Lesson Video: A Desigualdade Triangular

Video Transcript

Neste vídeo, examinaremos a desigualdade triangular, que nos fala sobre uma importante relação que deve existir entre os comprimentos dos lados de um triângulo.

Então é isto que a desigualdade triangular diz. Diz: a soma dos comprimentos dos dois lados de um triângulo deve ser maior que o comprimento do terceiro lado. Então, vamos dar uma olhadela neste triângulo que desenhei aqui. O que isso significa é que, se eu escolher dois lados, então vamos utilizar 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶, a soma, portanto adiciono-os, e a soma destes dois lados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 deve ser maior, portanto maior, que o comprimento do terceiro lado. Portanto, deve ser maior que, neste caso, 𝐴𝐶. Portanto, esta é uma formulação da desigualdade triangular para este triângulo.

Mas diz a soma dos comprimentos de dois lados, o que significa que também posso escrever esta desigualdade utilizando os outros pares. Portanto, também deve ser verdade que 𝐴𝐵 mais 𝐴𝐶 é maior que 𝐵𝐶. E terceiro, também deve ser verdade que 𝐵𝐶 mais 𝐴𝐶 é maior que 𝐴𝐵. Portanto, qualquer que seja o par de lados que eu escolha, a soma desses dois lados deve ser maior que o comprimento do terceiro lado.

Agora pensa apenas sobre porque é este o caso, que esta desigualdade precisa de ser verdadeira. Suponha que eu lhe pedisse para construir um triângulo com lados de sete centímetros, quatro centímetros e dois centímetros. Agora, construir significa fazê-lo com precisão utilizando ferramentas matemáticas, como uma régua e um compasso. Então, o que farias se estivesses a tentar construir este triângulo. Bem, eu começaria por desenhar com precisão a base de sete centímetros. E a seguir, a forma como desenharia com precisão este lado de quatro centímetros era utilizando o teu compasso. Colocá-lo-ias a quatro centímetros. Colocá-lo-ias no ponto numa extremidade desta reta de sete centímetros. E, em seguida, desenharias um arco de todos os pontos a quatro centímetros daquele ponto ali. Para construir o lado de dois centímetros, fazes a mesma coisa. Estabelecerias o teu compasso a dois centímetros, posicioná-lo-ias no ponto aqui e depois desenharias um arco de todos os pontos a dois centímetros de distância.

Agora, o que percebes é que estes arcos não se cruzam em nenhum ponto. Portanto, se tentares desenhar o teu triângulo, terás uma lacuna na qual estas retas não podem se cruzam para formar o terceiro canto. Agora, é por isso que é importante que a desigualdade triangular seja verdadeira, porque o que podes ver é que este triângulo não funcionou, tem uma lacuna. E se olhares para as medidas quatro, dois e sete, verás que a desigualdade triangular não funciona porque eu tenho quatro mais dois, que é seis que, bem, não é maior que sete. E é por isso que não fui capaz de desenhar este triângulo. Então, vamos analisar uma questão acerca disso.

A primeira questão diz: é possível formar um triângulo com comprimentos laterais de três polegadas, cinco polegadas e sete polegadas?

Então, o que precisamos de verificar é se a desigualdade triangular é verdadeira para todos os diferentes pares de lados aqui. Portanto, se te lembras, temos três desigualdades diferentes que precisamos de verificar. Então, aqui está a primeira. Se eu considerar o três e o cinco, três mais cinco é maior que sete? E é claro que é. Oito é maior que sete. Então, este funciona. Agora vamos ver o segundo par. Então, vamos considerar o cinco e o sete. Ora, a soma destes dois lados é maior que o terceiro lado? Cinco mais sete é maior que três? E, claro, 12 é maior que três. Então, este também funciona.

O terceiro, precisamos de verificar o par final de lados. Assim, precisamos de olhar para a soma de três e sete. Então, perguntamos: três mais sete é maior que cinco? E sim, 10 é maior que cinco. Portanto, todas as três desigualdades triangulares são satisfeitas, o que significa que a resposta para a questão "é possível formar este triângulo?", Sim, é. É claro que precisamos de trabalhar para defender esta resposta.

