Vídeo: Mais sobre Proporcionalidade Direta e Inversa

Aprenda a resolver problemas de proporcionalidade direta e inversa em que uma variável é diretamente ou inversamente proporcional ao quadrado, cubo ou outra potência ou raiz de outra variável (por exemplo, se 𝑦 varia inversamente com ∛𝑥).

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Transcrição do vídeo

Antes de assistir a este vídeo, já deve estar familiarizado com a proporcionalidade direta simples. Veremos relações em que uma variável é diretamente proporcional a um quadrado, cubo, raiz ou outra potência de outra variável. E também veremos relações de proporcionalidade inversa.

Primeiro, porém, um rápido resumo dos fundamentos da proporcionalidade direta. Isto significa que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. Mas também pode encontrar frases como 𝑦 varia proporcionalmente com 𝑥 ou 𝑦 varia diretamente com 𝑥 ou até 𝑦 é um simples múltiplo de 𝑥. E podemos apresentar isso numa equação como esta: 𝑦 é igual a 𝑘 vezes 𝑥, onde 𝑘 é apenas uma constante, um número. E chamamos 𝑘 de constante de proporcionalidade ou constante de variação. E se representássemos graficamente 𝑦 em ordem a 𝑥, parecer-se-ia sempre com uma reta. E passaria sempre pela origem. Portanto, se o gráfico não for assim, não será um exemplo de proporcionalidade direta. Vamos ver rapidamente uma questão que envolve proporcionalidade direta.

Por exemplo, 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥. Quando 𝑥 é igual a cinco, 𝑦 é igual a 12. Determine o valor de 𝑥 quando 𝑦 é igual a sete.

Portanto, sempre começamos uma questão como esta que diz se 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥, então 𝑦 é algo vezes 𝑥. Esta é uma equação que encapsulará esta relação entre 𝑦 e 𝑥. E a questão diz-nos especificamente que quando 𝑥 é igual a cinco, 𝑦 é igual a 12. Portanto, podemos substituir estes valores em 𝑦, 𝑥, a fim de calcular o valor de 𝑘. Então 12 é igual a 𝑘 vezes cinco. Agora, se eu dividir os dois membros da minha equação por cinco, posso obter 𝑘 sozinho no segundo membro. Portanto, dividir por cinco e depois anular cinco no numerador e no denominador no segundo membro deixa-me com apenas 𝑘. E 𝑘 neste caso é igual a 12 em cinco.

Então, agora eu sei qual é a equação que encapsula a relação entre 𝑦 e 𝑥: 𝑦 igual a 12 sobre cinco vezes 𝑥. E posso utilizar esta equação para descobrir o valor de 𝑥 quando 𝑦 é igual a sete. Portanto, sete é igual a 12 em cinco vezes 𝑥. Agora, se eu multiplicar os dois membros por cinco, isso significa que posso anular cinco no segundo membro. E, se dividir os dois membros por 12, posso anular os 12 do segundo membro. E isso significa que 𝑥 seria 35 sobre 12. Portanto, a minha resposta seria quando 𝑦 igual a sete, então 𝑥 é igual a 35 sobre 12.

Isso resume a proporcionalidade direta simples. Mas, às vezes, uma variável é diretamente proporcional ao quadrado, ao cubo ou a alguma outra potência ou raiz da outra. Por exemplo, se eu tiver um cubo que é 𝑥 por 𝑥 por 𝑥 e fizer o dobro do comprimento de cada lado, a área da superfície não será duplicada. Será multiplicado por dois ao quadrado. Então, será multiplicado por quatro. E o volume não seria duplicado. Seria multiplicado por um fator de dois ao cubo, ou seja, oito vezes.

Portanto, se chamarmos a área da superfície 𝐴 e o volume 𝑉, a área da superfície é diretamente proporcional ao quadrado do comprimento lateral, e o volume será diretamente proporcional ao cubo do comprimento lateral. De facto, a constante de proporcionalidade para a área seria seis e para o volume seria um. Portanto, há proporcionalidade direta, mas não é tão simples como vimos antes. Com a área, a área é diretamente proporcional ao quadrado do comprimento lateral. E com o volume, o volume é diretamente proporcional ao cubo do comprimento lateral.

Agora, se eu representar a área em função do comprimento lateral do cubo, obteremos um gráfico que se parece com isto. E claramente, esta não é uma relação linear, embora passe pela origem. Portanto, podemos dizer com segurança que a área não é diretamente proporcional ao comprimento lateral. Mas se traçar a área como função do quadrado do comprimento lateral, esta é uma relação representada por uma reta e também passa pela origem. Portanto, a área é diretamente proporcional ao quadrado do comprimento lateral. Então, vamos ver algumas questões.

