Vídeo: A Desigualdade Triangular

Aprende a desigualdade triangular e como aplicá-la para determinar se é possível formar um triângulo a partir de três comprimentos dados. Aplica o teu conhecimento acerca de problemas que requerem que formules e resolvas inequações.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos olhar para a desigualdade triangular que nos diz sobre uma relação importante que deve existir entre os comprimentos dos lados de um triângulo. É isto o que a desigualdade triangular diz. Diz: a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo deve ser maior que o comprimento do terceiro lado.

Então vamos ver isso neste triângulo que desenhei aqui. O que isto significa é que se eu tomar dois lados, ou seja, vamos tomar 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶, a soma, vou adicioná-los, a soma destes dois lados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 deve ser maior, maior, do que o comprimento do terceiro lado. Portanto, deve ser maior que, neste caso, 𝐴𝐶.

Esta é uma formulação da desigualdade triangular para este triângulo. Mas diz a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados, o que significa que também posso escrever esta desigualdade utilizando os outros pares. Portanto, também deve ser verdade que 𝐴𝐵 mais 𝐴𝐶 é maior que 𝐵𝐶. E terceiro, também deve ser verdade que 𝐵𝐶 mais 𝐴𝐶 é maior que 𝐴𝐵. Então, qualquer par de lados que eu escolha, a soma desses dois lados deve ser maior que o comprimento do terceiro lado.

Agora só temos que pensar sobre o porquê disto, que esta desigualdade tem que ser verdade. Suponha que eu lhe pedisse para construir um triângulo com lados de sete centímetros, quatro centímetros e dois centímetros. Construir significa fazê-lo com precisão utilizando equipamentos matemáticos, como uma régua e o compasso. Então, o que você se estivesse a tentar construir este triângulo? Bem, eu começaria por desenhar com precisão o lado da base de sete centímetros. E a seguir, a maneira de desenhar com precisão este lado de quatro centímetros é utilizando o teu compasso, abri-lo-ias quatro centímetros, colocarias o bico numa extremidade desta linha de sete centímetros, e depois desenharias um arco de todos os pontos a quatro centímetros daquele ponto. Para construir o lado de dois centímetros, farias a mesma coisa. Ajustarias o teu compasso para dois centímetros, colocarias o bico neste ponto aqui e desenharias um arco de todos os pontos a dois centímetros de distância.

Agora, o que podes notar é que estes arcos não se cruzam em nenhum ponto. Então, se tentasses desenhar o teu triângulo, acabarias com uma lacuna onde estas linhas não poderiam se encontrar para formar o terceiro vértice. É por isso que é importante que a desigualdade triangular se mantenha, porque tudo o que podes ver neste triângulo não funcionou, deixou uma lacuna. E se observares estas medidas de quatro, dois e sete, verás que a desigualdade triangular não funciona porque tenho quatro mais dois, que é seis, bem, que não é maior que sete. E é por isso que não consegui desenhar este triângulo.

Então, vamos analisar uma questão acerca disto. A primeira questão diz: é possível formar um triângulo com lados de comprimentos três polegadas, cinco polegadas e sete polegadas?

Então, o que precisamos de verificar é se a desigualdade triangular é verdadeira para todos os pares diferentes de lados aqui. Então, se te lembras, temos três desigualdades diferentes que precisamos de verificar. E aqui está o primeiro par. Se eu pegar em três e em cinco, é três mais cinco maior que sete? E claro que é. Oito é maior que sete. Então, aquela funciona. Agora vamos ver o segundo par. Vamos pegar em cinco e em sete. Então, a soma destes dois lados é maior que o terceiro lado? É cinco mais sete maior que três? E, claro, doze é maior que três, então também funciona. O terceiro, precisamos de considerar no par final de lados. Então, precisamos de analisar a soma de três e sete. E perguntamos, é três mais sete maior que cinco? E sim, dez é maior que cinco. Assim, todas as três desigualdades triangulares são satisfeitas, o que significa a resposta à questão “é possível formar este triângulo”, sim é. É claro que precisamos todo aquele trabalho para justificar esta resposta.