Ok, uma questão muito semelhante, é possível formar um triângulo com comprimentos laterais de seis metros, sete metros e 18 metros?

Então, sabemos o que precisamos de fazer a partir da anterior. Precisamos de verificar se estas três desigualdades triangulares são verdadeiras. Mas, apenas observando estas três medidas, seis metros, sete metros e 18 metros, já posso ver que há uma que não vai funcionar. Se eu olhar para a soma do seis e do sete, ou seja, seis mais sete é 13. E treze não é maior que 18. Portanto, a soma deste par de lados não excede o comprimento do terceiro lado, o que significa que, para esta questão, não, não é possível formar um triângulo assim.

Agora, um ponto importante a ser observado aqui, quando a resposta foi afirmativa, tivemos que verificar todas as três desigualdades e garantir que todas as três fossem verdadeiras. Quando a resposta foi negativa, bastou demonstrar que apenas um par de lados não satisfaz essa desigualdade. Desde que determines uma delas que não funcione, não será possível formar o triângulo. Na verdade, não precisas de verificar as outras duas.

Ok, a próxima questão diz: dois lados de um triângulo são cinco centímetros e oito centímetros. Qual é o intervalo de valores para o terceiro lado?

Portanto, não somos solicitados determinar o terceiro lado explicitamente. Somos solicitados determinar o intervalo de valores possíveis que este terceiro lado poderia ter. Portanto, não conheço este lado, o que significa que vou começar por alocar uma letra. Então, vou chamar de 𝑥. Então, estou a começar a trabalhar com "Seja o comprimento do terceiro lado 𝑥 centímetros". Agora preciso de pensar nestas três desigualdades de triângulo que vimos anteriormente. E, para começar, vou pensar no facto de que, se eu considerar este terceiro lado 𝑥 e o lado de cinco centímetros, a soma destes dois lados precisará de ser maior que os oito centímetros.

Então, isso dá-me a minha primeira desigualdade. E é que 𝑥 mais cinco deve ser maior que oito. Agora, para resolver esta desigualdade, preciso de subtrair cinco dos dois membros. E isso diz-me que 𝑥 deve ser maior que três. Portanto, esta é minha primeira informação sobre 𝑥. Tem que ser maior que três.

Agora, vamos escrever a nossa segunda desigualdade. E será que, se eu ficar com o terceiro lado, oito centímetros, deve ser maior que cinco. Então, isto dá-me a desigualdade 𝑥 mais oito deve ser maior que cinco. Agora, para resolver isto, preciso de subtrair oito dos dois membros. E isso diz-me que 𝑥 deve ser maior que menos três. Agora, isso realmente não adiciona nenhuma informação extra porque 𝑥 representa um comprimento. Portanto, por definição, deve ser um valor positivo, o que significa que deve ser maior que menos três. Então, realmente não ganhamos nada em utilizar esta desigualdade lá.

A terceira desigualdade, eu preciso de olhar para o cinco e o oito. E a soma destes deve ser maior que 𝑥. Então, eu tenho cinco mais oito é maior que 𝑥. Simplificando isto, diz-me que 13 é maior que 𝑥. Ou, se eu escrever apenas esta desigualdade ao contrário, tenho que 𝑥 é menor que 13.

Ok, finalmente, preciso de reunir todas estas informações. Portanto, esta desigualdade no meio, na verdade, não me disse nada de útil. Mas as outras duas sim. Estas dizem-me, num caso, que 𝑥 é maior que três. E a seguir, em segundo lugar, diz-me que 𝑥 é menor que 13. Então, se eu juntar estas duas desigualdades, isso dar-me-á uma desigualdade de dupla para 𝑥. Então, isto diz-me que 𝑥 é maior que três, mas menor que 13. E a seguir, este é o intervalo de valores possíveis para este terceiro lado do triângulo.

