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Vídeo da aula: Equação de uma reta no espaço: formas cartesiana e vetorial Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como determinar as formas cartesiana e vetorial da equação de uma reta no espaço.

13:41

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como podemos determinar a equação de uma reta no espaço. Então, isto significa que estamos a olhar para coordenadas em três dimensões, e não apenas em duas dimensões. Veremos como podemos escrever esta equação na forma cartesiana, que às vezes é chamada de forma geral. E também veremos como podemos escrevê-la na forma vetorial. Vamos começar por dar uma olhadela à forma vetorial.

A forma vetorial de uma reta pode ser descrita como 𝐫 igual a 𝐫 índice zero mais 𝑡𝐯, onde 𝐫, 𝐫 índice zero e 𝐯 são todos vetores. 𝐫 é o vetor posição de qualquer ponto geral da reta. 𝐫 índice zero é o vetor posição de um determinado ponto na reta. 𝐯 é o vetor diretor ou ao longo da reta. E 𝑡 é um múltiplo escalar. A forma vetorial pode ser utilizada em duas e três dimensões. A diferença é que, em três dimensões, todos os nossos vetores terão componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Quando estamos a descrever uma reta na forma vetorial, lembre-se de que estamos a pensar como navegamos da origem até um ponto específico. E a seguir, estamos a mover-nos ao longo desta reta em múltiplos escalares do vetor 𝐯.

Agora, veremos uma questão em que precisamos de escrever a equação vetorial de uma reta, dado um ponto na reta e um vetor diretor.

Apresente a equação vetorial da reta que passa pelo ponto três, sete, menos sete com vetor diretor zero, menos cinco, sete.

Devemos recordar que quando precisarmos de escrever uma equação na forma vetorial, esta estará na forma 𝐫 igual a 𝐫 índice zero mais 𝑡𝐯, onde 𝐫 é o vetor posição de um ponto geral na reta, 𝐫 índice zero é um vetor posição de um determinado ponto na reta e 𝐯 é o vetor diretor. 𝑡 é um múltiplo escalar. Se olharmos para as informações que nos são dadas na questão, podemos ver que temos um vetor diretor. E temos um ponto na reta que pode ser escrito como um vetor posição. À medida que navegamos da origem até ao ponto três, sete, menos sete, podemos escrever isto como o vetor posição três, sete, menos sete.

Podemos então simplesmente inserir estes dois vetores na forma vetorial. 𝐫 é igual ao vetor posição três, sete, menos sete mais 𝑡 vezes o vetor diretor zero, menos cinco, sete. E esta é a resposta da equação vetorial da reta.

Na questão a seguir, veremos como podemos calcular um vetor diretor dados dois pontos.

Determine o vetor diretor da reta que passa por 𝐴 um, menos dois, sete e 𝐵 quatro, menos um, três.

Nesta questão, temos os vetores posição de dois pontos no espaço, 𝐴 e 𝐵, e pedem-nos para determinar o vetor diretor. Quando queremos determinar um vetor diretor 𝐀𝐁, 𝐴 é o ponto inicial e 𝐵 é o ponto terminal, subtraímos o ponto inicial do ponto terminal. Para determinar o vetor diretor, podemos subtrair cada uma das componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 em 𝐴 daquelas em 𝐵. Para começar então, teremos quatro menos um, dando-nos três. Então, teremos menos um menos menos dois, o que equivale a menos um mais dois, que é um. E, finalmente, teremos três menos sete, dando-nos menos quatro. E assim temos a resposta para o vetor diretor de 𝐝 como três, um, menos quatro.

Nesta questão, no entanto, não precisamos necessariamente de determinar o vetor diretor 𝐀𝐁. Também poderíamos ter determinado o vetor diretor 𝐁𝐀. Neste caso, teríamos o simétrico do vetor de 𝐝 igual a menos três, menos um, quatro, o que também seria uma resposta válida.

Na próxima questão, veremos um exemplo um pouco mais complexo em que precisamos determinar a equação vetorial de uma mediana de um triângulo desenhado no espaço tridimensional.

Os pontos 𝐴 menos oito, menos nove, menos dois; 𝐵 zero, menos sete, seis; e 𝐶 menos oito, menos um, menos quatro formam um triângulo. Determine na forma vetorial a equação da mediana desenhada a partir de 𝐶.

Nesta questão, temos três pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, que são dados no espaço tridimensional. Estes três pontos disseram-nos que formam um triângulo. Disseram-nos que existe uma mediana desenhada a partir de 𝐶 e, portanto, será útil lembrar que uma mediana é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Por exemplo, se desenharmos este triângulo bidimensional 𝐴𝐵𝐶, a mediana de 𝐶 ficará assim.

