Vídeo: Desenhando Gráficos de Circunferências

Aprenda sobre a forma geral da equação de uma circunferência (𝑥 - 𝑎) ² + (𝑦 - 𝑏) ² = 𝑟², onde (𝑎, 𝑏) é o ponto de coordenadas do centro da circunferência e 𝑟 é o seu raio. Utilize esse conhecimento para ajudar a desenhar gráficos de circunferências, de acordo com a equação.

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Desenhando Circunferências

A equação para uma circunferência sempre estará na forma 𝑥 menos 𝑎 todos ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 todos ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado, onde o centro da circunferência é 𝑎, 𝑏 e o raio da circunferência é 𝑟. Então, para poder representar graficamente qualquer circunferência, precisamos colocá-la nesta forma padrão para a equação da circunferência. Vamos apenas tirar um segundo novamente para ver o que é o centro, o raio e como eles se relacionam com a equação. Assim, podemos ver que a equação tem 𝑥 menos 𝑎, mas o centro é apenas 𝑎. Então, qualquer que seja o sinal dentro dos parênteses, vamos trocá-lo para nos dar a coordenada 𝑥 do centro. E o mesmo com a coordenada 𝑦. O 𝑥 está sempre ao lado do 𝑥, surpreendentemente. E a coordenada 𝑦 está sempre ao lado do 𝑦. Então, nós olhamos para o centro lá. Agora, tomando um segundo para olhar o raio, sempre nos é dado o raio na equação como 𝑟 ao quadrado, mas o raio é apenas 𝑟. Então, seja o que for que nos seja dado na equação, devemos resolver uma raiz quadrada para saber qual é o raio.

Então, olhando para este gráfico, devemos representar graficamente 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a um. Então você pode ver que não está exatamente na forma que queremos, para poder desenhá-la. Mas podemos ver que não estamos adicionando ou tirando nada para 𝑥 ou 𝑦. Então, na verdade, poderíamos reescrevê-la como 𝑥 menos zero todos ao quadrado mais 𝑦 menos zero todos ao quadrado é igual a um. Isso significa exatamente o mesmo que a equação que nos foi dada antes. Então isso nos diz que o centro deste gráfico será zero, zero. E o raio é a raiz quadrada do que recebemos na pergunta. Bem, a raiz quadrada de um é apenas um, então o raio é um.

Este é uma circunferência muito especial; ela é chamada de circunferência unitária. E vamos começar a desenhar ela. Então eu vou fazer um ponto onde o centro é. E sabemos que o raio é um, então isso significa que podemos nos afastar um do centro em todas as direções. Primeiro de tudo, para cima, para baixo, para a esquerda e depois para a direita. Então, quando estamos desenhando, precisamos fazer os cantos de cada vez. Então comece de onde você quiser. Eu gosto de começar do topo, e depois passo para o próximo ponto, e depois trabalho com o resto. Bem, veja, isso não está ótimo, então eu vou pegar uma que eu fiz antes, e ela deve parecer um pouco com isso. Então, obviamente, não conseguiremos desenhar circunferências perfeitas. Portanto, para que a resposta seja correta, basta ter os pontos corretos para o centro e o raio, e também para alguma tentativa de circunferência.

Então agora vamos fazer um gráfico desta circunferência 𝑥 mais dois todos ao quadrado mais 𝑦 menos dois todos ao quadrado é igual a dezesseis. Então, podemos ver claramente que o centro vai ser menos dois em 𝑥, pois devemos trocar o sinal. E dois para a coordenada 𝑦 novamente porque devemos trocar o sinal. E o raio será a raiz quadrada do número que nos é dado na questão. Então a raiz quadrada de dezesseis, que sabemos que é quatro. Então, primeiro, marcaremos o centro, que sabemos ser menos dois e dois. E então nós vamos contar quatro em cada direção. Então, primeiro de tudo, vamos contar quatro e marcar. Então vamos descer quatro, dos dois esperamos que sejam dois negativos. Nós vamos para a esquerda quatro, então isso será em seis negativos. E quatro à direita, então isso será dois. E, em seguida, juntando-se de um ponto a outro com uma curva, indo todo o caminho da volta. Você deveria ter algo assim. Agora, para nossa última pergunta, vamos completar quadrado com nosso conhecimento de circunferência para poder traçar uma.

Portanto, devemos representar graficamente a circunferência 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais seis 𝑥 menos vinte 𝑦 mais oitenta e quatro. Se você se lembrar, nós temos que ter isto na forma 𝑥 menos 𝑎 tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑏 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. Então temos um pouco de trabalho a fazer. A primeira coisa que queremos fazer é colocar os 𝑥s próximos um do outro e colocar os 𝑦s próximos um do outro. E fazendo isso. Podemos olhar para a forma geral para a equação de uma circunferência, e podemos ver que isso nos traz uma lembrança de algo que parece quando completamos um quadrado. Então, vamos completar o quadrado para os valores 𝑥 e 𝑦 ​​individualmente. Primeiro de tudo, 𝑥.

Lembre-se, precisamos de metade do coeficiente do 𝑥, o que será três. Então, isso nos dará 𝑥 mais três todos ao quadrado e vamos subtrair três ao quadrado, que sabemos que é nove. E nós terminamos com os 𝑥s. Então, indo para os 𝑦s, vamos fazer exatamente a mesma coisa. Nós vamos colocar 𝑦 menos metade de vinte, então dez, todos ao quadrado. E vamos subtrair dez quadrados, o que sabemos que é cem. E finalmente, de antes, temos mais oitenta e quatro, igual a zero. Então, juntando os números, temos menos cento e nove mais oitenta e quatro, o que nos dá uma resposta negativa de vinte e cinco. E então, se adicionarmos vinte e cinco de ambos os lados, obteremos 𝑥 mais três todos ao quadrado mais 𝑦 menos dez, todos ao quadrado é igual a vinte e cinco.

Agora nós fizemos a parte difícil. Tudo o que precisamos fazer é voltar ao que sabemos sobre os gráficos de circunferências. Então, precisamos encontrar o centro, o que podemos encontrar trocando os sinais em cada um dos números entre parênteses. Portanto, a coordenada 𝑥 será menos três e a coordenada 𝑦 será dez. E então o raio será a raiz quadrada de vinte e cinco, que sabemos ser igual a cinco. E agora, precisamos apenas representá-la graficamente como fizemos antes. Então, marcaremos o centro como menos três, dez. E contaremos cinco para cima, para baixo, para a esquerda e para a direita, que nesses eixos serão dois quadrados e meio. E, em seguida, juntando-se como fizemos antes, devemos ter uma circunferência bonita que parece um pouco com isso.

Então, como eu disse, esse é provavelmente um dos tipos mais difíceis de perguntas que você terá quando solicitado a representar graficamente uma circunferência. Então, neste caso, tudo o que precisamos fazer é, embora pareça bastante assustador, usar o conhecimento que já tínhamos de completar o quadrado. Nos casos anteriores, precisávamos apenas colocá-la em sua forma geral, para que pudéssemos encontrar facilmente o centro e o raio da circunferência, para poder representá-la.

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