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Neste vídeo, aprenderemos como calcular a mediana e o terceiro e o primeiro quartis de um conjunto de dados. Os quartis permitem-nos dividir um conjunto de dados em quatro partes tais que 25 % do conjunto de dados esteja numa determinada quarta parte. Começaremos por definir a mediana, o primeiro quartil e o terceiro quartil e veremos como podemos calculá-los para um conjunto pequeno de dados. Depois de fazer isto, veremos alguns problemas mais complicados no contexto.
A mediana ou o segundo quartil marca o meio de um conjunto de dados. Isto significa que 50 % dos nossos dados estão abaixo da mediana e 50 % acima da mediana. O quartil inferior ou primeiro quartil marca o centro da metade inferior de um conjunto de dados. Isto significa que 25 % dos dados estão abaixo do quartil inferior e 75 % acima.
O quartil superior ou terceiro quartil marca o centro da metade superior de um conjunto de dados. Isto significa que 25 % dos dados estão acima do quartil superior, enquanto 75 % estão abaixo. O primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil são às vezes referidos como Q um, Q dois e Q três, respetivamente.
Agora, veremos como podemos calcular a mediana e os quartis a partir de um conjunto pequeno de dados. Começaremos a examinar um número ímpar de dados.
Determine a mediana e os quartis destes valores. 10, 17, 21, 25, 29, 32 e 37.
Percebemos que os nossos valores já estão por ordem crescente. Se não fosse este o caso, primeiro precisaríamos de organizá-los desta maneira. Existem sete dados aqui. E sabemos que a mediana é o valor médio. Uma maneira de calcular a mediana é riscar os valores de cada extremidade. Em primeiro lugar, riscamos 10 e 37. Em seguida, riscaremos 17 e 32. Finalmente, riscaremos 21 e 29. Isto deixa-nos com um valor médio de 25. O quarto número da lista é a mediana.
Como havia sete números na lista, podemos pensar que o valor da mediana está a meio desta. No entanto, este não é o caso. E podemos calcular a posição mediana de qualquer conjunto de dados utilizando a seguinte fórmula: 𝑛 mais um dividido por dois. 𝑛 é o número de valores, neste caso sete. Portanto, temos sete mais um dividido por dois. Como oito dividido por dois é igual a quatro, o quarto valor da nossa lista será a mediana.
Sabemos pela nossa definição anterior que o primeiro quartil é o centro da metade inferior. Nesta questão, a metade inferior do conjunto de dados tem três valores: o primeiro, o segundo e o terceiro. O valor no meio é 17. Portanto, o primeiro quartil é 17. Podemos calcular o primeiro quartil ou uma posição Q utilizando uma fórmula semelhante à mediana. Desta vez, é 𝑛 mais um dividido por quatro. Dividir por quatro é o mesmo que determinar um quarto. Sete mais um é igual a oito, e dividir isto por quatro dá-nos dois. Portanto, o segundo número no nosso conjunto de dados, neste caso 17, é o primeiro quartil.
O terceiro quartil é o centro da metade superior do nosso conjunto de dados, neste caso, o quinto, o sexto e o sétimo números. O centro deste é o sexto número, 32. Este é o terceiro quartil. Mais uma vez, poderemos determinar a posição do terceiro quartil ou Q três determinando três quartos de 𝑛 mais um ou multiplicando 𝑛 mais um por três e depois dividindo por quatro. Isto é igual a seis. Portanto, o sexto número da nossa lista será o terceiro quartil. Uma maneira mais rápida de calcular isto será multiplicar a posição do primeiro quartil por três, pois três quartos é um quarto multiplicado por três. O primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil dos nossos valores são 17, 25 e 32, respetivamente.
Agora, examinaremos uma questão em que temos um número par de pontos de dados.
As pontuações do teste de história do David são 74, 96, 85, 90, 71 e 98. Determine o terceiro e o primeiro quartis das suas pontuações.
Para calcular o terceiro e o primeiro quartis de um conjunto de dados, primeiro precisamos de classificar os dados por ordem crescente. Neste caso, a pontuação mais baixa foi 71. A próxima pontuação mais baixa foi 74. As pontuações restantes de David por ordem crescente foram 85, 90, 96 e 98. Temos seis pontuações de teste no total e sabemos que a mediana é o valor médio.