OK. Uma questão muito semelhante, é possível formar um triângulo com lados de comprimentos seis metros, sete metros e dezoito metros? Então, sabemos o que precisamos de fazer como o anterior. Precisamos de verificar se estas três desigualdades triangulares se mantêm. Mas só de olhar para estas três medidas, seis, sete e dezoito metros, já posso ver que há uma que não vai funcionar. Se eu olhar para a soma do seis e do sete, ou seja, seis mais sete é treze e treze não é maior que dezoito. Assim, a soma deste par de lados não excede o comprimento do terceiro lado, o que significa que, para esta questão, não, não é possível formar um tal triângulo.

Agora, um ponto importante a ser observado aqui, quando a resposta foi sim, tivemos que verificar todas as três desigualdades e garantir que todas as três fossem verdadeiras. Quando a resposta foi negativa, bastou demonstrar que apenas um par de lados não satisfaz esta desigualdade. Então, sempre que puderes encontrar um deles que não funcione, não será possível formar o triângulo. Não precisas de verificar os outros dois.

OK. A próxima questão diz: dois lados de um triângulo são cinco centímetros e oito centímetros. Qual é o intervalo de valores para o terceiro lado?

Então, não nos pedem para determinar o terceiro lado explicitamente. Somos solicitados determinar o intervalo de valores possíveis que esse terceiro lado poderia ter. Não conheço esse lado, o que significa que vou começar com uma letra. Vou chamá-lo 𝑥. E vou começar o meu trabalho com: seja o comprimento do terceiro lado 𝑥 centímetros. Agora preciso de pensar sobre estas três desigualdades triangulares que vimos anteriormente. E para começar, vou pensar no facto de que se eu considerar este terceiro lado 𝑥 e o lado de cinco centímetros, então a soma destes dois lados precisa de ser maior que os oito centímetros. Então, isso dá-me a minha primeira desigualdade, e é 𝑥 mais cinco deve ser maior que oito. Agora, para resolver esta inequação, preciso de subtrair cinco nos dois membros. E isso diz-me que 𝑥 deve ser maior que três. Então esta é minha primeira informação sobre 𝑥; tem que ser maior que três.

Agora vamos escrever a nossa segunda desigualdade. E será que, se eu considerar este terceiro lado 𝑥 e oito centímetros, tem que ser maior que cinco. Então isto dá-me a inequação 𝑥 mais oito deve ser maior que cinco. Agora, para a resolver, preciso de subtrair oito nos dois membros. E diz-me que 𝑥 deve ser maior que menos três. Agora, isto não adiciona nenhuma informação extra porque 𝑥 está a representar um comprimento. Então, por definição, tem que ser um valor positivo, o que significa que deve ser maior que menos três. Então, na verdade, não ganhamos nada em utilizar esta desigualdade.

A terceira desigualdade, preciso de olhar para o cinco e o oito. E a soma destes deve ser maior que 𝑥. Então eu tenho cinco mais oito é maior que 𝑥. Simplificando isto, diz-me que treze é maior que 𝑥. Ou, se apenas escrever esta inequação ao contrário, tenho que 𝑥 é menor que treze.

OK. Por fim, preciso de reunir todas estas informações. Então, esta inequação do meio, lembra-te, não me disse nada de útil. Mas as outras duas são. Dizem-me, num caso, que 𝑥 é maior que três. E o segundo caso, diz-me que 𝑥 é menor que treze. Então, se eu juntar estas duas inequações, dá-me uma inequação de dois lados para 𝑥. E diz-me que 𝑥 é maior que três, mas menor que treze. E este é o intervalo de valores possíveis para este terceiro lado do triângulo.

