Vídeo: Calculando o Produto Interno Triplo e o Produto Externo Triplo de Três Vetores no Espaço

𝐔, 𝐕 e 𝐖 são três vetores tais que 𝐔 = 〈1, 0, 2〉, 𝐕 = 〈−1, 0, 3〉 e 𝐖 = 〈2, 0, −2〉. Calcule 𝐔 ⋅ (𝐕 × 𝐖) e 𝐔 × (𝐕 × 𝐖).

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Transcrição do vídeo

𝐔, 𝐕, e 𝐖 são três vetores onde 𝐔 tem coordenadas um zero dois 𝐕 tem coordenadas menos um zero três e 𝐖 tem coordenadas dois zero menos dois calcule 𝐔 interno 𝐕 externo 𝐖 e 𝐔 externo 𝐕 externo 𝐖.

Esta questão envolve o produto interno e o produto externo de vetores. Temos que determinar o produto interno do vetor 𝐔 com o vetor 𝐕 externo 𝐖 e o produto externo 𝐔 com o vetor 𝐕 externo 𝐖. O elemento comum aqui é 𝐕 externo 𝐖, o produto externo dos vetores 𝐕 e 𝐖, que é também um vetor.

Então vamos primeiro determinar 𝐕 externo 𝐖. Podemos escrever este produto externo como o determinante de uma matriz de três por três, onde a primeira linha da matriz contém os vetores unitários nas direções O𝑥, O𝑦 e O𝑧; isto é, os vetores 𝑖, 𝑗 e 𝑘. A segunda linha contém as coordenadas do primeiro vetor no produto vetorial, neste caso 𝐕 com coordenadas menos um, zero e três. E a terceira linha contém as coordenadas do segundo vetor no produto externo, no nosso caso 𝐖 com coordenadas dois, zero e menos dois.

Agora calculamos este determinante. Podemos expandir este determinante ao longo da linha superior. Assim, obtemos 𝑖 vezes o determinante da matriz que obtém excluindo a linha e a coluna que contêm 𝑖 menos 𝑗 vezes o determinante da matriz obtida excluindo a linha e a coluna que contêm 𝑗 mais 𝑘 vezes o determinante da matriz obtida excluindo a linha e coluna que contêm 𝑘.

Podemos calcular determinantes dois-por-dois da maneira normal. E simplificando, obtemos zero 𝑖 mais quatro 𝑗 mais zero 𝑘, que podemos escrever na forma de coordenadas como zero, quatro, zero. Agora determinamos as coordenadas de 𝐕 externo 𝐖. Vamos limpar algum espaço e utilizá-los para determinar 𝐔 interno 𝐕 externo 𝐖 e 𝐔 externo 𝐕 externo 𝐖.

Ok, o que é 𝐔 interno 𝐕 externo 𝐖? Bem, são nos dadas as coordenadas de 𝐔 na questão. 𝐔 tem coordenadas um, zero, dois. E, claro, acabámos de descobrir as coordenadas do 𝐕 externo 𝐖. São zero, quatro e zero. E determinar o produto interno de dois vetores na forma de coordenadas é muito simples. É o produto das coordenadas em 𝑥 mais o produto das coordenadas em 𝑦 mais o produto das coordenadas em 𝑧.

E sempre que uma coordenada de 𝐔 é diferente de zero, a coordenada correspondente de 𝐕 externo 𝐖 é zero. Esta soma é muito fácil. É zero mais zero mais zero, que é zero. Antes de prosseguirmos para determinar o produto externo de 𝐔 e 𝐕 externo 𝐖, vamos tomar um momento para considerar a interpretação geométrica do produto interno de 𝐔 e 𝐕 externo 𝐖 ser zero.

O produto escalar de dois vetores 𝐴 e 𝐵 é zero quando 𝐴 e 𝐵 são perpendiculares. Então, 𝐔 ponto 𝐕 externo 𝐖 ser zero diz-nos que 𝐔 e 𝐕 externo 𝐖 são perpendiculares. O vetor 𝐕 externo 𝐖 é perpendicular ao vetor 𝐕 e ao vetor 𝐖. De facto, poderá saber que pelo menos quando 𝐕 externo 𝐖 é diferente de zero, 𝐕 externo 𝐖 é a normal ao plano que contém os vetores 𝐕 e 𝐖.

