Vídeo: Essência do Cálculo

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Essência do Cálculo

16:11

Transcrição do vídeo

Ei pessoal, conceda aqui. Este é o primeiro vídeo de uma série sobre a essência do cálculo. E publicarei os seguintes vídeos uma vez por dia pelos próximos 10 dias. O objetivo aqui, como o nome sugere, é realmente pegar a essência do assunto em um conjunto de vídeos para assistir de uma só vez. Mas com um tópico tão amplo quanto o cálculo, há muitas coisas que podem significar. Então, aqui está o que eu tenho em mente especificamente.

O cálculo tem um monte de regras e fórmulas que são frequentemente apresentadas como coisas a serem memorizadas, muitas fórmulas derivadas, a regra do produto, a regra da cadeia, a diferenciação implícita, o fato de integrais e derivadas serem opostas, séries de Taylor, e coisas assim. E meu objetivo é que você saia sentindo que você mesmo poderia ter inventado o cálculo. Ou seja, cobrir todas essas ideias centrais, mas da maneira que deixa claro de onde elas realmente vêm e o que elas realmente significam, usando uma abordagem visual geral.

Inventar matemática não é brincadeira. E há uma diferença entre saber por que algo é verdade e gerá-lo do zero. Mas em todos os pontos, quero que você pense consigo mesmo. Se você fosse um matemático inicial refletindo sobre essas ideias e desenhando os diagramas certos, seria razoável que você mesmo tivesse se deparado com essas verdades?

Neste vídeo inicial, quero mostrar como você pode se deparar com as ideias centrais do cálculo pensando profundamente em um item específico de geometria, a área de um círculo. Talvez você saiba que isso é 𝜋 vezes o seu raio ao quadrado, mas por quê? Existe uma boa maneira de pensar de onde vem essa fórmula? Bem, contemplar esse problema e deixar-se aberto para explorar os pensamentos interessantes que surgem pode levar você a um vislumbre de três grandes ideias em cálculo: integrais, derivadas e o fato de que elas são opostas.

Mas a história começa de forma mais simples, apenas você e um círculo, digamos com raio três. Você está tentando descobrir sua área. E depois de passar por um monte de papel tentando maneiras diferentes de cortar e reorganizar os pedaços daquela área, muitos dos quais podem levar a suas próprias observações interessantes, talvez você experimente a ideia de cortar o círculo em muitos anéis concêntricos. Isso deve parecer promissor porque respeita a simetria do círculo. E matemática tem uma tendência a recompensá-lo quando você respeita suas simetrias.

Vamos pegar um desses anéis com raio interno, 𝑟, entre zero e três. Se pudermos encontrar uma expressão interessante para a área de cada anel como esse, e se tivermos uma maneira legal de adicioná-los, isso poderá nos levar a compreender a área do círculo completo. Talvez você comece imaginando endireitar este anel. E você poderia tentar pensar exatamente o que é essa nova forma e qual deve ser sua área. Mas, por simplicidade, vamos apenas aproximá-lo a um retângulo. A largura desse retângulo é a circunferência do anel original, que é dois 𝜋 vezes 𝑟, certo? Quero dizer, isso é essencialmente a definição de 𝜋. E sua espessura? Bem, isso depende de quão bem você cortou o círculo em primeiro lugar, que foi algo meio arbitrário.

No espírito de usar o que virá a ser a notação do cálculo padrão, vamos chamar essa espessura d𝑟, para uma pequena diferença no raio de um anel para o próximo. Talvez você pense nisso como algo como 0.1. Então, aproximando este anel não-moldado como um retângulo fino, sua área é dois 𝜋 vezes 𝑟, o raio, vezes d𝑟, a pequena espessura. E mesmo que isso não seja perfeito, para escolhas cada vez menores de d𝑟, essa será uma aproximação cada vez melhor para essa área, já que os lados superior e inferior dessa forma ficarão cada vez mais próximos de serem exatamente do mesmo tamanho.

