Vídeo da aula: Trigonometria: Ângulos de Elevação e de Depressão Mathematics

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver uma aplicação da trigonometria no cálculo dos ângulos de elevação e de depressão.

Então, primeiro que tudo, vamos esclarecer o que se entende por ângulos de elevação e ângulos de depressão. E os dois diagramas aqui são úteis para explicá-lo, angulos de elevação, em primeiro. Então, temos aqui um diagrama de uma pessoa e está a olhar para um objeto acima dela. O ângulo de elevação é o ângulo formado entre a horizontal e a linha de visão dessa pessoa ao olhar para esse objeto.

Um ângulo de depressão é um conceito similar, mas desta vez nosso observador está olhando para alguma coisa. Assim, o ângulo de depressão é o ângulo formado novamente entre a horizontal e a linha de visão do observador enquanto olha para baixo em direção a um objeto.

Na verdade, se eu adicionasse outra pessoa, como fiz neste diagrama à direita, o ângulo de elevação do observador em baixo e o ângulo de depressão do observador em cima são os mesmos. São congruentes porque as duas horizontais são paralelas. E, portanto, estes dois ângulos são ângulos alternos-internos em retas paralelas. Então, muitas questões sobre ângulos de elevação e depressão tendem a ser formuladas, onde precisa de ler uma descrição, interpretá-la, e eu sugiro sempre desenhar um diagrama para ajudar. Então, vamos ver alguns exemplos disto.

Então aqui está a nossa primeira questão.

Diz que Tom está num penhasco de 100 metros de altura e vê um barco no mar. O ângulo de depressão de Tom para o barco é de 51 graus. Calcula a distância entre o barco e a base do penhasco.

Então, como mencionei, um diagrama é sempre um ponto de partida útil para visualizar a situação aqui. Então, aqui está o meu diagrama. Eu tenho um penhasco com Tom e um barco no mar e Tom está a olhar para o barco. Agora dizem-nos que o ângulo de depressão é de 51 graus. Então também preciso de desenhar na horizontal. Porque lembre-se o ângulo de depressão é medido a partir da horizontal. Então, aqui está a horizontal. E o ângulo de depressão que nos dizem é de 51 graus. Então preciso de identificá-lo aqui.

Agora, se eu quiser utilizar trigonometria para abordar este problema, então preciso de um triângulo retângulo. Então, também adicionarei uma linha vertical paralela ao penhasco, do barco até a horizontal. Assim, isto dá-me o triângulo retângulo com o qual vou trabalhar. Agora temos outras informações. Disseram-nos que o penhasco onde Tom se encontra tem 100 metros de altura. Isso significa que posso colocar esta medida aqui como 100 metros.

Agora vale a pena ressaltar que não considerámos a altura de Tom de alguma forma. Obviamente, Tom está no topo do penhasco, então, ele vai adicionar um pouco a isto. Mas não nos foi dito o quão alto Tom é. Então, nesta questão, estamos a ignorar a altura de Tom. Noutra questão, é possível que saiba o quanto o Tom é alto ou o quão alto os olhos dele estão em relação ao chão, nesse caso, será preciso considerar isso também. Mas nesta questão, estamos a trabalhar apenas com os 100 metros de altura do penhasco.

Agora pedem-nos para calcular a distância entre o barco e a base do penhasco. Então, esta é a distância horizontal aqui, que eu chamei de 𝑑 metros. Então, ao pensar em como abordar este problema é um problema de trigonometria. E o primeiro passo para mim ao abordar uma questão de trigonometria é identificar sempre os lados como o oposto, o adjacente e a hipotenusa em relação a um ângulo. Então, isto é, em relação aos 51 graus aqui.

Aqui estão as identificações. E posso ver que tenho o oposto e quero saber o adjacente. Ou seja, tenho O e A. Então, vou utilizar a razão de tangente aqui. E preciso de recordar a definição da razão tangente. E a definição, lembre-se, é que tan de 𝜃, onde 𝜃 representa um ângulo, é a razão entre o oposto dividido pelo adjacente.

O que vou fazer é escrever esta razão novamente, mas vou inserir as informações que conheço desta questão. E vou substituir 𝜃 por 51 graus, vou substituir o oposto por 100 e vou substituir o adjacente por 𝑑 por ser a carta que dei nesta questão. Tenho tan de 51 igual a 100 sobre 𝑑.