Agora, apenas como um à parte aqui, se a questão tivesse solicitado o menor valor inteiro de 𝑥, por exemplo, então não seriam três. Seria quatro, porque tem que ser estritamente maior que três. Então, estamos a ver o próximo número inteiro depois do três. Portanto, nesta questão, formamos três desigualdades observando os três pares diferentes de lados do triângulo, resolvemos as desigualdades e juntamos todas estas informações no final da questão, a fim de determinar o intervalo de valores possíveis para este terceiro lado.

Ok, a questão final, deram-nos um diagrama e disseram: dado que 𝑥 é um número inteiro, portanto um número inteiro, determine os possíveis valores de 𝑥.

E olhando para o diagrama, podemos ver que todos os três lados estão escritos em termos desta letra 𝑥. Assim, como no exemplo anterior, temos três desigualdades que precisamos de anotar. Então, o primeiro, vou considerar o lado vermelho e o azul e juntá-los. E quando o faço, a desigualdade do triângulo diz-me que isto deve ser maior que o terceiro lado, o cinco 𝑥 menos três. Então, eu tenho esta desigualdade aqui.

Agora, o que preciso de fazer é resolver esta desigualdade. Portanto, se eu simplificar o primeiro membro, tenho três 𝑥 mais 𝑥 é quatro 𝑥 e menos um mais três é dois. Então, tenho quatro 𝑥 mais dois é maior que cinco 𝑥 menos três. O próximo passo para resolver esta desigualdade, quero adicionar três a ambos os membros, o que me dá quatro 𝑥 mais cinco é maior que cinco 𝑥. E finalmente, subtraio quatro 𝑥 de ambos os membros, o que me dá cinco é maior que 𝑥. Ou, se fizer ao contrário, tenho 𝑥 é menor que cinco. Isto dá a minha primeira informação sobre 𝑥. É que deve ser menor que cinco.

Agora preciso de fazer a mesma coisa com os outros pares de lados deste triângulo. Então, se eu olhar para o lado azul e o lado verde a seguir, e a soma destes dois, então tenho que 𝑥 mais três mais cinco 𝑥 menos três deve ser maior que o terceiro lado, que é três 𝑥 menos um. Agora, ao mesmo tempo, vou escrever a minha terceira desigualdade. Então, esta terceira é onde somo o lado vermelho e o verde. E deve ser maior que o lado azul. Então, isso dá-me a terceira desigualdade: três 𝑥 menos um mais cinco 𝑥 menos três é maior que 𝑥 mais três.

Agora não vou passar pela solução passo a passo de ambas as desigualdades. Escrevi-as na tela. Então, se quiseres fazes pausa no vídeo e analisá-la por ti mesmo, podes fazê-lo. Mas dá-nos estes valores aqui. 𝑥 é maior que menos um terço, para o primeiro, o que realmente não nos dá nenhuma informação nova, porque a terceira desigualdade diz-nos que 𝑥 deve ser maior que um. Portanto, se 𝑥 precisa de ser maior que um, definitivamente tem que ser maior que menos um terço. E também precisamos de garantir que o comprimento destes lados seja positivo.

Portanto, são as primeiras e as últimas desigualdades que nos dão mais informações. 𝑥 tem que ser maior que um, mas tem que ser menor que cinco. Então, eu poderia escrever isto como uma desigualdade dupla, como fiz antes. Mas esta questão realmente diz que 𝑥 é um número inteiro. Portanto, 𝑥 é um número inteiro nalgum sítio maior que um, mas menor que cinco, o que significa que existem três inteiros possíveis que 𝑥 poderia ser. 𝑥 pode ser dois, três ou quatro. Então, isto dá-me a minha resposta a esta questão.

Então, para resumir, vimos o que é a desigualdade triangular e o que nos diz sobre a relação que deve existir entre os três lados de um triângulo. Vimos como aplicá-la para determinar se é ou não possível criar um triângulo específico, com três comprimentos. E, em seguida, vimos como aplicá-la a algumas questões mais complexas, nas quais tivemos que estabelecer e resolver algumas inequações algébricas.