Vídeo: Calculando uma Expressão Contendo a Derivada de uma Função Utilizando a Regra do Produto

Dado que 𝑦 = 𝑥³ + 𝑥² + 8𝑥 e 𝑧 = 𝑥 (𝑥 − 4) (𝑥 − 1), determine 𝑑𝑦/𝑑𝑥 − 𝑑𝑧/𝑑𝑥.

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Transcrição do vídeo

Dado que 𝑦 é igual a 𝑥 ao cubo mais 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 e 𝑧 é igual a 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos quatro multiplicado por 𝑥 menos um, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 menos 𝑑𝑧 𝑑𝑥.

Vamos primeiro considerar 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo mais 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥. Para calcular 𝑑𝑦 𝑑𝑥, precisamos derivar essa equação. Derivando 𝑥 ao cubo nos dá três 𝑥 ao quadrado, derivando 𝑥 ao quadrado nos dá dois 𝑥, e derivando oito 𝑥 nos dá oito. Portanto, 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais oito.

Agora, vamos considerar nossa segunda equação: 𝑧 é igual a 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos quatro multiplicado por 𝑥 menos um. Antes de derivarmos esta equação, precisamos expandir e simplificar. Expandindo os dois parênteses nos dá 𝑥 ao quadrado menos 𝑥 menos quatro 𝑥 mais quatro.

Agora precisamos multiplicar todos esses termos por 𝑥. Multiplicar o novo parênteses por 𝑥 nos dá 𝑥 ao cubo menos 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥. Simplificar agrupando termos semelhantes nos dá que 𝑧 é igual a 𝑥 ao cubo menos cinco 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥.

Derivando isso nos dá 𝑑𝑧 𝑑𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado menos 10𝑥 mais quatro como a derivada de 𝑥 ao cubo é três 𝑥 ao quadrado, a derivada de menos cinco 𝑥 ao quadrado é menos 10𝑥, e a derivada de quatro 𝑥 é igual a quatro.

Agora temos duas expressões 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais oito e 𝑑𝑧 𝑑𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado menos 10𝑥 mais quatro. Para calcular 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 menos 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥, precisamos subtrair essas duas expressões. Três 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 ao quadrado é igual a zero, dois 𝑥 menos menos 10𝑥 é igual a 12𝑥 e oito menos quatro é igual a quatro.

Isso significa que três 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais oito menos três 𝑥 ao quadrado menos 10𝑥 mais quatro é igual a 12𝑥 mais quatro. O valor do 𝑑𝑦 𝑑𝑥 menos 𝑑𝑧 𝑑𝑥 é igual a 12 𝑥 mais quatro.

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