Então, vamos apenas avançar com essa aproximação, mantendo no fundo de nossas mentes que isso é um pouco errado. Mas vai se tornar mais preciso para escolhas cada vez menores de d𝑟; isto é, se dividirmos o círculo em anéis cada vez mais finos. Então, para resumir onde estamos, você dividiu a área do círculo em todos esses anéis. E você está aproximando a área de cada um deles como dois 𝜋 vezes seu raio vezes d𝑟, onde o valor específico para aquele raio interno varia de zero, para o menor anel, até pouco menos de três, para o maior anel, espaçado por qualquer espessura que você escolher para d𝑟, algo como 0.1.

E observe que o espaçamento entre os valores aqui corresponde à espessura d𝑟 de cada anel, a diferença de raio de um anel para o próximo. Na verdade, uma boa maneira de pensar sobre os retângulos que se aproximam da área de cada anel é encaixá-los todos lado a lado ao longo desse eixo. Cada um tem uma espessura d𝑟, e é por isso que eles se encaixam tão bem juntos. E a altura de qualquer um desses retângulos acima de algum valor específico de 𝑟, como 0.6, é exatamente dois 𝜋 vezes esse valor. Essa é a circunferência do anel correspondente que esse retângulo se aproxima.

Retratado assim, dois 𝜋𝑟 podem ficar um pouco altos para a tela. Quero dizer, dois vezes 𝜋 vezes três é em torno de 19. Então, vamos apenas criar um eixo 𝑦 que seja escalonado de forma um pouco diferente, para que possamos encaixar todos esses retângulos na tela. Uma boa maneira de pensar sobre essa configuração é desenhar o gráfico de dois 𝜋𝑟, que é uma linha reta que tem uma inclinação de dois 𝜋. Cada um desses retângulos se estende até o ponto em que apenas toca esse gráfico. Mais uma vez, estamos aproximando aqui. Cada um desses retângulos apenas se aproxima da área do anel correspondente do círculo. Mas lembre-se, que a aproximação, dois 𝜋𝑟 vezes d𝑟, fica cada vez menos errada à medida que o tamanho de d𝑟 fica cada vez menor.

E isso tem um significado muito bonito quando analisamos a soma das áreas de todos esses retângulos. Para escolhas cada vez menores de d𝑟, você pode, a princípio, pensar que isso transforma o problema em uma soma monstruosamente grande. Quero dizer, há muitos retângulos para considerar. E a precisão decimal de cada uma das suas áreas será um pesadelo absoluto! Mas observe que todas as suas áreas agregadas se parecem com a área sob um gráfico. E essa parte sob o gráfico é apenas um triângulo. Um triângulo com uma base de três e uma altura dois 𝜋 vezes três. Portanto, sua área, metade da altura vezes a base, é exatamente 𝜋 vezes três ao quadrado. Ou, se o raio do nosso círculo original tiver algum outro valor, 𝑅 maiúsculo, essa área será 𝜋 vezes 𝑅 ao quadrado. E essa é a fórmula para a área de um círculo.

Não importa quem você é ou o que normalmente pensa em matemática. Isso aí é um belo argumento. Mas se você quer pensar como um matemático aqui, não se importa apenas em encontrar a resposta. Você se preocupa em desenvolver ferramentas e técnicas gerais de solução de problemas. Portanto, reserve um momento para meditar sobre o que exatamente aconteceu e por que funcionou. Porque a maneira como fazemos a transição de algo aproximado para algo preciso é na verdade muito sutil. E isso corta profundamente sobre o significado do cálculo.

Você tinha esse problema que poderia ser aproximado com a soma de muitos números pequenos, cada um dos quais se parecia com dois 𝜋𝑟 vezes d𝑟 para valores de 𝑟 variando entre zero e três. Lembre-se, o pequeno número d𝑟 aqui representa a nossa escolha para a espessura de cada anel, por exemplo, 0.1. E há duas coisas importantes para observar aqui. Primeiro de tudo, não só é d𝑟 um fator nas quantidades que estamos adicionando, dois 𝜋𝑟 vezes d𝑟, também dá o espaçamento entre os diferentes valores de 𝑟. E em segundo lugar, quanto menor nossa escolha por d𝑟, melhor a aproximação.

