Vídeo: Encontrando as Assíntotas Verticais e Horizontais de uma Função Racional

Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função 𝑓(𝑥) = (3𝑥² − 1)/(5𝑥² + 3).

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Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado menos um sobre cinco 𝑥 ao quadrado mais três.

O que é uma assíntota vertical de uma função? É uma reta vertical em que o gráfico da função fica mais e mais próximo. E existem várias maneiras que a função pode fazer isso. A função poderia se aproximar do infinito da esquerda e menos infinito da direita ou vice-versa. Ou os limites do lado esquerdo e direito podem ser infinitos. Nesse caso, o próprio limite seria infinito ou menos infinito. Ou um dos limites unilaterais pode ser finito onde o outro é infinito.

Mais uma vez, existem várias maneiras pelas quais isso pode acontecer para uma função geral. Mas nós temos um tipo especial de função, uma função racional. E as assíntotas verticais das funções racionais provêm de zeros (raízes) do denominador. Isso não quer dizer que todo zero de um denominador de uma função racional fornece uma assíntota vertical. Por exemplo, a função racional 𝑥 menos um sobre 𝑥 menos um tem um zero em 𝑥 igual a um. Mas o gráfico desta função é apenas a linha reta 𝑦 é igual a um com um ponto, o ponto com a coordenada 𝑥 removida. Mas a linha 𝑥 igual a um não é uma assíntota vertical dessa função. Assim, um zero do denominador não garante uma assíntota. Mas se houver uma assíntota, definitivamente virá de um zero do denominador.

Quais são os zeros do nosso denominador, cinco 𝑥 ao quadrado mais três? Subtraindo três de ambos os lados e dividindo por cinco, vemos que 𝑥 ao quadrado é um número negativo, menos três quintos. E não há nenhum número real cujo quadrado seja negativo. E assim, esta equação não tem soluções reais. E assim não há assíntotas verticais.

Passamos a encontrar quaisquer assíntotas horizontais que possam existir. Uma assíntota horizontal é uma linha horizontal que o gráfico da função se aproxima. Há menos casos a serem considerados para assíntotas horizontais. A reta 𝑦 igual a 𝐿 é uma assíntota horizontal do grafo de 𝑓 de 𝑥, se o limite de 𝑓 de 𝑥, quando 𝑥 se aproxima do menos infinito, é 𝐿 ou o limite de 𝑓 de 𝑥, quando 𝑥 se aproxima do infinito, é 𝐿. Bem, não há limite para o número de assíntotas verticais que um gráfico de função poderia ter. Ele só pode ter duas assíntotas horizontais, uma conforme 𝑥 se aproxima do infinito e a outra conforme 𝑥 se aproxima do menos infinito.

Para encontrar quaisquer assíntotas horizontais, portanto, encontramos o limite de 𝑓 de 𝑥 conforme 𝑥 se aproxima do menos infinito e o limite de 𝑓 de 𝑥 conforme 𝑥 se aproxima do infinito. Nós usamos a definição de 𝑓 de 𝑥. O truque para calcular esse limite é dividir o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥 que você pode ver. Nesse caso, 𝑥 ao quadrado. Depois de simplificar, obtemos o limite de três menos um sobre 𝑥 ao quadrado sobre cinco mais três sobre 𝑥 ao quadrado quando 𝑥 se aproxima de menos infinito. E usando o fato de que o limite de um quociente é o quociente do limite, desde que o valor do limite no denominador seja diferente de zero, e também que o limite de uma soma ou diferença seja a soma ou a diferença dos limites, acabamos com isso.

O limite da função constante três, e conforme 𝑥 se aproxima de menos infinito, é apenas três. E da mesma forma, o limite da função constante cinco, conforme 𝑥 se aproxima de menos infinito, é apenas cinco. Então, podemos nos livrar desses sinais de limite. E os outros limites, o limite de um sobre 𝑥 quadrado à medida que 𝑥 se aproxima de menos infinito e o limite de três sobre 𝑥 quadrado à medida que 𝑥 se aproxima de menos infinito, são ambos zero. Ficamos apenas com três sobre cinco. E assim, usando nosso fato sobre assíntotas horizontais, a reta 𝑦 é igual a três sobre cinco é uma assíntota horizontal do gráfico de 𝑓 de 𝑥. Esse foi o limite de 𝑓de 𝑥, à medida que 𝑥 se aproxima de menos infinito. E sobre o limite de 𝑓 de 𝑥, quando 𝑥 se aproxima apenas do infinito? Nós apenas substituímos todas as referências ao infinito negativo pelo infinito positivo. E vemos que recebemos a mesma resposta, três quintos. Então, não recebemos uma segunda assíntota horizontal. Há apenas uma com equação 𝑦 igual a três quintos.

Esta é, portanto, nossa resposta final. A função não tem assíntota vertical e uma assíntota horizontal em 𝑦 é igual a três quintos. Conseguimos fazer tudo isso sem representar graficamente a função 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado menos um sobre cinco 𝑥 ao quadrado mais três. Agora você poderia gostar de representar graficamente a função para ver que a resposta que recebemos está correta.

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