O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo Pop: O Problema Mais Difícil do Teste Mais Difícil

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

O Problema Mais Difícil do Teste Mais Difícil

09:36

Transcrição do vídeo

Vocês sabem sobre o Putnam? É um concurso de matemática para estudantes de graduação. É um teste de seis horas que tem apenas 12 perguntas divididas em duas sessões diferentes de três horas. E cada uma dessas perguntas é pontuada de um a 10. Portanto, a pontuação mais alta possível seria 120.

E, no entanto, apesar do fato de que os únicos estudantes que fazem isso todos os anos são aqueles que claramente já se interessam por matemática, a pontuação média tende a ser de um ou dois. Então é um teste difícil. E em cada uma dessas seções de seis perguntas, os problemas tendem a ficar mais difíceis à medida que você passa de uma para seis. Embora, é claro, a dificuldade esteja nos olhos de quem vê.

Mas o problema da cinco e da seis é que, apesar de estarem posicionadas como os problemas mais difíceis em um teste famoso, muitas vezes, essas são as que têm as soluções mais elegantes disponíveis. Alguma mudança sutil de perspectiva que a transforma de muito desafiadora para factível.

Aqui, vou compartilhar com você um problema que surgiu como a sexta pergunta em um desses testes há algum tempo. E aqueles de vocês que seguem o canal, sabem disso, em vez de simplesmente pular direto para a solução. O que, nesse caso, seria surpreendentemente curta. Sempre que possível, gosto de orientá-lo sobre como você pode ter encontrado a solução, de onde vem o insight. Ou seja, faço um vídeo mais sobre o processo de solução de problemas do que sobre o problema usado para exemplificá-lo.

Enfim, aqui está a pergunta. Se você escolher quatro pontos aleatórios em uma esfera e considerar o tetraedro com esses pontos como seus vértices, qual é a probabilidade de que o centro da esfera esteja dentro desse tetraedro? Continue. Tome um momento e tente digerir esta pergunta. Você pode começar a pensar sobre qual desses tetraedros contém o centro da esfera, quais não, como você pode distinguir sistematicamente os dois. E como você aborda um problema como esse, certo? Por onde você começa?

Bem, geralmente é uma boa ideia pensar em casos mais simples. Então, vamos dividir as coisas em duas dimensões, onde você escolhe três pontos aleatórios em um círculo. E é sempre útil nomear coisas. Então, vamos chamar esses caras de 𝑃 um, 𝑃 dois e 𝑃 três.

A questão é: qual é a probabilidade do triângulo formado por esses pontos conter o centro do círculo? Acho que você concorda que é muito mais fácil visualizar agora. Mas ainda é uma pergunta difícil. Então, novamente, você pergunta: existe uma maneira de simplificar o que está acontecendo, chegar a algum tipo de posição a partir da qual podemos construir?

Bem, talvez você imagine fixar 𝑃 um e 𝑃 dois no lugar e deixar apenas o terceiro ponto variar. E quando você faz isso e brinca com isso em sua mente, pode perceber que há uma região especial, um certo arco. Onde quando 𝑃 três está nesse arco, o triângulo contém o centro, caso contrário não. Especificamente, se você desenhar linhas de 𝑃 um a 𝑃 dois pelo centro, essas linhas dividirão o círculo em quatro arcos diferentes. E se 𝑃 três estiver em um dos lados opostos de 𝑃 um e 𝑃 dois, o triângulo terá o centro. Se estiver em qualquer um dos outros arcos, não há sorte.

Assumimos aqui que todos os pontos do círculo são igualmente prováveis. Então, qual é a probabilidade de 𝑃 três estar nesse arco? É o comprimento desse arco dividido pelo comprimento total do círculo, a proporção do círculo que esse arco compõe. Então, qual é essa proporção?

Obviamente, isso depende de onde você coloca os dois primeiros pontos. Quero dizer, se eles estão a 90 graus um do outro, o arco relevante é um quarto do círculo. Mas se esses dois pontos estivessem mais afastados, essa proporção seria algo mais próximo da metade. E se eles estivessem realmente próximos, essa proporção se aproxima de zero.

Então pense sobre isso por um momento. 𝑃 um e 𝑃 dois são escolhidos aleatoriamente, com todos os pontos do círculo sendo igualmente prováveis. Então, qual é o tamanho médio desse arco relevante? Talvez você imagine fixar 𝑃 um no lugar e apenas considerar todos os lugares em que 𝑃 dois podem estar. Todos os ângulos possíveis entre essas duas linhas, todos os ângulos de zero a 180 graus são igualmente prováveis. Portanto, toda proporção entre zero e 0.5 é igualmente provável. E isso significa que a proporção média é de 0.25.

Portanto, se o tamanho médio desse arco é um quarto do círculo completo, a probabilidade média de que o terceiro ponto caia nele é de um quarto. E isso significa que a probabilidade geral de que nosso triângulo contenha o centro é de um quarto. Mas podemos estender isso para o caso tridimensional?

Se você imaginar três desses quatro pontos sendo fixados no lugar, em quais pontos da esfera o quarto ponto pode estar, de modo que o tetraedro que eles formam contenha o centro da esfera? Assim como antes, vamos seguir em frente e desenhar algumas linhas de cada um desses três pontos fixos no centro da esfera. E aqui, também é útil se desenharmos alguns planos que são determinados por qualquer par dessas linhas.