Uma maneira de calcular a mediana com um conjunto pequeno de dados é riscar números de cada extremidade. Riscamos o menor número e o maior número. Em seguida, riscamos 74 e 96. Isto significa que ficamos com dois números do meio, 85 e 90. A mediana será o ponto médio destes dois números. Poderemos resolver isto numa reta numérica. Em alternativa, podemos determinar a média ou o ponto médio de dois números determinando a sua soma e dividindo por dois. Isto é igual a 87.5. A mediana das pontuações do teste de David é 87.5.
Uma maneira alternativa de determinar a mediana, que é útil se tivermos um grande conjunto de dados, é utilizar a fórmula 𝑛 mais um dividido por dois. Isto dá-nos a posição mediana na lista. Como havia seis valores nesta questão, 𝑛 é igual a seis. Seis mais um é igual a sete e dividir por dois dá 3,5. Isto significa que a mediana estará a meio caminho entre o terceiro e o quarto valor. Isto confirma que a nossa resposta de 87.5 estava correta.
Como tínhamos seis valores no total, existem três valores menores do que a mediana e três valores maiores do que a mediana. Sabemos que o primeiro quartil é o centro da metade inferior do nosso conjunto de dados. Como existem três valores aqui, o primeiro quartil, ou Q, será o do meio. Isto é igual a 74. O terceiro quartil será o centro da metade superior do nosso conjunto de dados. Mais uma vez, temos três números acima da mediana. O número do centro será o do meio. Isto é igual a 96.
Podemos, portanto, concluir que o terceiro quartil das pontuações do histórico de David foi 96 e o primeiro quartil foi 74. Antes de prosseguirmos com esta questão, vamos considerar como podemos determinar a posição do primeiro quartil e do terceiro quartil. A posição do primeiro quartil pode ser calculada utilizando a fórmula 𝑛 mais um dividido por quatro ou um quarto de 𝑛 mais um. Sete dividido por quatro é igual a 1.75. Como é mais do que a meio caminho entre um e dois, arredondamos para dois. O primeiro quartil será o segundo valor da nossa lista.
Podemos calcular a posição do terceiro quartil utilizando um método semelhante. Três quartos de 𝑛 mais um, ou três multiplicado por 𝑛 mais um dividido por quatro. Isto é igual a 5.25, que percebemos que é três vezes 1.75. Como isto é menos de entre cinco e seis, arredondamos para cinco. O quinto número da nossa lista será o terceiro quartil. Este método é particularmente útil se tivermos um grande conjunto de dados.
Vamos agora examinar algumas questões mais complicadas em contexto.
O número de Bichos Bónus ganhos por cada um dos 15 alunos no primeiro nível de um torneio de jogos de computador foi registado. Os resultados estão na tabela embaixo. Determine a mediana, Q dois, e o primeiro e o terceiro quartis, Q um e Q três, para o número de Bichos Bónus ganhos. Se os organizadores do torneio decidirem que os 25 % melhores alunos podem competir no nível dois, acima de que número de Bichos Bónus um aluno deve ganhar para passar para o próximo nível?
Para calcular a mediana e os quartis de qualquer conjunto de dados, primeiro precisamos de classificar os dados por ordem crescente. O menor número de Bichos Bónus que um aluno ganhou foi 14. O próximo valor mais baixo foi 15. A lista completa por ordem crescente é a apresentada. Uma vez que os nossos dados estejam por ordem, podemos calcular a mediana riscando um número de cada extremidade até chegarmos ao meio. Riscaremos 14 e 35. Riscaremos 15 e 32 e repetiremos este processo até chegarmos ao meio. Se houvesse dois números no meio, determinaremos o ponto médio desses dois.
Ao lidar com um conjunto grande de dados, existe uma maneira mais rápida de determinar a posição mediana. Fazemos isso utilizando a fórmula 𝑛 mais um dividido por dois, onde 𝑛 é o número de valores de dados. Nesta questão, há 15 valores de dados. Adicionamos um a 15 e depois dividimos por dois. Isto é igual a oito. Portanto, a mediana será o oitavo número da nossa lista. Isto é igual a 22. Portanto, o número médio Bichos Bónus é 22.
Podemos calcular as posições do primeiro e do terceiro quartis de maneira semelhante. O primeiro quartil ou posição Q um é calculado dividindo 𝑛 mais um por quatro. 15 mais um é igual a 16 e dividir isto por quatro dá-nos quatro. Podemos, portanto, dizer que o quarto número da nossa lista, neste caso 17, é o primeiro quartil.