Agora, procurando resolver esta equação, a fim de calcular o valor de 𝑑, 𝑑 está no denominador de uma fração. Então, a primeira coisa que vou fazer é multiplicar ambos os membros da equação por 𝑑. E dá-me 𝑑 multiplicado por tan 51 igual a 100. Agora, o próximo passo para obter 𝑑 sozinho é dividir ambos os membros da equação por tan 51. tan 51 é apenas um número. Então posso fazer isto sem problema. E dá-me 𝑑 igual a 100 sobre 51.

Agora, neste ponto, vou buscar a minha calculadora para calcular isto. E como 51 foi medido em graus, preciso de ter certeza de que minha calculadora está no modo grau para esta questão. Então, calculando isto dá-me 80.9784 para 𝑑. Eu não fui informado como arredondar a minha resposta. Então, neste caso, vou arredondar às unidades. Então, diz-me que a distância entre o barco e a base do penhasco é de 81 metros, arredondado às unidades.

É muito importante desenhar um diagrama se não te tiverem dado um. Lê as informações na questão com cuidado e certifica-te de colocá-las no diagrama corretamente. Lembrando a razão tangente e resolvendo a equação resultante para calcular o comprimento do lado que procuramos.

Ok, a segunda questão que vamos ver.

Jess fica a 40 metros de um prédio de 25 metros de altura. Qual é o ângulo de elevação de Jess ao topo do edifício?

Então, como sugeri antes, um diagrama seria um bom passo para começar esta questão. Desta vez, acabei por representar Jess por um ponto. Não nos disseram nada sobre a sua altura. Então não a vamos considerar. Ela está a 40 metros do prédio, que tem 25 metros de altura. E estamos a fazer a suposição razoável aqui de que o edifício está num ângulo reto com o solo, que é horizontal. Então, procuramos calcular o ângulo de elevação quando Jess olha para o topo do prédio. É este ângulo que identifiquei com 𝜃 no diagrama.

E, como antes, é um problema de trigonometria, então é sempre sensato identificar os três lados do triângulo primeiro. Ora, a hipotenusa, o lado mais comprido aqui, o oposto que é o lado oposto àquele ângulo 𝜃, e então o adjacente que está entre 𝜃 e o ângulo reto. Os dois lados que nos foram dados são o oposto e o adjacente. Então, vamos utilizar a razão tangente novamente. Vamos escrever a sua definição. Tan de 𝜃 é igual ao oposto dividido pelo adjacente.

E o que vou fazer é escrever esta razão. Mas eu vou substituir o oposto e o adjacente pelos seus valores nesta questão, ou seja, 25 e 40. Tenho tan de 𝜃 igual a 25 sobre 40. Agora, isto simplifica, já que posso dividir ambas as partes desta razão, três por cinco. Então, se eu quisesse, poderia simplificá-lo para cinco sobre oito. Agora, como estamos a tentar calcular um ângulo desta vez, em vez de um lado, precisamos de utilizar a função inversa para o fazer.

E tenho que 𝜃 é igual a inversa da tan de cinco sobre oito. E neste ponto, vou buscar a minha calculadora para calcular isto. Então, diz-me que 𝜃 é igual a 32.00538. E se eu arredondar isto às unidades, tenho a minha resposta para esta questão, que é o ângulo de elevação é de 32 graus. Então, como antes, começa com um diagrama, identifica os lados do triângulo retângulo e utiliza a razão tan para determinar o ângulo em falta.

Ok, a última questão que vamos ver, diz: Sue está a quatro metros e meio de uma estátua. O ângulo de elevação de Sue até à base da estátua é de 18 graus. O ângulo de elevação de Sue ao topo da estátua é de 49 graus. Somos solicitados calcular a altura da estátua.

Então, pensa nas informações desta questão com cuidado por um momento. Nós temos dois ângulos de elevação. E um deles é na base da estátua, o que significa que esta estátua não está no chão com Sue. Está acima dela de alguma forma. Então, precisamos de levar isto em conta quando desenharmos o nosso diagrama. Então, a situação parece-se com algo assim. Temos Sue em pé no chão e ela está a olhar para a estátua. Eu vou desenhar a horizontal para o chão também.

