Transcrição do vídeo
Neste vídeo, vamos olhar para o princípio geral por trás da lei dos cossenos para nos
certificarmos de que estamos confortáveis a aplicá-lo em situações em que as
letras que temos numa questão não correspondem às letras como aparecem na fórmula da
lei dos cossenos. Vamos olhar para a estrutura da lei dos cossenos e ver como podemos identificar quais
os valores dentro de uma questão ou diagrama que devem ser substituídos em que das
partes da fórmula.
Assim, esta é a lei dos cossenos, como é geralmente introduzida ou talvez escrita num
manual ou num formulário. Geralmente tem um triângulo no qual os três vértices são identificados com 𝐴, 𝐵 e
𝐶 utilizando letras maiúsculas. E os três lados são identificados com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 utilizando letras minúsculas. Dá-se sempre o caso do lado 𝑎 ser oposto ao ângulo 𝐴, o lado 𝑏 ser oposto ao
ângulo 𝐵 e o lado 𝑐 ser oposto ao ângulo 𝐶. A lei dos cossenos é então escrita desta forma. 𝑎 ao quadrado igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos dois 𝑏𝑐 cos 𝐴.
E esta lei dos cossenos permite calcular o comprimento do lado 𝑎 se conhecer o lado
𝑏, o lado 𝑐 e o ângulo 𝐴. Agora, isto é ótimo se o triângulo que tem estiver identificado exatamente desta
maneira aqui e se tiver exatamente as informações certas. Mas, e se realmente eu quisesse calcular o lado 𝑏? Ou se o triângulo não estivesse identificado com 𝐴𝐵𝐶, mas na verdade estivesse
identificado com 𝐸, 𝐹 e 𝐺? Ou talvez não tenha qualquer identificação; talvez tenha alguns comprimentos e alguns
ângulos no triângulo.
O que precisamos de observar é a estrutura geral por trás da lei dos cossenos, para
podermos aplicar em qualquer uma destas configurações diferentes. Então, voltando para a forma padrão da lei dos cossenos, vamos ver as informações que
nos são dadas. Queremos calcular o comprimento de um lado. E, na forma padrão, é o comprimento do lado 𝑎. A informação de que precisaríamos para fazer isto utilizando a lei dos cossenos é o
comprimento do lado 𝑏, o comprimento do lado 𝑐 e a amplitude do ângulo 𝐴.
Agora, este é um conjunto muito específico de informações dentro deste triângulo. São dois lados e depois o ângulo comum. Isto é, o ângulo entre eles. Quando quer utilizar a lei dos cossenos para calcular o comprimento de um lado, é
precisamente sempre este mesmo conjunto de informações que precisa. Se olhar para a lei dos cossenos, verá que ela é simétrica em 𝑏 e 𝑐. Estão ambos ao quadrado e somados, e depois aparecem ambos na segunda parte onde
multiplicamos por dois e multiplicamos pelo cosseno de 𝐴 e subtraímos isto. Portanto, não importa qual dos lados é 𝑏 e qual é 𝑐 porque faz exatamente a mesma
coisa com cada um deles.
Assim, na verdade, podemos esquecer completamente as letras 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e olhar
apenas para onde os lados e os ângulos aparecem nesta lei dos cossenos. Por exemplo, nesta questão aqui, vamos supor que temos este conjunto de
informações. Os dois lados têm quatro centímetros e 12 centímetros. E o ângulo comum é de 40 graus. E pretendemos calcular o comprimento do terceiro lado aqui, que é referido como
𝑥.
Agora não há 𝑎s, 𝑏s e 𝑐s neste diagrama, mas vejamos como poderíamos escrever a
lei dos cossenos para esta questão. Pretendemos calcular 𝑥 então começaremos com 𝑥 ao quadrado. Agora a lei dos cossenos tem 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado. Lembre-se, 𝑏 e 𝑐 representam os outros dois lados. Então, para esta questão, serão quatro ao quadrado e 12 ao quadrado. Agora, precisamos de olhar para o segundo termo. Está menos dois multiplicado por 𝑏𝑐 primeiro que tudo. E novamente, 𝑏 e 𝑐 representam os outros dois lados. De modo que serão 4 e 12.
Finalmente, precisamos de cos do ângulo 𝐴. Agora, novamente, não há nenhum 𝐴 neste triângulo. Mas este ângulo é exatamente o ângulo oposto ao lado que procuramos calcular, o
ângulo comum a estes dois lados. Então, é 40 graus. Assim, considerando apenas as informações que recebi e a estrutura da lei dos
cossenos, escrevi o que esta seria para este triângulo em particular sem a
necessidade de 𝑎s, 𝑏s ou 𝑐s.
