Vídeo: Resolvendo Problemas Contextualizados Adicionando Quantidades Representadas como Vetores em Forma de Magnitude e Direção

Uma mulher começou a andar de casa e andou 6 milhas a 40° nordeste, depois 2 milhas a 15° sudeste, depois a 5 milhas a 30° a sudoeste. Se ela fosse direto para casa, até onde ela teria que andar e em que direção? Dê a distância em milhas correta para 2 casas decimais e a direção em graus corretos para uma casa decimal.

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Transcrição do vídeo

Uma mulher começou a andar de casa e andou seis milhas a 40 graus nordeste, depois duas milhas a 15 graus sudeste, depois cinco milhas a 30 graus sudoeste. Se ela andasse reto para casa, quanto ela teria que andar e em que direção? Dê a distância em milhas correta para duas casas decimais e a direção em graus corretos para uma casa decimal.

Seria uma boa ideia representar essa história usando um diagrama. Ela começa a andar de casa que nós representamos como um ponto. E de lá, ela anda seis milhas a 40 graus ao nordeste. Esta é uma quantidade vetorial. Nós recebemos a magnitude, seis milhas e a direção, 40 graus ao nordeste. E como a direção é dada com referência às direções da bússola, provavelmente é uma boa ideia marcar uma bússola em nosso diagrama. De casa, esta direção é o Leste. E então, essa direção é 40 graus ao nordeste. E deixando a magnitude deste fator ser de seis milhas. Depois de andar seis milhas a 40 graus ao nordeste, ela está no final do vetor no ponto terminal. Mas ela não para por aí, ela continua a andar duas milhas a 15 graus a sudeste. Nós marcamos no sul. Em seguida, os deslocamentos de duas milhas a 15 graus a sudeste são representados pelo vetor laranja. Ela então percorre cinco milhas a 30 graus a sudoeste. Então, finalmente, ela acaba no ponto terminal deste vetor azul aqui.

A questão é como ela chega em casa? Em qual direção ela tem que andar e até onde? Todos os vetores em nosso diagrama são colocados de ponta a ponta. Isso nos dá uma dica de que estamos lidando com um problema de adição de vetores. Seu deslocamento final de casa, quando ela começa a se perguntar como voltar para casa, é a soma dos vetores de deslocamento roxo, laranja e azul. Nossa tarefa é encontrar o vetor verde que a leva de volta para casa e assim faz com que ela se desloque de volta para casa apenas pelo vetor zero. Vamos nos concentrar primeiro em encontrar essa soma.

Para encontrar essa soma, primeiro escrevemos cada vetor nesta soma em forma de componente. Vamos dar a esses vetores alguns nomes para facilitar as coisas para nós mesmos. Nós os chamamos de 𝑈, 𝑉 e 𝑊. Então nossa soma é 𝑈 mais 𝑉 mais 𝑊. Primeiro, vamos encontrar 𝑈 na forma de componente. Sabemos como fazer isso, dada a magnitude do vetor e a medida 𝜃 do ângulo, medida no sentido anti-horário a partir do vetor 𝐼. Primeiro de tudo, vamos ter que decidir em quais direções os vetores unitários 𝐼 e 𝐽 vão apontar. Nós escolhemos fazer 𝐼 ponto leste e 𝐽 ponto norte que é de alguma forma convencional. Estamos prontos para substituir em seguida. A magnitude de 𝑈 é seis. E o valor de 𝜃, a direção medida no sentido anti-horário a partir do Leste, é de 40 graus. Então aqui nós temos as componentes de 𝑈. Vamos limpar algum espaço e fazer o mesmo para 𝑉.

Escrevemos a fórmula em termos da magnitude de 𝑉 e 𝜃, a medida do ângulo no sentido anti-horário a partir do Leste. A magnitude de 𝑉 é dois. Mas qual é o valor de 𝜃? Podemos ser tentados a dizer que 𝜃 é 15 graus, porque esse é o valor que vemos marcado. 𝜃 deve ser medido no sentido anti-horário a partir do vetor 𝐼. E como 𝐼 aponta para o leste, isso significa sentido anti-horário do Leste. Acontece que tivemos sorte com 𝑈 que o ângulo marcado já foi medido no sentido anti-horário a partir do Leste, conforme necessário. Infelizmente, para 𝑉, teremos que fazer mais algum trabalho. Vamos marcar na direção leste do ponto inicial e marcar no ângulo que queremos, o que chamamos de 𝜑. Olhando para os ângulos em torno deste ponto inicial, devemos ser capazes de ver que 𝜑 mais 15 graus devem ser 90 graus, porque o ângulo entre o leste e o sul é de 90 graus. E assim, 𝜑 é de 75 graus. Mas 𝜃 é medido no sentido anti-horário a partir do Leste. E vemos que temos 75 graus no sentido horário a partir do Leste. Então, 𝜃 é negativo em 75 graus. E substituímos esse valor. É hora de limpar algum espaço e encontrar as componentes de 𝑊.