Temos três situações aqui. E queremos escrever cada uma destas relações numa equação que envolva 𝑘, a constante de proporcionalidade. Portanto, no primeiro, 𝑦 varia diretamente como o quadrado de 𝑥. Agora podemos escrever que 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥 ao quadrado. E como uma equação, isto significa que 𝑦 é igual a constante vezes 𝑥 ao quadrado. Agora, o segundo é 𝑦 é diretamente proporcional à raiz cúbica de 𝑥. Então, podemos escrever o símbolo assim: 𝑦 é diretamente proporcional a. Agora a raiz cúbica de 𝑥 é basicamente escrita assim. E como uma equação, 𝑦 é igual a uma constante vezes a raiz cúbica de 𝑥. E o último, 𝑦 varia diretamente com o cubo de 𝑥. Bem, 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥 ao cubo. E na sua forma de equação, escrevemos que 𝑦 é igual a uma constante vezes 𝑥 ao cubo.

Agora, 𝑦 varia diretamente com 𝑥 elevado a cinco. Utilizando 𝑘 para representar a constante de proporcionalidade, escreva uma equação para 𝑦 em termos de 𝑥.

Bem, se 𝑦 varia diretamente com 𝑥 elevado a cinco, podemos escrever 𝑦 é diretamente proporcional a 𝑥 elevado a cinco. E na forma de equação, isso significa que 𝑦 é igual à constante de proporcionalidade, 𝑘 no nosso caso, vezes 𝑥 elevado a cinco. Portanto, esta questão é tão simples quanto escrever esta equação, nesta forma.

E agora temos uma questão que nos diz que 𝑦 é diretamente proporcional ao quadrado de 𝑥. E quando 𝑦 é 32, 𝑥 é igual a quatro. E temos que encontrar o valor de 𝑦 quando 𝑥 for 10.

Portanto, como sempre, comece por escrever a natureza da relação proporcional: 𝑦 é diretamente proporcional ao quadrado de 𝑥. E isso significa que 𝑦 é igual a uma constante de proporcionalidade vezes o quadrado de 𝑥. E a questão dizia-nos que quando 𝑥 é igual a quatro, então 𝑦 é igual a 32. Portanto, se colocarmos estes valores nesta equação, seremos capazes de calcular o valor de 𝑘. Então, 𝑦 é 32 e 𝑥 é quatro. E 32 é igual a 𝑘 vezes quatro ao quadrado, o que significa que 32 é igual a 𝑘 vezes 16. Portanto, se eu dividir os dois membros da minha equação por 16, posso isolar 𝑘 no segundo membro, o que significa que 𝑘 é igual a 32 dividido por 16, que é dois.

Então, agora posso escrever a minha equação: 𝑦 igual a duas vezes 𝑥 ao quadrado. E agora, temos que utilizar esta equação para determinar o valor de 𝑦 quando 𝑥 é igual a 10. Isso significa que 𝑦 será igual a duas vezes 10 ao quadrado, que é 𝑦 igual a duas vezes 100. Então, a nossa resposta é quando 𝑥 é igual a 10 e 𝑦 é igual a 200.

Nesta questão, somos informados de que varia 𝑦 diretamente como a raiz cúbica de 𝑥. E também nos disseram que quando o valor de 𝑥 é oito, o valor de 𝑦 é 10. Portanto, precisamos de determinar o valor de 𝑥 quando 𝑦 é igual a oito e um terço.

Então, novamente, vamos escrever esta afirmação da proporcionalidade: 𝑦 é diretamente proporcional à raiz cúbica de 𝑥. E na sua forma de equação, isso significa que 𝑦 é igual à constante de proporcionalidade vezes a raiz cúbica de 𝑥. Agora, a questão dizia-nos que quando 𝑥 é oito, 𝑦 é 10. Portanto, vamos substituir esses valores nesta equação para calcular o valor de 𝑘. Então, isso significa que 10 é igual a 𝑘 vezes a raiz cúbica de oito. Bem, a raiz cúbica de oito é dois. Então 10 é igual a 𝑘 vezes dois. Agora, se eu dividir os dois membros da minha equação por dois, posso anular o dois do segundo membro para me deixar apenas com 𝑘. E 10 dividido por dois é cinco. Então, 𝑘 é cinco. Pelo que posso colocar isto na minha equação.

Portanto, a relação entre 𝑥 e 𝑦 é resumida pela equação 𝑦 igual a cinco vezes a raiz cúbica de 𝑥. Agora eu posso utilizar essa equação para descobrir o valor de 𝑥 quando 𝑦 é igual a oito e um terço. Bem, na verdade, vou escrever oito e um terço como uma fração mais pesada, 25 sobre três, porque provavelmente vai ajudar-me com meus cálculos. Portanto, substituir 𝑦 por 25 sobre três nesta equação, tenho 25 sobre três é igual a cinco vezes a raiz cúbica de 𝑥. Bem, se eu dividir os dois membros da minha equação por cinco, então posso anular o cinco no segundo membro, deixando-me apenas com a raiz cúbica de 𝑥.

