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Vídeo da aula: Comparando e Ordenando Números Racionais Matemática • 6º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como comparar e ordenar números racionais de diferentes formas para resolver problemas do mundo real.

14:48

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como comparar e ordenar números racionais de diferentes formas para resolver problemas do mundo real. Se esta caixa é para todos os números, podemos dividi-los em duas categorias: racionais e irracionais. Números racionais podem ser escritos como uma fração e números irracionais não podem ser escritos como uma fração. Os inteiros seriam valores racionais. Por exemplo, menos três é um número inteiro. Se fosse escrever menos três como uma fração, poderíamos escrevê-lo como menos três sobre um, o que o torna um número racional. Além disso, os valores decimais que terminam são racionais. 0.25 na forma de fração é um quarto.

Números irracionais não podem ser escritos como uma fração. Um exemplo disso será 𝜋 ou a raiz quadrada de dois. Não lidaremos com números irracionais aqui. Acabámos de dizer que números racionais são valores que podem ser expressos como uma fração. Então, talvez devêssemos recordar-nos do que é uma fração.

Uma fração compara uma parte com um todo. Numa fração, o denominador é o valor abaixo da barra de fração e nos diz o número de partes iguais no todo. O numerador é o valor no topo da barra de fração e indica o número de ações que estamos a considerar.

Geralmente representamos frações com um diagrama utilizando uma forma, um círculo ou um retângulo. O número de peças em que a forma é dividida representa o denominador. Aqui, o nosso retângulo é dividido em cinco partes pares, perfazendo o nosso denominador cinco. A parte que estamos a considerar geralmente está sombreada. Como duas das cinco partes estão sombreadas, diremos que esta fração é de dois quintos.

Aqui está um exemplo de diagrama de fração circular. O denominador é quatro, que representa o número de partes iguais no círculo. E o numerador será três porque três das peças estão sombreadas. Esta é a fração de três quartos.

Mas e se este diagrama se parecesse com esta, cor favorita, e depois tivesse os rótulos azul e amarelo? Assim como antes, o azul é três quartos, o que significa que o amarelo é um quarto. É muito óbvio aqui que três quartos é maior do que um quarto. O que isto significa é que ordenar frações com o mesmo denominador é muito fácil.

Para comparar cinco oitavos, um oitavo e três oitavos, a maneira como ordenaremos estes valores é olhar para o numerador. Cinco é o maior numerador. Portanto, destas três frações, cinco oitavos é o maior. Três é o segundo maior dos numeradores, o que torna três oitavos a segunda maior fração deste conjunto.

Mas precisamos de considerar o que acontece quando os denominadores não são iguais. Comparar frações com denominadores diferentes será um pouco assim.

O Daniel tem nove moedas e o Will tem três notas. Se alguém dissesse: “Nove é maior do que três; portanto, o Daniel tem mais dinheiro”, eles cometeram um erro na comparação por causa das unidades. Não podes comparar o número de moedas com o número de notas. Precisarias converter as moedas de Daniel no número de notas que ele teria ou converter a quantidade de dinheiro que o Will tem em moedas.

Quando lidamos com frações que não têm o mesmo denominador, teremos que fazer a mesma coisa. Teremos que convertê-los para um valor que possamos comparar. Vamos considerar um exemplo em que precisaremos de fazer isto.

Compara um meio com dois oitavos.

Estes dois valores não têm um denominador comum, o que significa que, para compará-los, precisaremos de determinar um denominador comum. Ambos os valores são números pares. Na verdade, dois é um fator de oito. Se multiplicarmos dois por quatro, obteremos oito. Mas é muito importante quando estamos a trabalhar com frações, se multiplicarmos o nosso denominador por um valor, multiplicarmos o numerador por este mesmo valor. Um vezes quatro é quatro. Isto diz-nos que quatro oitavos é uma fração equivalente a um meio.

Como agora os dois valores têm um denominador comum, olhamos para os seus numeradores. Quatro é maior que dois. Quatro oitavos é maior do que dois oitavos, o que nos diz que um meio é maior do que dois oitavos. Este foi o método para determinar um denominador comum.

Mas poderíamos ter resolvido de outra maneira. Poderíamos ter convertido estas frações em números decimais. Um meio escrito na forma decimal é 0.5. E vejo que o numerador e o denominador de dois oitavos são divisíveis por dois. Portanto, podemos dizer que dois oitavos é igual a um quarto e um quarto escrito na forma decimal é 0.25. Se compararmos os dois valores decimais, veremos que 0.5 é maior do que 0.25, já que 0.5 tem cinco na casa das décimas e 0.25 tem dois na casa das décimas. Isto confirma o que já dissemos, que um meio é maior do que dois oitavos.

Agora, vamos passar para um exemplo em que estamos a comparar mais do que dois valores.

Organiza um doze avos, uma décima, um terço e um vinte avos por ordem crescente.

Primeiro, precisamos de saber o que significa ordem crescente. Isto será do menor para o maior. E a seguir, percebemos que não temos um denominador comum. Mas todos os quatro valores têm um numerador de um. Agora, é claro, poderemos determinar um denominador comum ou converter todos os valores em números decimais. Mas, como todos os quatro valores têm o mesmo numerador, podemos organizar estes quatro valores com um método diferente.

Imagine que vamos representar estas frações com um diagrama em círculo. O círculo cortado em terços ficaria assim. Aqui está o mesmo círculo cortado em 12 pedaços. O denominador maior possui porções menores. Um terço é muito maior do que um doze avos. E assim podemos dizer que quando os numeradores são iguais, a fração que tem o maior denominador será a primeira quando estiveres a colocar do menor para o maior. Neste caso, começaremos com um vinte avos como o menor valor. E a seguir, subiremos para uma décima segundo seguido por uma décima e depois um terço. Somos capazes de fazer este tipo de comparação porque os numeradores são iguais.