Adicionando todos esses números pode ser visto de uma maneira diferente e inteligente como adicionar as áreas de muitos retângulos finos situados debaixo de um gráfico, o gráfico da função dois 𝜋𝑟 neste caso. Então, e isto é fundamental, considerando escolhas cada vez menores para d𝑟 correspondem a aproximações cada vez melhores do problema original, essa soma, considerada como a área agregada desses retângulos, se aproxima da área sob o gráfico. E por causa disso, você pode concluir que a resposta à pergunta original com precisão total não aproximada é exatamente a mesma que a área abaixo deste gráfico.

Muitos outros problemas difíceis em matemática e ciências podem ser divididos e aproximados como a soma de muitas pequenas quantidades, coisas como descobrir até onde um carro viajou com base em sua velocidade em cada ponto no tempo. Em um caso como esse, você pode passar por muitos pontos diferentes no tempo. E a cada um deles, multiplique a velocidade naquele tempo por uma pequena variação no tempo, d𝑡, o que daria o pouco da distância percorrida correspondente durante esse pequeno tempo. Vou falar sobre os detalhes de exemplos como este mais adiante na série de vídeos. Mas em um nível alto, muitos desses tipos de problemas acabam sendo equivalentes a encontrar a área sob algum gráfico, da mesma maneira que o nosso problema do círculo fez.

Isso acontece sempre que as quantidades que você está adicionando, aquela cuja soma se aproxima do problema original, podem ser vistas como as áreas de muitos retângulos finos situados lado a lado desse jeito. Se aproximações cada vez mais finas do problema original correspondem a anéis cada vez mais finos, então o problema original será equivalente a encontrar a área sob algum gráfico. Novamente, essa é uma ideia que veremos em mais detalhes posteriormente na série de vídeos. Então não se preocupe se não estiver 100% claro agora.

A questão agora é que você, como matemático, apenas resolveu um problema reformulando-o como a área sob um gráfico, e pode começar a pensar em como encontrar as áreas sob outros gráficos. Quer dizer, nós tivemos sorte no problema do círculo que a área relevante acabou por ser um triângulo. Mas imagine algo como uma parábola, o gráfico de 𝑥 ao quadrado. Qual é a área abaixo dessa curva, digamos, entre os valores de 𝑥 é igual a zero e 𝑥 é igual a três? Bem, é difícil pensar, certo? E deixe-me reformular essa questão de uma maneira ligeiramente diferente. Vamos corrigir esse ponto de extremidade esquerda no zero e deixar a extremidade direita variar. Você é capaz de encontrar uma função, 𝐴 de 𝑥, que lhe dê a área sob esta parábola entre zero e 𝑥? Uma função, 𝐴 de 𝑥, assim é chamada integral de 𝑥 ao quadrado.

O cálculo contém as ferramentas para descobrir como é uma integral como esta. Mas agora, é apenas uma função misteriosa para nós. Sabemos que dá a área sob o gráfico de 𝑥 ao quadrado entre algum ponto esquerdo fixo e algum ponto direito variável. Mas nós não sabemos o que é. E mais uma vez, a razão pela qual nos preocupamos com esse tipo de questão não é apenas por fazer perguntas difíceis sobre geometria. É porque muitos problemas práticos que podem ser aproximados pela adição de um grande número de pequenas coisas podem ser reformulados como uma pergunta sobre uma área sob um determinado gráfico. E direi agora que encontrar essa área, essa função integral, é genuinamente difícil.

E sempre que você se deparar com uma pergunta genuinamente difícil em matemática, uma boa política é não se esforçar muito para obter a resposta diretamente, pois normalmente você acaba batendo a cabeça contra a parede. Em vez disso, brinque com a ideia sem um objetivo específico em mente. Gaste algum tempo construindo familiaridade com a interação entre a função que define o gráfico, neste caso, 𝑥 ao quadrado, e a função que dá a área. Nesse espírito brincalhão, se você tiver sorte, aqui está algo que você pode notar. Quando você aumenta levemente 𝑥 com um pequeno deslocamento, d𝑥, olhe para a variação resultante na área representada com essa lasca que eu chamarei de d𝐴, para uma pequena diferença na área. Essa lasca pode ser bem aproximada com um retângulo, cuja altura é 𝑥 ao quadrado e cuja largura é d𝑥. E quanto menor o tamanho desse deslocamento, d𝑥, mais essa lasca realmente se parece com um retângulo.