E no primeiro membro, tenho 25 sobre três, dividido por cinco. Bem, eu vou escrever estes cinco na forma de fração, cinco sobre um, porque estou a fazer uma divisão de frações. E quando divido frações, inverti a segunda e a mudei para uma multiplicação. Então, será igual a 25 sobre três vezes um sobre cinco. Portanto, dividir por cinco é o mesmo que multiplicar por um sobre cinco. Agora posso anular o cinco na parte inferior e na parte superior. Então, tenho a raiz cúbica de 𝑥 igual a cinco sobre três. E agora vou colocar os dois membros desta equação ao cubo para descobrir a que 𝑥 é igual. Agora, o cubo da raiz cúbica de 𝑥 é apenas 𝑥, o cubo de cinco é 125 e o cubo de três é 27.

Mas na questão, disseram-nos que 𝑦 era igual a oito e um terço. Deram-nos um número misto. Então, na verdade, devemos dar a nossa resposta como um número misto. Portanto, a nossa resposta é quando 𝑦 é oito e um terço, então 𝑥 é igual a quatro e 17 27.

Então, estamos a ver que 𝑦 está por vezes — algumas vezes diretamente proporcional a 𝑥 e outras vezes diretamente proporcional a alguma potência de 𝑥. Mas, às vezes, é inversamente proporcional a uma destas coisas. Considere a gravidade, por exemplo, à medida que se afasta de um objeto, a intensidade da força que a gravidade exerce sobre si diminui. De facto, varia inversamente ao quadrado da distância do objeto. Portanto, a intensidade da força gravitacional é diretamente proporcional a um sobre a distância ao quadrado. Agora podemos lidar com questões de proporcionalidade inversa da mesma maneira que lidamos com questões comuns de proporcionalidade direta, exceto que a equação da proporcionalidade é um pouco diferente.

Por exemplo, se 𝑦 é inversamente proporcional a 𝑥, escrevemos isso como 𝑦 diretamente proporcional a um sobre 𝑥. E a equação é 𝑦 igual à constante da proporcionalidade vezes um sobre 𝑥 ou simplesmente como 𝑦 igual para 𝑘 sobre 𝑥. E se 𝑦 é inversamente proporcional ao quadrado de 𝑥, isso significa que 𝑦 é diretamente proporcional a um sobre 𝑥 ao quadrado. E na sua forma de equação, que é 𝑘 vezes um sobre 𝑥 ao quadrado ou apenas 𝑘 sobre 𝑥 ao quadrado igual a 𝑦. E se 𝑦 for inversamente proporcional à raiz cúbica de 𝑥, podemos escrever isso assim, o que nos daria as equações 𝑦 igual a 𝑘 vezes um sobre a raiz cúbica de 𝑥 ou 𝑦 igual a 𝑘 sobre a raiz cúbica de 𝑥.

Agora, novamente, existem diferentes maneiras de escrever relações inversas. Por exemplo, 𝑦 varia inversamente como o cubo de 𝑥. E isso significa que 𝑦 é diretamente proporcional a um sobre o cubo de 𝑥 — 𝑥 ao cubo. E 𝑦 é inversamente proporcional à raiz quadrada de 𝑥 significa 𝑦 é diretamente proporcional a um sobre a raiz quadrada de 𝑥. Ou, se quiser ficar realmente prolixo, a pressão, em atmosferas, num planador varia inversamente com a raiz quadrada da sua altura acima do nível do mar, em jardas. Se definirmos algumas variáveis, 𝑝 para a pressão em atmosferas e ℎ para a altura acima do nível do mar em jardas, poderemos escrever essa relação como 𝑝 é diretamente proporcional a um sobre a raiz quadrada de ℎ. E como uma equação, 𝑝 é igual à constante de proporcionalidade dividida pela raiz quadrada de ℎ.

Agora, também é importante observar que os gráficos para relações de proporcionalidade inversa não são os mesmos que os gráficos para relações de proporcionalidade direta. Assim, por exemplo, se 𝑦 é diretamente proporcional a um sobre 𝑥, o gráfico será 𝑦 igual à constante de proporcionalidade vezes um sobre 𝑥. E pode ver que, à medida que 𝑥 aumenta cada vez mais, um número constante dividido por um número cada vez maior se aproxima cada vez mais de zero. E, à medida que 𝑥 se aproxima cada vez mais de zero, temos um número dividido por um número cada vez menor e menor que ficará cada vez maior. Se 𝑥 fosse realmente zero, teríamos um número dividido por zero que tecnicamente seria infinito. Então, isso explica a forma deste gráfico. Vamos dar uma olhadela nalgumas questões.