Uma maneira alternativa de determinar o primeiro quartil será determinar o centro da metade inferior da nossa lista. Existem sete valores abaixo da mediana, e o do meio é 17, o quarto valor. Para determinar o terceiro quartil ou a posição Q de três, multiplicamos 𝑛 mais um por três quartos ou multiplicamos 𝑛 mais um por três e depois dividimos por quatro. Isto é igual a 12. Observe que isto é três vezes a posição Q um. O 12º número na nossa lista é 29, então este é o terceiro quartil.
Como o terceiro quartil é o centro da metade superior dos valores dos dados, poderíamos tê-lo determinado mais uma vez, determinando o meio dos sete valores acima da mediana. O número médio Bichos Bónus é 22, o primeiro quartil é 17 e o terceiro quartil é 29.
Vamos agora abrir espaço para resolver a segunda parte da questão.
A segunda parte da questão estava interessada nos 25 % melhores alunos. Lembramos que uma das razões para o cálculo dos quartis é dividir os nossos dados em quatro partes. Uma quarta parte é o mesmo que 25 porcento. Isto significa que os 25 porcento dos melhores alunos ficarão entre Q três e o máximo, inclusive. Como Q três ou o terceiro quartil foi igual a 29, qualquer aluno estará nos top 25 porcento se obtiver 29 Bichos Bónus ou mais.
A nossa questão final baseia-se nesta.
No segundo ano de um torneio de jogos de computador, havia 42 participantes e o número Bichos Bónus que cada um ganhou no nível um foi registado. Os dados estão apresentados no gráfico embaixo, onde cada bicho representa um participante. Determine o número médio de Bichos Bônus ganhos e o primeiro e o terceiro quartis, Q um e Q três.
Há também uma segunda parte desta questão que examinaremos mais tarde. Podemos ver no gráfico que houve um aluno que obteve 13 Bichos Bónus. Houve também um aluno que obteve 15 Bichos Bónus. Dois alunos obtiveram 19 Bichos Bónus e dois alunos obtiveram 20. O número máximo de Bichos Bónus obtido por um aluno foi 38.
Para calcular a mediana e os quartis, poderemos escrever todos estes números por ordem crescente. 13, 15, 19, 19, 20, 20 e assim por diante. Isto consumiria muito tempo. Portanto, um método mais rápido é descobrir em que posição a mediana e os quartis estarão. A posição da mediana pode ser calculada utilizando a fórmula 𝑛 mais um dividido por dois. 𝑛 é o número de valores de dados, neste caso 42. Substituir isto na fórmula dá-nos uma resposta de 21.5. Isto significa que a posição da mediana está entre o 21º e o 22º número.
Ao calcular a frequência total ou cumulativa em execução, podemos ver que os números 19, 20, 21 e 22 são todos 26. Isto significa que o número mediano de bichos é 26. Podemos calcular a posição Q um ou o primeiro quartil utilizando um método semelhante. Desta vez, dividimos 𝑛 mais um por quatro, dando-nos uma resposta de 10.75. Como isto ultrapassou metade do caminho entre 10 e 11, arredondamos para o 11º número. Os números 11 e 12 são iguais a 23. Portanto, Q um é igual a 23.
Para calcular a posição do terceiro quartil ou três Q, multiplicamos a posição do primeiro quartil por três. Isto dá-nos 32,25. Como isto é menos de metade do caminho entre 32 e 33, aproximamos por defeito. Estamos à procura do 32º número. Este é igual a 29.
A segunda parte da questão quer que calculemos a pontuação obtida pelos top 25 % participantes. Os quartis dividem os nossos dados em quatro partes ou 25 %. Isto significa que 25 % das pontuações irão do terceiro quartil ao máximo. Uma pontuação de 29 ou mais colocaria um aluno entre os 25 % melhores.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. A mediana marca o meio de um conjunto de dados. O primeiro quartil marca o centro da metade inferior de um conjunto de dados. E o terceiro quartil marca o centro da metade superior de um conjunto de dados. Podemos calcular as posições da mediana e dos quartis utilizando as seguintes fórmulas. Os quartis dividem os nossos dados em quatro partes ou 25 %.