Agora isso nos dá uma maneira interessante de pensar sobre como 𝐴 de 𝑥 está relacionado a 𝑥 ao quadrado. Uma mudança na saída de 𝐴, este pequeno d𝐴, é aproximadamente igual a 𝑥 ao quadrado, onde 𝑥 é qualquer entrada que você iniciou, vezes d𝑥, o pequeno deslocamento para a entrada que causou a mudança em 𝐴. Ou, rearranjado, d𝐴 dividido por d𝑥, a razão de uma pequena mudança em 𝐴 para a pequena mudança em 𝑥 que o causou, é aproximadamente o que 𝑥 ao quadrado é nesse ponto. E essa é uma aproximação que deve ficar cada vez melhor para escolhas cada vez menores de d𝑥. Em outras palavras, não sabemos o que é 𝐴 de 𝑥. Isso continua sendo um mistério. Mas nós sabemos uma propriedade que esta função misteriosa deve ter.

Quando você olha para dois pontos próximos, por exemplo, três e 3.001, considere a variação para a saída de 𝐴 entre esses dois pontos, a diferença entre a função misteriosa calculada em 3.001 e calculada em três. Essa variação dividida pela diferença nos valores de entrada, que neste caso é 0.001, deve ser aproximadamente igual ao valor de 𝑥 ao quadrado para a entrada inicial, neste caso, três ao quadrado. E essa relação entre pequenas variações na função misteriosa e os valores de 𝑥 ao quadrado é verdadeira em todas as entradas, não apenas em três. Isso não nos diz imediatamente como encontrar 𝐴 de 𝑥. Mas fornece uma pista muito forte com a qual podemos trabalhar.

E não há nada especial sobre o gráfico 𝑥 ao quadrado aqui. Qualquer função definida como a área sob algum gráfico tem essa propriedade de d𝐴 dividida por d𝑥, um leve deslocamento para a saída de 𝐴 dividido por um leve deslocamento para a entrada que a causou, é aproximadamente igual à altura do gráfico naquele ponto. Novamente, essa é uma aproximação que fica cada vez melhor para escolhas menores de d𝑥. E aqui, estamos tropeçando em outra grande ideia do cálculo, derivadas. Essa relação, d𝐴 dividida por d𝑥, é chamada de derivada de 𝐴. Ou, mais tecnicamente, a derivada é o que quer que essa proporção se aproxime à medida que d𝑥 fica cada vez menor. Eu vou mergulhar muito mais profundamente na ideia de uma derivada no próximo vídeo. Mas falando livremente, é uma medida da sensibilidade de uma função a pequenas alterações em sua entrada.

Você verá que, de acordo com a série de vídeos, existem muitas maneiras de visualizar uma derivada, dependendo da função que você está observando e de como você pensa em pequenos deslocamentos para sua saída. E nos preocupamos com derivadas porque elas nos ajudam a resolver problemas. E em nossa pequena exploração aqui, nós já temos um pequeno vislumbre de uma maneira que elas são usadas. Elas são a chave para resolver questões de integrais, problemas que exigem encontrar a área sob uma curva. Depois de obter familiaridade suficiente no cálculo de derivadas, você poderá analisar uma situação como essa em que você não sabe qual é a função. Mas você sabe que sua derivada deve ser 𝑥 ao quadrado. E a partir disso, faça engenharia reversa sobre qual deve ser a função.

E este vai e volta entre integrais e derivadas, onde a derivada de uma função para a área sob um gráfico retorna à função que define o gráfico em si é chamado o teorema fundamental do cálculo. Ele une as duas grandes ideias de integrais e derivadas. E isso mostra como, em certo sentido, uma é o inverso da outra.

Tudo isso é apenas uma visão de alto nível, apenas uma olhada em algumas das principais ideias que surgem no cálculo. E o que se segue na série de vídeos são os detalhes para derivadas e integrais e muito mais. Em todos os pontos, quero que você sinta que poderia ter inventado o cálculo sozinho. Que se você desenhasse as imagens certas e jogasse com cada ideia da maneira certa, essas fórmulas, regras e construções apresentadas poderiam ter surgido naturalmente de suas próprias explorações.

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