Agora, apenas como um à parte aqui, se a pergunta tivesse pedido o menor valor inteiro de 𝑥, por exemplo, então não seria três. Seria quatro, porque tem que ser estritamente maior que três. Então, estamos a olhar para o número inteiro depois de três.

Assim, nesta questão, formámos as três inequações examinando os três pares diferentes de lados do triângulo, resolvemos as inequações e reunimos todas estas informações no final da questão, a fim de calcular o intervalo de valores possíveis para este terceiro lado.

OK. Na questão final é-nos dado um diagrama e dizem-nos: dado que 𝑥 é um inteiro, um número inteiro, determina os possíveis valores de 𝑥. E olhando para o diagrama, podemos ver que todos os três lados estão expressos em termos desta letra 𝑥.

Então, assim como no exemplo anterior, temos três desigualdades que precisamos de escrever. Na primeira vou considerar o lado vermelho e o lado azul e somá-los. E quando o faço, a desigualdade triangular diz-me que isto deve ser maior que o terceiro lado, o cinco 𝑥 menos três. Então, tenho esta inequação aqui. Agora o que preciso de fazer é, preciso de resolver a inequação. Então, se simplificar o primeiro membro, tenho três 𝑥 mais 𝑥 é quatro 𝑥 e menos um mais três é dois. E tenho quatro 𝑥 mais dois é maior que cinco 𝑥 menos três. O próximo passo para resolver esta inequação, quero adicionar três a ambos os membros, o que me dá quatro 𝑥 mais cinco é maior que cinco 𝑥. E em seguida, finalmente, subtrair quatro 𝑥 a ambos os membros, o que me dá cinco maior que 𝑥. Ou, se eu virar ao contrário, tenho 𝑥 menor que cinco. Então, isto dá-me a minha primeira informação sobre 𝑥; é que deve ser menor que cinco.

Agora preciso de fazer a mesma coisa com os outros pares de lados deste triângulo. Então, se olhar para o lado azul e o lado verde, e a soma destes dois, tenho que 𝑥 mais três mais cinco 𝑥 menos três deve ser maior que o terceiro lado, que é três 𝑥 menos um. Agora, também vou já escrever a minha terceira inequação. Então, esta terceira é onde eu somo o lado vermelho e o verde, e isso deve ser maior que o lado azul. Então, isso dá-me esta terceira desigualdade, três 𝑥 menos um mais cinco 𝑥 menos três maior que 𝑥 mais três.

Agora não vou passar pela resolução passo a passo de ambas as inequações. Eu escrevi no ecrã. Se quiseres, faz uma pausa do vídeo e passa por elas tu mesmo, podes fazê-lo. Mas dá-nos estes valores aqui. 𝑥 é maior que menos um terço, para a primeira, o que não nos dá nenhuma informação nova, porque a terceira inequação diz-nos que 𝑥 tem que ser maior que um. Então, se 𝑥 tem que ser maior que um, definitivamente tem que ser maior que menos um terço. E também precisamos de ter a certeza de que o comprimento destes lados seja positivo. Então, é a primeira e a última inequações que nos fornecem mais informações. 𝑥 tem que ser maior que um, mas tem que ser menor que cinco.

Então eu poderia escrever isto como uma inequação dupla, como fiz antes. Mas esta questão realmente diz que 𝑥 é um inteiro. Então, 𝑥 é um inteiro algures maior que um mas menor que cinco, o que significa que há três inteiros possíveis que 𝑥 poderia ser. 𝑥 poderia ser dois, três ou quatro. Então isto dá a minha resposta para esta questão.

Então, para resumir, vimos o que é a desigualdade triangular e o que nos diz sobre a relação que deve existir entre os três lados de um triângulo. Vimos como aplicá-la para determinar se é ou não possível criar um triângulo específico, com três comprimentos. E vimos como aplicá-la nalgumas questões mais complexas em que precisávamos de formular e resolver algumas inequações.

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