Talvez a melhor maneira de começar esta questão seja ver se podemos determinar o ponto que é o ponto médio de 𝐴𝐵. Vamos definir isto com a letra 𝑀. A fórmula para determinar o ponto médio de dois pontos no espaço é muito semelhante à que podemos utilizar para duas coordenadas no espaço bidimensional. Para determinar o ponto médio 𝑀 de 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois, 𝑧 dois, temos que 𝑀 é igual a 𝑥 um mais 𝑥 dois sobre dois, 𝑦 um mais 𝑦 dois sobre dois, 𝑧 um mais 𝑧 dois sobre dois. Quando preenchemos os nossos valores nesta fórmula, precisamos de nos certificar de que estamos a utilizar os valores para 𝐴 e 𝐵, pois, afinal, precisamos de determinar o ponto médio de 𝐴𝐵.

Observe que, quando inserimos os nossos valores, não importa o ponto que utilizamos com os nossos valores de 𝑥 um, 𝑦 um, 𝑧 um ou os valores de 𝑥 dois, 𝑦 dois, 𝑧 dois. Portanto, temos que o ponto médio 𝑀 é igual a menos oito mais zero sobre dois, menos nove mais menos sete sobre dois e menos dois mais seis sobre dois. Simplificando, temos que 𝑀 é igual a menos quatro, menos oito, dois. Agora podemos limpar algum espaço para que possamos começar a pensar sobre a forma vetorial da equação desta mediana. A forma vetorial de uma equação pode ser escrita na forma 𝐫 igual a 𝐫 índice zero mais 𝑡𝐯, onde 𝐫 é o vetor posição de um ponto geral na reta, 𝐫 índice zero é o vetor posição de um determinado ponto na reta, e 𝐯 é o vetor diretor. 𝑡 é um múltiplo escalar.

Vamos pensar no que acontecerá se modelarmos estes três pontos no espaço tridimensional. Teremos o triângulo 𝐴𝐵𝐶 e a mediana, que será o segmento de reta de 𝐶𝑀. Portanto, quando se trata de escrever a mediana na forma vetorial, o vetor posição pode ser o ponto 𝐶. Mas ainda precisamos de calcular o vetor diretor de 𝐂𝐌. Para determinar o vetor 𝐂𝐌, subtraímos o ponto inicial 𝐶 do ponto terminal 𝑀. Portanto, temos menos quatro, menos oito, menos oito, menos um, e dois, menos quatro. Simplificando, temos que o vetor 𝐂𝐌 é igual a quatro, menos sete, seis.

Agora temos todas as informações de que precisamos para inserir na forma vetorial da reta. 𝐫 índice zero será o vetor posição que representa o ponto 𝐶. O vetor 𝐯 será representado pelo vetor 𝐂𝐌. Portanto, a resposta para a equação da mediana de 𝐶 é 𝐫 igual a menos oito, menos um, menos quatro mais 𝑡 quatro, menos sete, seis.

Até agora, neste vídeo, vimos equações de retas na forma vetorial. Agora, pensaremos em como alteramos uma reta dada na forma vetorial para uma reta na forma cartesiana. Pode ficar confuso com a terminologia da forma cartesiana, mas uma reta em duas dimensões na forma cartesiana pode ser escrita na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑏, onde 𝑚 é o declive ou gradiente e 𝑏 é a interseção com 𝑦. Mas, é claro, é diferente no espaço tridimensional, pois precisamos de uma equação que descreva as variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Então, para determinar a equação de uma reta na forma cartesiana, podemos dizer que dada a equação de uma reta com vetor diretor 𝐯 igual a 𝑙, 𝑚, 𝑛 que passa pelo ponto 𝑥 índice um, 𝑦 índice um, 𝑧 índice um, então é dada por 𝑥 menos 𝑥 índice um sobre 𝑙 igual a 𝑦 menos 𝑦 índice um sobre 𝑚 igual a 𝑧 menos 𝑧 índice um sobre 𝑛, onde 𝑙, 𝑚 e 𝑛 são números reais diferentes de zero. Assim, podemos ver como esta informação de uma equação com um ponto e uma direção, ou seja, um na forma vetorial, pode ser alterada para uma na forma cartesiana. Agora, veremos duas questões nas quais poderemos aplicar esta fórmula.

Apresente a equação cartesiana da reta 𝐫 igual a menos três, menos dois, menos dois mais 𝑡 quatro, dois, quatro.