Agora, o que esses planos fazem, você pode notar, é dividir a esfera em oito seções diferentes, cada uma das quais é uma espécie de triângulo esférico. E nosso tetraedro só conterá o centro da esfera se o quarto ponto estiver no triângulo esférico do lado oposto aos três primeiros.

Agora, diferentemente do caso 2D, é muito difícil pensar no tamanho médio desta seção, pois permitimos variar os três pontos iniciais. Aqueles de vocês com algum cálculo multivariável em seu currículo podem pensar: “Vamos tentar uma integral de superfície”. E, por todos os meios, retire um pouco de papel e tente. Mas não é fácil. E, claro, deve ser difícil. Quero dizer, este é o sexto problema em um Putnam. O que você espera? E o que você faz com isso?

Bem, uma coisa que você pode fazer é voltar ao caso bidimensional e contemplar se existe uma maneira diferente de pensar na mesma resposta que obtivemos. Essa resposta, um quarto, parece suspeitamente limpa. E levanta a questão do que esse quatro representa.

Uma das principais razões pelas quais eu queria fazer um vídeo sobre esse problema específico é que o que está prestes a acontecer traz consigo uma lição mais ampla para a resolução de problemas matemáticos. Pense nessas duas linhas que traçamos para 𝑃 um e 𝑃 dois até a origem. Elas tornaram o problema muito mais fácil de se pensar. E, em geral, sempre que você adiciona algo à configuração do problema que facilita conceitualmente. Veja se você pode reformular a pergunta inteira em termos daquelas coisas que você acabou de adicionar.

Nesse caso, em vez de pensar em escolher três pontos aleatoriamente, comece dizendo: “Escolha duas linhas aleatórias que passam pelo centro do círculo”. Para cada linha, há dois pontos possíveis aos quais poderia corresponder. Então, basta jogar uma moeda para cada um para escolher qual dos extremos será 𝑃 um. E da mesma forma, para o outro, qual extremo será 𝑃 dois.

Escolher uma linha aleatória e lançar uma moeda como esta é a mesma coisa que escolher um ponto aleatório no círculo. Parece um pouco complicado no começo. Mas a razão para pensar sobre o processo aleatório dessa maneira é que as coisas estão prestes a se tornar mais fáceis. Ainda pensaremos nesse terceiro ponto, 𝑃 três, como sendo apenas um ponto aleatório no círculo. Mas imagine que ele foi escolhido antes de você fazer os dois lançamentos de moedas. Porque você vê, uma vez que as duas linhas e o terceiro ponto são gravados em pedra, há apenas quatro possibilidades de onde 𝑃 um e 𝑃 dois podem acabar com base nesses lançamentos de moedas. Cada um sendo igualmente provável. Mas um e apenas um desses quatro resultados deixa 𝑃 um e 𝑃 dois no lado oposto do círculo como 𝑃 três, com o triângulo que eles formam contendo o centro. Portanto, não importa onde essas duas linhas terminem e onde 𝑃 três termina, há sempre um quarto de chance da moeda lançada nos deixar com o triângulo que contém o centro.

Agora isso é muito sutil. Apenas reformulando a forma como pensamos sobre o processo aleatório de escolha de pontos, a resposta de um quarto surgiu de uma maneira muito diferente da que era antes. E importante, esse estilo de argumento generaliza perfeitamente em três dimensões. Novamente, em vez de começar escolhendo quatro pontos aleatórios, imagine escolher três linhas aleatórias através do centro da esfera e, em seguida, algum ponto aleatório para 𝑃 quatro. Essa primeira linha passa pela esfera em dois pontos. Então jogue uma moeda para decidir qual desses dois pontos será 𝑃 um.

Da mesma forma, para cada uma das outras linhas, jogue uma moeda para decidir onde 𝑃 dois e 𝑃 três terminam. Agora, existem oito resultados igualmente prováveis ​​desses lançamentos de moedas. Mas um e apenas um deles vai colocar 𝑃 um, 𝑃 dois e 𝑃 três no lado oposto do centro como 𝑃 quatro. Portanto, um e apenas um desses oito resultados igualmente prováveis ​​nos dão um tetraedro que contém o centro.

Novamente, é meio sutil como isso aparece para nós. Mas isso não é elegante? Esta é uma solução válida para o problema. Mas é certo que a maneira como afirmei até agora se baseia em alguma intuição visual. Se você está curioso para saber como escrever de uma maneira que não depende da intuição visual, deixei um link na descrição para um desses escritos na linguagem da álgebra linear, se você estiver curioso. E isso é bastante comum em matemática, onde ter a percepção chave e entendimento é uma coisa. Mas ter a base relevante para articular que o entendimento mais formal é quase um músculo completamente separado. Um que os alunos de graduação em matemática passam a maior parte do tempo construindo.

Mas o principal argumento aqui não é a solução em si, mas como você pode encontrar esse insight importante se ele foi colocado à sua frente e você foi deixado para resolvê-lo. Ou seja, continue perguntando versões mais simples da pergunta até conseguir algum tipo de apoio. E quando você o fizer, se houver algum tipo de construção adicional que prove ser útil, veja se é possível reformular toda a pergunta em torno dessa nova construção.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.