Agora vamos adicionar as informações que conhecemos. Sue está a quatro metros e meio de distância. Então a distância horizontal aqui é de quatro metros e meio. Também temos os dois ângulos de elevação. O ângulo de elevação de Sue até a base é de 18 graus. Então é este ângulo aqui. E o ângulo de elevação de Sue ao topo é de 49 graus. Então é este ângulo aqui medido a partir da horizontal. E o que estamos à procura é da altura da estátua. Portanto, procuramos descobrir esta distância aqui, que é referida como 𝑥 metros.

Agora este comprimento 𝑥 não está realmente num triângulo retângulo. E precisamos de triângulos retângulos para fazer este tipo de trigonometria. Então, vai ser um processo em duas fases para poder determinar este comprimento 𝑥. Existem dois triângulos retângulos no diagrama. Então, o que vou fazer é desenhá-los separadamente para que possamos visualizar o problema com mais facilidade.

E aqui estão esses dois triângulos retângulos. E vamos combinar com o diagrama. Este comprimento aqui, que eu chamarei de 𝑦, é este comprimento aqui no diagrama original. Este é o menor triângulo retângulo na parte inferior. Este comprimento aqui no triângulo maior, então este aqui que vou chamar de 𝑧, este é o comprimento total aqui no diagrama. Talvez possas ver agora qual será a minha estratégia. Vou utilizar estes dois triângulos retângulos para calcular 𝑦 e 𝑧. E então, olhando para o diagrama, podes ver que 𝑥 será a diferença entre estes dois valores. Ou seja, 𝑥 será 𝑧 a subtrair por 𝑦.

Então, primeiro que tudo, em cada um destes triângulos, eu vou identificar os três lados: a hipotenusa, o oposto e o adjacente em relação a estes ângulos de 18 e 49 graus. Então, em ambos os casos, conhecemos o adjacente e queremos descobrir o oposto, o que significa que vou utilizar a razão tan. Então vou invocar a definição da razão de tangente. E lembra-te que é isto, esta tan do ângulo 𝜃 igual ao oposto dividido pelo adjacente.

E vou aplica-la duas vezes. Começando com o triângulo menor, vou substituir 𝜃 por 18 graus e vou substituir o adjacente por 4.5. Então tenho tan de 18 é igual a 𝑦 sobre 4.5. O primeiro passo para resolver esta equação é que preciso de multiplicar ambos os membros da equação por 4.5, porque está atualmente no denominador. Então dá-me que 𝑦 é igual a 4.5 tan 18. E acabei de escrever os dois membros da equação ao contrário. Agora, se eu calcular isto na minha calculadora, dá um valor de 1.46. Mas, na verdade, vou mantê-lo exato, porque preciso de utilizar 𝑦 mais tarde na questão. E se eu continuar assim, então será um valor exato e não apresentarei erros de arredondamento.

Agora olho para o segundo triângulo. E, novamente, quero escrever a razão tangente preenchendo com as informações que conheço. Então, 𝜃 será substituído por 49 e adjacente será novamente substituído por 4.5. Então, tenho tan de 49 igual a 𝑧 sobre 4.5. Como no triângulo anterior, agora preciso de multiplicar ambos os membros desta equação por 4.5. E tenho que 𝑧 é igual a 4.5 tan 49. Agora, novamente, se eu fosse calcular isto, dá um valor de cerca de 5.18. Mas vou continuar assim por enquanto.

Certo, o passo final é que eu queria descobrir a altura da estátua, que era 𝑥. E lembra-te que dissemos que, para o fazer, eu precisaria de fazer 𝑧 menos 𝑦. Então tenho 𝑥 igual a 4.5 tan 49 menos 4.5 tan 18. E esta é a primeira etapa, onde vou utilizar a minha calculadora para calcular isto. E diz-me que 𝑥 é igual a 3.7145. Agora, esta resposta está em metros. Então, se arredondar às centésimas, será arredondar até aos centímetros. E diz-me que a altura da estátua é de 3.71 metros.

Então, nesta questão, ter um diagrama configurado corretamente no início foi muito importante. Não assumas que a estátua está no mesmo terreno plano que Sue. Tivemos que ler a questão com cuidado e deduzir que está acima dela.

Em resumo, definimos os ângulos de elevação e depressão. E vimos como utilizar a razão tangente para responder a questões que envolvem o cálculo do ângulo de elevação ou depressão ou o cálculo de um comprimento em falta a partir de uma descrição.