Vídeo: Derivando a Lei dos Senos

Você pode ter usado a lei dos senos para calcular a medida de ângulos ou o comprimento dos lados em triângulos não retângulos. Aprenda a utilizar as razões trigonométricas de triângulos retângulos para derivar a lei dos senos para triângulos não retângulos.

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Transcrição do vídeo

Olá pessoal, este vídeo é sobre deduzir a lei dos senos como é chamada. Certo, antes de começarmos a olhar para triângulos não retângulos, vamos recapitular um pouco de trigonometria de ângulos retos com estes dois triângulos que desenhei aqui. Então, se olharmos para o triângulo à esquerda, temos uma hipotenusa de seis e vamos tentar descobrir este lado 𝑥, que é na verdade este ângulo oposto. Então, se apenas denotarmos estes triângulos e este lado 𝑥 é o nosso cateto oposto e o lado oposto ao ângulo reto é designado por “hipotenusa”. Então, se se lembrar das suas razões trigonométricas, esta é a razão para o seno. Então podemos preencher isto; seno de um ângulo seno de trinta é igual a 𝑥 sobre seis. E para resolver isto, precisaríamos de multiplicar por seis e isto daria seis vezes seno de trinta, o que equivale a 𝑥. Agora, se calculou isto numa calculadora, obterá 𝑥 igual a três. Então observe aqui que o triângulo à esquerda tem a mesma altura que o triângulo à direita; então ambos são três e isto não foi acidental.

Ora, vamos apenas olhar para o triângulo à direita, então oposto ao lado quarenta está o nosso 𝑂 e oposto ao ângulo reto novamente está a nossa hipotenusa. Portanto ainda é seno. E desta vez, eu vou trabalhar o 𝑥. Então, se preenchermos a nossa fórmula, temos que o seno de quarenta desta vez é igual ao cateto oposto que é três sobre o 𝑥, assim. Então, para isolar 𝑥 primeiro precisamos multiplicar por 𝑥 e isto será 𝑥 seno de quarenta igual a três. Agora, desta vez, não podemos resolver isto ainda, temos que nos livrar do seno de quarenta. Vamos então dividir pelo seno de quarenta, e isso deixar-nos-á com 𝑥 igual a três dividido por seno de quarenta. E se colocarmos isto numa calculadora, sairá como quatro ponto seis, sete com duas casas decimais.

Ótimo, então vamos utilizar este método para resolver alguns triângulos não retângulos. Então vamos ver isto agora. Certo, aqui temos um triângulo 𝐴𝐵C e deram-nos o lado 𝐴𝐵 que é dez, o ângulo 𝐵𝐴𝐶 que é trinta, e o ângulo 𝐵𝐶𝐴 que é quarenta. Agora, se denotarmos este triângulo, ao lado oposto a 𝐴, vamos chamar 𝑎 minúsculo, ao lado oposto a 𝐶, vamos chamar 𝑐 minúsculo e ao lado oposto a 𝐵, se quisermos, poderemos chamar isto de 𝑏 —𝑏 minúsculo. Mas na verdade não precisamos de descobrir nada para fazer isto para tentar determinar este lado 𝑥. Então, assim como antes, se eu desenhar a reta perpendicular de 𝐵 e podemos chamar este ponto 𝐷, então poderíamos usar o método que acabamos de fazer com os dois triângulos retângulos para calcular o comprimento deste e, em seguida, utilizar isto para calcular o comprimento deste. Ora, se eu desenhar rapidamente dois triângulos retângulos separados - está um pouco torto - temos dois triângulos retângulos separados em vez de um - e escrever estas medidas, ora este é dez, este ângulo é trinta, e este o ângulo é quarenta, e este ângulo que o comprimento deste lado é 𝑥.

Ora, podemos determinar este comprimento aqui. Então vamos fazer isso, o lado oposto a trinta é 𝑂, em frente ao ângulo reto, que deverá ser aqui, é 𝐻. Então, teremos o seno de 30 igual ao oposto — vamos apenas chamar isto, eu não sei, vamos chamá-lo de 𝑦 – fica 𝑦 sobre dez. E a seguir, como antes, vezes dez, e nós obteremos dez vezes seno de trinta igual a 𝑦. E se escrevermos isto numa calculadora, descobrirá que 𝑦 é igual a cinco. E nós também sabemos, porque têm a mesma altura, que este comprimento é cinco. Ok, então se fizermos exatamente a mesma coisa, o lado oposto a quarenta ainda é 𝑂, o lado oposto a ângulo reto é 𝐻.