Mais uma vez, a magnitude de 𝑊 é a parte fácil. Nos disseram que isso é cinco. O difícil é garantir que medimos o 𝜃 da maneira certa. Novamente, marcamos na direção leste do ponto inicial. Vemos que 𝜑 é medido no sentido horário a partir do Leste porque é suplementar com o ângulo de 30 graus marcado. E assim, 𝜃, medido no sentido anti-horário, é negativo em 150 graus. Alternativamente, poderíamos ter feito o contrário no círculo, adicionando 180 graus a 30 graus. E, portanto, obtendo um valor de 210 graus. Ambas as abordagens são válidas. E ambos dão as mesmas componentes de 𝑊.

Agora temos as componentes 𝑈, 𝑉 e 𝑊. Podemos encontrar sua soma apenas adicionando as componentes. Somamos as componentes 𝑥 dos vetores usando uma calculadora no modo grau para descobrir que a componente 𝑥 do vetor final é 0.783777 ponto ponto ponto. Da mesma forma, somamos as componentes 𝑦 dos vetores para descobrir que a componente 𝑦 de seu deslocamento final é negativo 0.575125 ponto ponto ponto. Para voltar para casa de sua posição final, ela tem que ir na direção oposta. Então, queremos que o vetor verde que estamos procurando seja o inverso aditivo desse deslocamento final. O deslocamento que ela tem que andar para chegar em casa é, portanto, menos 0.78377 ponto ponto ponto, 0.575125 ponto ponto ponto. Cada componente é o oposto da componente no deslocamento final. Você pode verificar se a soma de 𝑈, 𝑉, 𝑊 e este vetor verde é zero. E assim, se ela segue esse caminho, ela realmente volta para onde ela começou.

Estamos quase terminando agora. Encontramos o deslocamento que ela tem que andar para chegar em casa. Mas precisamos dar esse deslocamento em termos de distância em milhas e a direção em graus que ela precisa andar. Em outras palavras, precisamos pegar nosso vetor, que temos em forma de componente, e escrevê-lo na forma de direção e magnitude. Nós criamos algum espaço para resolver isso. A distância que procuramos é a magnitude desse vetor de deslocamento. E sabemos como encontrar a magnitude desse vetor. É a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Substituindo as componentes nessa fórmula, usando as seis casas decimais de precisão, em vez de apenas as duas que escrevi aqui, obtemos 0.97, correto para as duas casas decimais necessárias. E, claro, todas as quantidades são dadas em milhas. E assim esta é uma distância em milhas.

Agora precisamos encontrar a direção. A maneira mais fácil de fazer isso é usar as componentes do vetor para desenhar um diagrama preciso dele. Se colocarmos o ponto inicial aqui, então a componente 𝑥 nos diz que o ponto terminal é menos 0.783777 ponto ponto ponto unidades à direita, ou equivalente, 0.783777 unidades à esquerda do ponto inicial. O componente 𝑦 nos informa que o ponto terminal é 0.575125 ponto ponto ponto unidades acima do ponto inicial. E assim podemos marcar o ponto terminal e desenhar no vetor. Lembre-se, estamos procurando a direção do vetor. Podemos ver que essa direção é 𝜃 noroeste, onde 𝜃 é marcado.

Nossa única questão agora é qual é o valor de 𝜃? Bem, felizmente, temos um triângulo retângulo. E neste triângulo retângulo, tan 𝜃 é o comprimento do lado oposto ao longo do comprimento do lado adjacente. E podemos usar a função inversa da tangente em nossa calculadora, certificando-nos de que estamos no modo de grau primeiro, para encontrar o valor de 𝜃. Entendemos que 𝜃 é 36.3 graus, com a precisão necessária de uma casa decimal. Portanto, a direção é de aproximadamente 36.3 graus a noroeste.

E juntando tudo, nós temos a nossa resposta final. Isso é para chegar em casa, ela tem que andar 0.97 milhas, 36.3 graus a noroeste.

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