Como 𝐔 é perpendicular à normal ao plano que contém 𝐕 e 𝐖, 𝐔 deve estar neste plano. E, de facto, podemos ver pela questão que as coordenadas em 𝑦 de 𝐔, 𝐕 e 𝐖 são todas zero. E, portanto, 𝐔, 𝐕 e 𝐖 estão todas no plano 𝑥O𝑧. Poderíamos ter raciocinado que 𝐔 interno 𝐕 externo 𝐖 é zero sem fazer nenhum cálculo apenas utilizando o facto de os três vetores 𝐔, 𝐕 e 𝐖 estarem no mesmo plano.

Voltaremos a este ponto no final do vídeo, mas primeiro vamos calcular 𝐔 externo 𝐕 externo 𝐖. Este é apenas o produto externo de dois vetores. Só que um dos vetores passa a ser o produto externo de dois outros vetores. Se isto lhe faz mais feliz, poderia simplesmente chamar 𝐕 externo 𝐖 𝐴 e a seguir procuraríamos apenas fazer o produto externo de 𝐔 e 𝐴.

Calcularemos isto utilizando determinantes como anteriormente, com os vetores unitários 𝑖, 𝑗 e 𝑘 na primeira linha, as coordenadas de 𝐔 na segunda linha e as coordenadas de 𝐕 externo 𝐖 ou 𝐴 na terceira linha. Mais uma vez, expandimos o determinante ao longo da primeira linha e calculamos cada determinante dois-por-dois da maneira habitual.

E escrevendo em coordenadas, vemos que o produto externo de 𝐔 e 𝐕 externo 𝐖 tem coordenadas menos oito, zero, quatro. Então, agora determinamos o produto interno de 𝐔 e 𝐕 externo 𝐖 e o produto externo de 𝐔 e 𝐕 externo 𝐖. Agora, prometi mais algumas interpretações geométricas destas coisas. 𝐔 interno 𝐕 externo 𝐖 é chamado o produto interno triplo de 𝐔, 𝐕 e 𝐖. E 𝐔 externo 𝐕 externo 𝐖 é o produto externo triplo de 𝐔, 𝐕 e 𝐖.

Ambos são produtos triplos porque envolvem três vetores 𝐔, 𝐕 e 𝐖. Mas 𝐔 interno 𝐕 externo 𝐖 retorna um escalar, por outras palavras, um número, no nosso caso zero, enquanto 𝐔 externo 𝐕 externo 𝐖 retorna um vetor, no nosso caso o vetor com coordenadas menos oito, zero, quatro. O produto interno triplo tem uma boa interpretação geométrica.

Assim como a norma do vetor 𝐕 externo 𝐖 é a área do paralelogramo com os lados 𝐕 e 𝐖, o módulo do produto interno triplo de 𝐔, 𝐕 e 𝐖 é o volume do paralelepípedo 3D com arestas 𝐔, 𝐕, e 𝐖. E assim como o produto externo de dois vetores ser zero ou com norma zero diz-nos que estes dois vetores são paralelos ou estão na mesma reta.

O produto interno triplo de três vetores diz-nos que os três vetores estão no mesmo plano. O produto externo triplo é um pouco mais difícil de interpretar geometricamente. mas como é perpendicular a 𝐕 externo 𝐖, pode convencer-se com um pouco de trabalho que deve estar no mesmo plano que 𝐕 e 𝐖. E com um pouco mais de trabalho, pode escrevê-lo explicitamente como uma combinação linear dos vetores 𝐕 e 𝐖.

Uma última coisa a notar aqui é que o produto externo de 𝐔 e 𝐕 externo 𝐖 não é o mesmo que o produto 𝐔 externo 𝐕 e 𝐖. Onde os parênteses estão realmente importa aqui. O termo técnico para descrever este fenômeno é que o produto externo de vetores não é associativo. Isto marca a sua diferença não apenas em relação à multiplicação normal de números reais, mas também em relação à multiplicação de matrizes, que é associativa, mesmo que não seja comutativa.

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