𝑥 igual a menos dez sextos. Mas esta não é a forma simplificada desta fração, e queremos sempre manter as frações na forma reduzida. A forma reduzida é menos cinco terços. Para descobrir isto, dividi menos dez sextos por dois na parte superior e dois na parte inferior.

Em seguida, 𝑥 menos um dezassete avos é igual a cinco dezassete avos. Vamos resolver este problema com o princípio de equivalência da adição. Ao adicionar um dezassete avos aos dois membros da equação, a nossa resposta final torna-se 𝑥 igual a seis dezassete avos.

Exemplo três: quando três quartos é dividido por 𝑎 sobre 𝑏, o resultado é cinco oitavos. Resolva em ordem a 𝑎 sobre 𝑏. O primeiro passo é transformar este problema contextualizado numa equação. Fizemo-lo aqui escrevendo três quartos dividido por 𝑎 sobre 𝑏 igual a cinco oitavos. Não te esqueças! Quando dividimos por uma fração, isso significa que estamos a multiplicar pelo inverso. Então, é isso que vamos fazer; vamos mudar a divisão para multiplicação e mudar 𝑎 sobre 𝑏 para 𝑏 sobre 𝑎. Vamos apenas deslizar o problema para que possamos continuar. Estamos a tentar isolar 𝑏 sobre 𝑎, então multipliquei por quatro terços os dois membros. Depois de multiplicar por quatro terços os dois membros, ficamos com 𝑏 sobre 𝑎 igual a vinte sobre vinte e quatro. Novamente, queremos sempre a forma mais simples que pudermos encontrar, de modo que sei que vinte a vinte e quatro podem ser reduzidos. Uma forma reduzida desta fração é cinco sextos; dividimos em cima e em baixo por quatro. Então, descobrimos 𝑏 sobre 𝑎, mas a nossa questão não nos perguntava quanto era 𝑏 sobre 𝑎. A nossa questão pedia-nos para determinar 𝑎 sobre 𝑏, então alteramos a nossa fração para a resposta final e 𝑎 sobre 𝑏 é igual a seis quintos.

A próxima questão diz que três e sete treze avos dividido por um número é igual a um. Três e sete treze avos dividido por um número é igual a um; eu quero que penses só sobre este problema um minuto. O que achas que deveria ir para ali? Como achas que devemos resolver este problema? Se ainda não tens a certeza, aqui está uma dica: três dividido pelo quê é igual a um ou cinco dividido pelo quê é igual a um. Eles mesmos! Três dividido por três é igual a um e cinco dividido por cinco é igual a um. Qualquer coisa dividida por si mesma é igual a um. Só tivemos que nos lembrar deste facto para responder a esta questão. A resposta aqui é três e sete treze avos, porque três e sete treze avos dividido por si mesmo é igual a um.

Exemplo cinco: catorze vinte sete avos dividido por um número igual a um e cinco sextos, então temos catorze vinte sete avos dividido por 𝑎 igual a onze sextos. Agora, fiz duas alterações: alterei dividido por 𝑎 para multiplicado por um sobre 𝑎. Então, passamos de dividir por algo a multiplicar pelo seu inverso. Para isolar a nossa variável, multipliquei pelo inverso vinte e sete décimos quartos ambos os membros da equação. Para simplificar, dividi vinte e sete por três e seis por três e obtive nove e dois. Isso ajudará a determinar a forma mais simples desta fração. Agora ficamos com um sobre 𝑎 igual a 11 vezes nove sobre dois vezes catorze. Quando multiplicamos isto, obtemos um sobre 𝑎 igual a noventa e nove sobre vinte e oito. Mas se olhares atentamente, verás que não estamos à procura de um sobre 𝑎; nós estamos à procura de 𝑎. Portanto, a nossa resposta final aqui deve ser de vinte e oito sobre noventa e nove.

Ao resolver estes problemas, lembra-te dos principais conceitos. Estes são as suas ferramentas para resolver problemas como estes. O seu inverso, sendo 𝑎 vezes um sobre 𝑎 igual a um. O princípio de equivalência da adição, se adicionares algo a um membro, precisará de adicioná-lo ao outro. E o mesmo vale para a multiplicação. Se multiplicares por algo de um membro, precisarás de fazer o mesmo do outro. E agora estás pronto, então é a tua vez de experimentar um pouco.

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