Agora, apenas para completar, trabalharemos o que falta desta questão. 4 ao quadrado e 12 ao quadrado fazem 160. E dois vezes quatro vezes 12 é 96. Então tenho 𝑥 ao quadrado igual a 160 menos 96 cos 40. Isso diz-me que 𝑥 ao quadrado é igual a 86.45973346. E se eu, em seguida, fizer a raiz quadrada de ambos os membros, tenho que 𝑥 é igual
a 9.298376. Agora arredondarei talvez a uma casa decimal. E, portanto, temos que o lado final deste triângulo é de 9.3 centímetros.
Portanto, 𝑎s, 𝑏s e 𝑐s são úteis para ter uma forma na qual possamos escrever a lei
dos cossenos, mas é pensando na estrutura por trás desta que nos permite aplicá-la
em geral.
Calcule o lado 𝑏 arredondando às centésimas.
Agora, dentro dessa questão, vamos utilizar a lei dos cossenos. Vou lembrá-la utilizando a sua definição padrão, se a procurar num manual, é esta
definição aqui. Isto vai ser bastante confuso neste exemplo, porque não nos pedem para calcular o
lado 𝑎, pedem-nos para calcular o lado 𝑏. Agora pode pensar, oh, tudo bem. Eu apenas reorganizo esta fórmula para que tenha 𝑏 ao quadrado igual a.
E se o fizer, terá 𝑏 ao quadrado igual a 𝑎 ao quadrado menos 𝑐 ao quadrado mais
dois 𝑏𝑐 cos 𝐴. Agora aqui está o problema. Isto exigirá que conheça os lados 𝑎 e 𝑐, que conhecemos. São os lados opostos aos ângulos 𝐴 e 𝐶. Têm nove centímetros e cinco centímetros. Mas a outra informação que precisaremos é de ângulo 𝐴. E olhando para o diagrama, pode ver que não temos o ângulo 𝐴. Temos o ângulo 𝐵.
Então, reorganizar apenas a lei dos cossenos a partir desta forma padrão não funciona
porque não temos o conjunto certo de informações para aplicá-la. Em vez disso, o que precisamos de fazer é escrever a nossa própria versão da lei dos
cossenos, em que damos estas letras, para que possamos calcular o lado 𝑏. Então aqui está a informação que temos: dois lados e o ângulo comum, que é exatamente
a configuração de que precisamos para utilizar a lei dos cossenos.
Então, o que vou fazer é escrever a lei dos cossenos novamente, mas passando pelas
letras. Eu quero calcular 𝑏, então vou começar com 𝑏 ao quadrado. A lei dos cossenos diz-me que coloco ao quadrado os outros dois lados. Então, neste caso, isso será 𝑎 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado. Em seguida, diz-me que faça menos dois multiplicado por 𝑏 e 𝑐, que são os outros
dois lados. Bem, neste caso, isso será menos dois multiplicado por 𝑎 e 𝑐. Finalmente, faço o cos do ângulo comum, que neste caso será cos do ângulo 𝐵.
Isto não é uma reorganização da lei dos cossenos, porque pode ver que inclui cos do
ângulo 𝐵 em vez de cos do ângulo 𝐴. Em vez disso, é uma versão da lei dos cossenos utilizando as letras numa ordem
diferente. E agora tenho uma versão que posso utilizar para responder a esta questão. Então, posso substituir as informações relevantes. Eu tenho que 𝑏 ao quadrado é igual a nove ao quadrado mais cinco ao quadrado antes
de tudo menos duas vezes nove vezes cinco vezes cosseno de 120. E agora posso apenas trabalhar aqui.
Então, tenho 𝑏 ao quadrado igual a 106 menos 90 cos 120. Isto diz-me que 𝑏 ao quadrado é exatamente igual a 151. Isto porque cos de 120 é um valor exato. É apenas menos um meio. Se eu aplicar a raiz quadrada, tenho que 𝑏 é igual a 12.288205. E a questão pediu-me este valor às centésimas, então arredondarei a minha
resposta. E temos então que 𝑏 é igual a 12.29 centímetros.
Logo, para responder a uma questão como esta, pode procurar a lei dos cossenos na
forma em que normalmente é dada ou talvez tenha memorizado esta forma. Mas se o lado que está à procura não é o lado 𝑎, então precisa de pensar em como
trocar as letras para torná-la relevante para o lado que quer calcular. Lembre-se, faz isto considerando apenas a estrutura da lei dos cossenos e o facto de
que esta inclui os outros dois lados do triângulo e o ângulo comum, que é o ângulo
oposto ao lado que deseja calcular.