Nesta questão, temos esta equação na forma vetorial. Menos três, menos dois, menos dois é o vetor posição de um determinado ponto e quatro, dois, quatro é o vetor diretor. Para mudar a equação da forma vetorial para uma equação cartesiana, existe uma fórmula que podemos aplicar. A equação de uma reta com vetor diretor 𝐯 igual a 𝑙, 𝑚, 𝑛 que passa por 𝑥 índice um, 𝑧 índice um é dada por 𝑥 menos 𝑥 índice um sobre 𝑙 igual a 𝑦 menos 𝑦 índice um sobre 𝑚 igual a 𝑧 menos 𝑧 índice um sobre 𝑛, onde 𝑙, 𝑚 e 𝑛 são números reais diferentes de zero.

Agora precisamos de considerar o vetor diretor quatro, dois, quatro para ter os valores de 𝑙, 𝑚 e 𝑛, respetivamente. Podemos fazer o mesmo e designar a coordenada 𝑥 índice um, 𝑦 índice um, 𝑧 índice um com os valores menos três, menos dois, menos dois. Inserindo estes valores na fórmula, temos 𝑥 menos menos três sobre quatro igual a 𝑦 menos dois sobre dois igual a 𝑧 menos dois sobre quatro. Simplificando os numeradores, temos 𝑥 mais três sobre quatro igual a 𝑦 mais dois sobre dois igual a 𝑧 mais dois sobre quatro. E esta é a resposta para a equação cartesiana da reta dada.

Vamos dar uma olhadela numa questão final.

Determine a forma cartesiana da equação da reta que passa pelos pontos menos sete, menos três, menos sete e menos três, menos 10, menos quatro.

Nesta questão, embora nos seja solicitada a forma cartesiana da equação, pode ser útil pensar sobre como seria esta reta na forma vetorial. Se considerarmos os nossos dois pontos como 𝐴 e 𝐵 e quiséssemos determinar o vetor diretor de 𝐀𝐁, subtrairemos todos os pontos no nosso ponto inicial 𝐴 daqueles em 𝐵. Então, teremos 𝐀𝐁 igual a menos três menos sete, o que equivale a menos três mais sete, dando-nos quatro. Menos 10 menos menos três é equivalente a menos 10 mais três, que é menos sete. E assim teremos menos quatro e menos sete, o que nos dá três.

Agora que temos um vetor diretor e um ponto numa reta, podemos determinar a forma cartesiana da equação da reta que une estes dois pontos. Devemos lembrar que a equação de uma reta com vetor diretor 𝐯 igual a 𝑙, 𝑚, 𝑛 que passa pelo ponto 𝑥 índice um, 𝑦 índice um, 𝑧 índice um é dada por 𝑥 menos 𝑥 índice um sobre 𝑙 igual a 𝑦 menos 𝑦 índice um sobre 𝑚 é igual a 𝑧 menos 𝑧 índice um sobre 𝑛. Observe que 𝑙, 𝑚 e 𝑛 são números reais diferentes de zero.

Agora podemos utilizar o vetor diretor de 𝐀𝐁 para os valores de 𝑙, 𝑚 e 𝑛 e o ponto menos sete, menos três, menos sete para os valores 𝑥 índice um, 𝑦 índice um e 𝑧 índice um. Preenchendo estes valores na fórmula, temos 𝑥 menos menos sete sobre quatro igual a 𝑦 menos menos três sobre menos sete igual a 𝑧 menos menos sete sobre três. Simplificando os numeradores dá-nos a resposta na forma cartesiana 𝑥 mais sete sobre quatro igual a 𝑦 mais três sobre menos sete igual a 𝑧 mais sete sobre três.

Agora podemos resumir os pontos principais deste vídeo. Em primeiro lugar, vimos a equação de uma reta dada na forma vetorial como 𝐫 igual a 𝐫 índice zero mais 𝑡𝐯. 𝐫 é o vetor posição de um ponto geral na reta, 𝐫 índice zero é o vetor posição de um determinado ponto na reta e 𝐯 é o vetor diretor. 𝑡 é um múltiplo escalar. Para determinar um vetor diretor 𝐀𝐁, subtraímos o ponto inicial 𝐴 do ponto terminal 𝐵.

Finalmente, vimos que a equação de uma reta com vetor diretor 𝐯 igual a 𝑙, 𝑚, 𝑛 que passa por 𝑥 índice um, 𝑦 índice um, 𝑧 índice um é dada por 𝑥 menos 𝑥 índice um sobre 𝑙 igual a 𝑦 menos 𝑦 índice um sobre 𝑚 é igual a 𝑧 menos 𝑧 índice um sobre 𝑛, onde 𝑙, 𝑚 e 𝑛 são números reais diferentes de zero. Esta fórmula final é muito útil para mudar a equação de uma reta dada na forma vetorial para uma equação dada na forma cartesiana.

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