E em seguida, se trabalhamos novamente utilizando a nossa razão seno, temos seno de quarenta igual ao oposto, que é cinco, dividido pela hipotenusa, que é 𝑥. E, assim como antes, precisamos então multiplicar por 𝑥. E temos 𝑥 vezes o seno de quarenta igual a cinco e depois divide-se pelo seno de quarenta para se obter 𝑥 isolado. Então, 𝑥 é igual a cinco dividido por seno de quarenta, que se colocar na nossa calculadora a duas casas decimais, obtemos sete ponto sete oito com duas casas decimais. Ok, então é assim que pode dividir um triângulo não retângulo em dois triângulos retângulos, a fim de calcular o comprimento que falta.

Ok, então vamos fazer isto agora sem determinados senos, mas apenas letras - portanto, puramente álgebra. Ok, então como pode ver eu desenhei outro triângulo 𝐴𝐵𝐶. E desta vez, esperamos obter a lei dos senos que é o que estabelecemos fazer neste vídeo. Então, vou seguir exatamente os mesmos passos de antes. Primeiro vou desenhar esta perpendicular. E em seguida, para que possamos ver, vou identificar o meu lado oposto ao ângulo 𝐶 como 𝑐 minúsculo, o oposto ao ângulo 𝐴 como 𝑎 minúsculo. E eu não preciso de 𝐵, porque eu não estou a tentar determinar nada sobre eles. Então isto é o ângulo 𝐴 e isto é o ângulo 𝐶. Portanto, o nosso primeiro objetivo é utilizar o triângulo da esquerda para determinar este comprimento, e podemos chamá-lo de 𝑥. Então, vamos utilizar novamente a trigonometria de ângulos retos. Então este é o nosso oposto e esta é uma hipotenusa. Assim, saberemos que o seno 𝐴 é igual ao oposto, que é 𝑥, dividido pela hipotenusa, que é 𝑐. Então, se quisermos - se pudemos isolar 𝑥, passamos primeiro 𝑐 a multiplicar. Então, temos 𝑐 vezes seno de 𝐴, que é igual a 𝑥.

Agora eu vou deixar isto como está e vou utilizar este 𝑥, este 𝑎 e este 𝐶. Então, oposto a este 𝐶 temos nosso oposto novamente. E oposto ao ângulo reto temos a nossa hipotenusa. Então, se eu escrever exatamente como fizemos com o triângulo da esquerda a nossa razão seno temos que seno de 𝐶 igual ao nosso oposto, que é 𝑥, e dividido por uma hipotenusa, que é 𝑎. Então, se multiplicarmos este em ambos os membros por 𝑎, temos 𝑎 seno de 𝐶 igual a 𝑥. Agora, se eu mudar a cor da minha caneta aqui, perceberá que temos duas expressões em termos de 𝑥 e ambas devem estar corretas porque esta altura tem que ser a mesma para os dois triângulos retângulos. Então, o que podemos fazer é aproximá-los.

Ora, se eu apenas limpar ou deixar a tela lá — voltarei à minha caneta azul — então nós temos no lado esquerdo - eu só irei até aqui - que 𝑥 é igual a 𝐶 sen 𝐴 que é igual a 𝑎 sem 𝐶. Isto é, na verdade, parte da lei dos senos, mas não está na forma usual. Vamos dividir os dois membros por sen 𝐴, que nos dará 𝐶 igual a 𝑎 sen 𝐶 sobre sen 𝐴. E a seguir vamos dividir ambos os membros por sen 𝐶. Então obtemos 𝑐 sobre sen 𝐶 igual a 𝑎 sobre sen 𝐴. Agora, oops, vamos desfazer isto; isto faz parte da nossa lei dos senos.

