Vídeo: Encontrando a Primeira Derivada de uma Função Exponencial com uma Base Inteira

Se 𝑦 = −3 × 2^𝑥, determine 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

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Transcrição do vídeo

Se 𝑦 for menos três vezes dois elevado a 𝑥, determine 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥.

Queremos encontrar 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. E como 𝑦 é menos três vezes dois elevado a 𝑥, isso significa derivar menos três vezes dois elevado a 𝑥 em relação a 𝑥. Como a derivada de um número vezes uma função é esse número vezes a derivada da função, tudo o que temos a fazer agora é derivar dois elevado a 𝑥 em relação a 𝑥.

Como podemos derivar a função exponencial com base dois, dois elevado a 𝑥? Espero que saibamos sobre o número 𝑒, cuja propriedade especial é que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 em relação a 𝑥 é 𝑒 elevado a 𝑥. Sempre que derivamos uma expressão, em que a variável que estamos derivando em relação a — no nosso caso 𝑥 — aparece em um expoente, esse é um fato que precisamos usar. Isso significa pegar qualquer termo exponencial que queremos diferenciar e reescrevê-lo para que sua base seja 𝑒.

Como fazemos isso para dois elevado a 𝑥? Bem, podemos reescrever dois como 𝑒 elevado ao logaritmo natural de dois. E então, usando uma de nossas propriedades de potências, obtemos dois elevado a 𝑥 é 𝑒 elevado ao logaritmo natural de dois vezes 𝑥. Nós fizemos a base 𝑒. Agora, como isso ajuda? Bem, podemos aplicar a regra da cadeia.

Se deixarmos 𝑧 igual ao logaritmo natural de dois vezes 𝑥, precisamos encontrar menos três vezes a derivada em relação a 𝑥 de 𝑒 em relação a 𝑧. Agora aplicando a regra da cadeia com 𝑓 igual a 𝑒 elevado a 𝑧, obtemos menos três vezes 𝑑 por 𝑑𝑧 de 𝑒 elevado a 𝑧 vezes 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥.

Vamos limpar algum espaço. Aqui, acabei de copiar a última linha de trabalho. Quanto é 𝑑 por 𝑑𝑧 de 𝑒 elevado a 𝑧? Bem, assim como 𝑑 por 𝑑𝑥 de 𝑒 elevado a 𝑥 é 𝑒 elevado a 𝑥 ou 𝑑 por 𝑑𝑞 de 𝑒 elevado a 𝑞 é 𝑒 elevado a 𝑞, 𝑑 por 𝑑 𝑧 de 𝑒 elevado a 𝑧 é 𝑒 elevado a 𝑧. E sobre 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥? Bem, 𝑧 é o logaritmo natural de dois vezes 𝑥. Então, 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥 é apenas o logaritmo natural de dois.

Nós terminamos? Bem, não completamente, nós temos 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 em termos de 𝑧 e preferimos que seja em termos de 𝑥. Podemos substituir o logaritmo natural de duas vezes 𝑥 elevado a 𝑧. E agora, temos nossa resposta escrita em termos de 𝑥. Mas podemos fazer ainda melhor.

Anteriormente, mostramos que poderíamos reescrever dois elevado a 𝑥 com uma base de 𝑒 com 𝑒 elevado ao logaritmo natural de duas vezes 𝑥. Agora, podemos fazer o inverso — reescrevendo 𝑒 elevado ao logaritmo natural de duas vezes 𝑥 como dois elevado a 𝑥. E assim, nossa resposta final é menos três vezes dois elevado a 𝑥 vezes o logaritmo natural de dois.

Em geral, se você quiser derivar uma expressão envolvendo dois elevado a 𝑥 ou três elevado a 𝑥 ou até como você pode ver mais tarde 𝑥 elevado a 𝑥, você deve primeiro escrever esse exponencial com uma base de 𝑒. Isso provavelmente envolverá o uso da função de logaritmo natural e algumas propriedades de potências. Tendo escrito todos os exponenciais com uma base de 𝑒, você pode então derivar usando a regra da cadeia.

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