Podes querer pensar sobre isto, pois quanto mais os pedaços em que cortas a pizza inteira, menores os pedaços ficam. Portanto, se comesse uma fatia de pizza, mas houvesse apenas três fatias, seria mais do que se cortasse a mesma pizza em 10 fatias e comesse apenas uma das fatias. Para esta questão, por ordem crescente, obtemos um vinte avos, um doze avos, uma décima e um terço.

Aqui está outro exemplo de ordenação de números racionais. Desta vez, nenhum dos valores é dado na forma de fração.

Organiza o seguinte por ordem crescente: 0.2, menos 0.2, menos 2.3, nove, dois.

Sabemos que a ordem crescente significa do menor para o maior. Pode ser útil aqui pensarmos nestes valores em termos de uma reta numérica. Sabemos que todos os valores positivos irão para a direita de zero e todos os valores negativos irão para a esquerda de zero. Quando estamos a lidar com valores que são negativos, os valores à esquerda de zero, quanto maiores, mais longe de zero estarão. Portanto, menos 2.3 estará mais longe de zero do que menos 0.2. Portanto, chamaremos menos 2.3 o menor valor.

Depois deste, virá menos 0.2. A partir daqui, precisamos de comparar os nossos valores positivos. O valor decimal é o único valor menor do que um. Então, este virá a seguir. E sabemos que dois é menor do que nove. Então, escreveremos dois e nove. Por ordem crescente, estes valores são menos 2.3, menos 0.2, 0.2, dois e nove.

Aqui está um exemplo que mistura números e valores decimais.

Organiza o seguinte conjunto de números por ordem crescente: menos três e três décimas, menos 3.61 e menos 3.5.

A ordem crescente é do menor ao maior e temos três valores. Todos os três valores são negativos. Dois deles são números decimais e um é um numeral misto. Temos duas opções. Poderemos converter o número misto em decimal ou converter ambos os números decimais em numerais mistos. Como dois dos valores já estão na forma decimal, vamos prosseguir e converter este número misto num número decimal.

Sabemos que o menos três permanecerá a parte do número inteiro. Mas como convertemos três décimas em decimal? Como esta é uma fração de 10, este é um procedimento realmente simples. Colocamos três na casa das décimas para termos menos 3.3. Neste ponto, temos que ter muito cuidado, porque estamos a ordenar valores negativos. E quando ordenamos valores negativos, o menor valor será o que estiver mais longe de zero. E sabemos que a distância de zero é o valor absoluto do nosso número.

Isto significa que menos 3.61 estão a 3.61 unidades de zero à esquerda. E isto significa que menos 3.5 está a 3.5 unidades de zero à esquerda. Menos 3.5 está mais próximo de zero do que menos 3.61 e menos 3.3 está mais próximo de zero dos três valores. E isto significa organizá-los do menor para o maior, ordenaremos menos 3.61, menos 3.5 e, em seguida, menos 3.3. No entanto, para a resposta final, é melhor pegar em menos 3.3 e colocá-lo de noo na forma que nos foi dada: menos três e três décimas.

Aqui está um exemplo com valores positivos e negativos e com números e frações mistos.

Organiza os elementos no conjunto um e dois terços, menos um oitavo, um e um nono e menos um meio por ordem decrescente.

A ordem decrescente é do maior para o menor. E assim percebemos sobre todos estes valores que não têm um denominador comum. Mas se pensarmos neles em termos da reta numérica, sabemos que menos um meio precisa de ir para a esquerda de zero e um e dois terços precisa de ir para a direita de zero. Neste ponto, precisaremos de comparar menos um meio e menos um oitavo e um e um nono e um e dois terços.

Começando com os negativos, temos menos um meio e menos um oitavo. Se multiplicarmos o numerador e o denominador por quatro, para menos um meio, torna-se menos quatro sobre oito. Agora, como esses valores são negativos, precisamos de ter muito cuidado na maneira como os comparamos. Menos um oitavo estará mais próximo de zero numa reta numérica do que menos quatro oitavos. Então, eles pertencem a uma reta numérica como esta. Se formos por ordem decrescente, do maior para o menor, menos um oitavo pertencerá à lista antes do menos um meio.

Mas agora precisamos de comparar os dois valores positivos. Um e um nono e um e dois terços têm a parte de número inteiro de um. E isto significa que, para compará -los, precisaremos simplesmente de comparar as suas frações. Estas duas frações não têm um denominador comum. Mas se multiplicarmos dois terços por três no numerador e no denominador, este número misto torna-se um e seis nonos. Um e seis nonos é maior do que um e um nono. E assim poderemos colocá-los na nossa reta numérica assim. E estamos prontos para escrevê-los por ordem decrescente.

A ordem decrescente é do maior para o menor. Queremos escrevê-los novamente na forma de conjunto, então abriremos as chavetas. O maior dos valores é um e dois terços, depois um e um nono, depois menos um oitavo e menos um meio. Vamos fechar as chavetas. E reorganizámos este conjunto por ordem decrescente.

Antes de terminarmos o vídeo, vamos considerar os pontos principais que precisamos para comparar e ordenar números racionais. Os números racionais são números reais que podem ser expressos como frações simples, o que significa que o denominador e o numerador são inteiros. Para comparar frações, um método é renomear as frações com denominadores comuns. Outro método é converter todos os valores em números decimais. Agora estás pronto para experimentar por conta própria.

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