Poderá ter visto isto antes, mas também deverá ter notado que eu utilizei um extra aqui; temos 𝑐 sobre sen 𝐶 igual a 𝑎 sobre sen 𝐴. E geralmente vem igual a mais outra coisa. Então vamos olhar para isto um segundo. Como você pode ver, temos parte da nossa lei dos senos 𝑐 sobre sen 𝐶 igual a 𝑎 sobre sen 𝐴. Mas geralmente há outro bocadinho que vem ao lado deste. Então, o que vou fazer é mostrar-lhe de onde isso vem. Então desenhei outro triângulo 𝐴𝐵𝐶. E desta vez eu vou desenhar uma perpendicular do ponto 𝐴 até este lado. E se você identificar o nosso triângulo exatamente da mesma forma como fizemos antes, este é o nosso lado 𝑐; este é o nosso lado 𝑏. Ok, este será o nosso ângulo 𝐵 e este é o ângulo 𝐶. Então, se utilizarmos a nossa trigonometria de ângulos retos, parece um pouco engraçado termos rodado um pouco o nosso triângulo, mas é o mesmo processo. Vamos chamar este bocado o nosso 𝑥. Então este é o nosso oposto; oposto do ângulo reto está a nossa hipotenusa. Então, indo até aqui, temos sen 𝐵; que desta vez é igual a 𝑥 sobre 𝐶. E se nós reorganizarmos isto passando pelo 𝑐 minúsculo, temos 𝑐 sen 𝐵 igual a 𝑥.

Assim como dantes, vamos fazer a mesma coisa com este triângulo em baixo, o oposto ao ângulo é 𝑂; o oposto ao ângulo reto é 𝐵. Então nós temos 𝐶; eu vou preciso de ser cuidadoso pois isto é 𝐶 maiúsculo igual ao oposto, que é o nosso 𝑥, sobre a nossa hipotenusa, que é 𝑏. Agora eu vou multiplicar por 𝑏, acabamos em 𝑏 sen 𝐶 maiúsculo igual a 𝑥 como antes. E observemos que temos as nossas duas expressões novamente em termos de 𝑥. Então, se juntarmos as duas e fizermos isto aqui nesta pequena caixa, temos 𝑐 sen 𝐵 é igual a 𝑏 sen 𝐶. E se nós dividirmos por sen como fizemos antes, teremos 𝑐 minúsculo sobre sen 𝐶 maiúsculo igual a 𝑏 sobre sen 𝐵. E pode observar, se eu utilizar o verde agora, eu tenho 𝑐 sobre sen 𝐶, que é igual a 𝑎 sobre sen 𝐴. E também tenho 𝑐 sobre sen 𝐶 aqui, que é igual a 𝑏 sobre sen 𝐵.

Então, o que posso fazer e vou fazer isso na tela final é escrever essas expressões. E vamos fazer isso por ordem alfabética. Então eu tenho 𝑎 sobre sen 𝐴 igual a 𝑏 sobre sen 𝐵 igual a 𝑐 sobre sen 𝐶. Ótimo! E esta é a nossa lei dos senos, ok. E podemos utilizar isto para resolver problemas. Então, vamos apenas fazer uma pergunta rápida para que possa ver como isto funciona. O que temos aqui é um triângulo 𝐴𝐵𝐶. Desta vez, como sabemos os ângulos, porque sabemos que o ângulo 𝐴 é quarenta, o ângulo 𝐶 é trinta e cinco, 𝐴𝐵 tem comprimento doze e 𝐵𝐶 é 𝑥. Então, se identificarmos o nosso triângulo primeiro, temos que o oposto ao lado 𝐴 é 𝑎 minúsculo, o oposto ao lado 𝐶 é 𝑐 minúsculo e não temos nenhuma informação sobre 𝑏 minúsculo; então eu não vou denotar isto. Então, aqui estamos nós, temos que 𝑐 é doze e temos que 𝑎 minúsculo é 𝑥, temos que 𝐴 maiúsculo é quarenta e temos que 𝐶 maiúsculo é trinta e cinco.

Então, vamos utilizar esta parte da lei dos senos que inclui o 𝑐 e o 𝑎; 𝑐 minúsculo sobre sen 𝐶 é igual a 𝑎 minúsculo sobre sen 𝐴. E vamos escrever isto e a seguir resolver uma equação rápida. Então nós temos 𝑐 minúsculo que é doze, então doze sobre sen trinta e cinco é igual a 𝑥 minúsculo sobre sen quarenta. E agora nós só precisamos de isolar 𝑥 , assim como fizemos antes, então vamos remover aquele sen quarenta, multiplicando por sen quarenta. E teremos doze sobre seno de trinta e cinco vezes o seno de quarenta igual ao nosso 𝑥. E se colocarmos isto numa calculadora, podemos descobrir que o nosso 𝑥 a duas casas decimais é igual a treze ponto quatro e cinco. E aqui está, esta é a expressão da lei dos senos e um exemplo rápido só para ver como isto é utilizado e muito obrigado.

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