Calcule a amplitude do ângulo 𝑄 arredondada às unidades.
Então, nesta questão, temos o comprimento de todos os três lados de um triângulo e
pedem-nos para calcular um dos ângulos. Agora, esta é exatamente a configuração necessária para utilizar a lei dos
cossenos. Então, se fosse procurar pela lei padronizada dos cossenos, provavelmente teria algo
como isto. 𝑎 ao quadrado igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos dois 𝑏𝑐 cos 𝐴.
Se pretende calcular a amplitude de um ângulo, como o estamos a fazer nesta questão,
então esta pode ser reorganizada em apenas alguns passos para lhe dar esta fórmula
aqui. Cos de 𝐴 igual a 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado menos 𝑎 quadrado sobre dois
𝑏𝑐. No entanto, não há 𝑎s, 𝑏s e 𝑐s nesta questão. Esta questão envolve 𝑄s, 𝑅s e 𝑆s, por isso precisamos de pensar sobre como podemos
aplicar esta versão da lei dos cossenos nesta questão.
Então, precisamos de olhar para a estrutura dentro desta lei dos cossenos. Existem dois lados que são sempre tratados de forma idêntica, 𝑏 e 𝑐 são ambos ao
quadrado e adicionados no numerador, enquanto 𝑎 ao quadrado é subtraído. 𝑏 e 𝑐 também aparecem no denominador. Então estes dois lados tratados de forma idêntica são os dois lados que delimitam o
ângulo que procuramos. Assim, neste caso, será o lado de oito centímetros e de 10 centímetros.
O terceiro lado, que é tratado de forma diferente na lei dos cossenos, aparece apenas
no numerador e é subtraído em vez de ser adicionado. Este é o lado oposto ao ângulo que pretendemos calcular. Então, não preciso de 𝑎s, 𝑏s e 𝑐s. Posso só escrever a lei dos cossenos pensando onde os lados estão em relação a este
ângulo.
Então, temos cos 𝑄 igual a, bem, os dois lados são oito e 10, então teremos 8 ao
quadrado mais dez ao quadrado. A seguir, preciso de subtrair o quadrado do lado oposto, de modo que será menos 15 ao
quadrado. A seguir, preciso de dividir isto por dois multiplicado pelos dois lados que envolvem
este ângulo. Então é dois multiplicado por oito multiplicado por 10.
Se calcular tudo isto tenho cos do ângulo 𝑄 igual a menos 61 sobre 160. Para calcular o nosso ângulo 𝑄, preciso de utilizar a inversa do cosseno. Então, 𝑄 é igual a inversa do cosseno de menos 61 sobre 160. Isto dá-me um valor de 112.411132. E pediram-me para dar isto arredondado às unidades, logo a minha resposta final é que
o ângulo 𝑄 é de 112 graus. Ora, novamente, não houve 𝑎s, 𝑏s ou 𝑐s, na nossa questão. Olhámos apenas para a estrutura da lei dos cossenos para descobrir qual o valor que
deveria ser substituído.
Agora suponha que, em vez disto, me pediam para calcular o ângulo 𝑆. Então, novamente, olharia para a estrutura da lei dos cossenos. E, primeiro que tudo, preciso de aplicar o quadrado dos dois lados e
adicioná-los. Portanto, é necessário que sejam os dois lados que estão adjacentes ao ângulo 𝑆, que
serão o oito e o 15. Em seguida, preciso de fazer o quadrado e subtrair o lado restante, portanto, vou ter
menos 10 ao quadrado.
No denominador preciso de dois multiplicado pelos dois lados que são adjacentes a
este ângulo, 𝑆. Então, novamente, serão o oito e 15. E cá temos uma equação que poderíamos resolver se quiséssemos calcular a amplitude
deste ângulo 𝑆. Então, observando apenas a estrutura da lei dos cossenos, podemos aplicar a qualquer
questão como esta. Lembre-se de que, sempre que dois lados são tratados de forma idêntica na fórmula,
esses dois lados têm que ser os lados que envolvem o ângulo que pretendemos
calcular.
Em resumo, é útil aprender a definição da lei dos cossenos na sua forma padrão que
envolve 𝑎s, 𝑏s e 𝑐s. Mas, para se aplicar efetivamente a uma série de problemas, basta observar a
estrutura da lei e precisará de se sentir confortável com o que as letras
representam em termos de lados adjacentes, lados opostos e ângulos comuns.