𝑦 é inversamente proporcional a 𝑥. Quando 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a seis. Determine o valor de 𝑦 quando 𝑥 for igual a oito.

Portanto, podemos escrever esta proporcionalidade por 𝑦 diretamente proporcional a um sobre 𝑥. Ou então, como equação, 𝑦 igual à constante de proporcionalidade vezes um sobre 𝑥 ou 𝑦 igual a 𝑘 sobre 𝑥. E também nos disseram que quando 𝑥 é três, 𝑦 é seis. Então, novamente, como antes, podemos substituir estes valores na nossa equação para descobrir quanto é 𝑘. Então 𝑥 é três e 𝑦 é seis nos dá seis igual a 𝑘 sobre três. Multiplicando os dois membros por três, temos 18 é igual a 𝑘.

Então, vamos colocar isso de volta na nossa equação original, o que significa que 𝑦 é igual a 18 sobre 𝑥. Então agora precisamos de utilizar isto para determinar o valor de 𝑦 quando 𝑥 é igual a oito. Bem, isso significa que 𝑦 é igual a 18 sobre, neste caso, oito. E 18 sobre oito simplifica para dois e um quarto. Então, quando 𝑥 é igual a oito, 𝑦 é igual a dois e um quarto.

Agora nesta questão, 𝑦 varia inversamente com a raiz quadrada de 𝑥. Quando 𝑥 é igual a 25, 𝑦 é igual a quatro. Determine o valor de 𝑥 quando 𝑦 for igual a dois.

Portanto, a nossa proporcionalidade pode ser escrita da seguinte maneira: 𝑦 é diretamente proporcional a um sobre a raiz quadrada de 𝑥. 𝑦 varia inversamente com a raiz quadrada de 𝑥. E como uma equação, isso significa que 𝑦 é igual a 𝑘 vezes um sobre a raiz quadrada de 𝑥 ou 𝑦 é igual a 𝑘 sobre a raiz quadrada de 𝑥, onde 𝑘 é nossa constante de proporcionalidade. Então, vamos utilizar as informações fornecidas na questão para determinar o valor de 𝑘.

Colocar 𝑥 igual a 25 e 𝑦 igual a quatro dá-nos quatro igual a 𝑘 sobre a raiz quadrada de 25. Portanto, isso é quatro é igual a 𝑘 sobre cinco. Agora, se multiplicamos os dois membros por cinco, obtemos 𝑘 igual a 20, o que significa que a equação que descreve a relação entre 𝑥 e 𝑦 e 𝑦 igual a 20 sobre a raiz quadrada de 𝑥. E colocar 𝑦 igual a dois na equação, podemos ver que quando 𝑦 é igual a dois, dois é igual a 20 sobre a raiz quadrada de 𝑥. Portanto, se multiplicar os dois membros desta equação pela raiz quadrada de 𝑥, tenho dois raiz de 𝑥 igual a 20. Agora, se eu dividir por dois, a raiz quadrada de 𝑥 será igual a 10. Então, ao quadrado ambos os membros me deram a minha resposta de que quando 𝑦 é igual a dois, 𝑥 é igual a 100.

Agora, nesta questão, em vez de usar 𝑥 e 𝑦, usamos 𝐴 e 𝐵. 𝐴 varia inversamente com 𝐵 mais cinco. Se 𝐴 é igual a um quando 𝐵 é igual a cinco, determine o valor de 𝐵 quando 𝐴 é igual a 10.

Portanto, a primeira coisa que precisamos de fazer é escrever uma expressão de proporcionalidade. 𝐴 varia inversamente com um sobre algo, isso significa que 𝐴 é diretamente proporcional a um sobre algo e varia inversamente com 𝐵 mais cinco. Então, o que é inversamente proporcional é 𝐵 mais cinco. E podemos escrever isso na sua forma de equação: 𝐴 é igual a 𝑘 vezes um sobre 𝐵 mais cinco, que pode ser escrito como 𝐴 é igual 𝑘 a sobre 𝐵 mais cinco. Agora vamos substituir os valores que conhecemos.

𝐴 é um quando 𝐵 é cinco. Isso significa que um é igual a 𝑘 sobre cinco mais cinco. E cinco mais cinco é obviamente 10. Portanto, se eu multiplicar os dois membros por 10, posso ver que 𝑘 é igual a 10. E a relação entre 𝐴 e 𝐵 é resumida nesta equação: 𝐴 é igual a 10 sobre 𝐵 mais cinco. Agora, precisamos de determinar o valor de 𝐵 quando 𝐴 for 10. Então, vamos colocar 𝐴 igual a 10 nesta equação.

Portanto, 10 é igual a 10 sobre 𝐵 mais cinco. Multiplicando os dois membros por 𝐵 mais cinco, tenho 10 lotes de 𝐵 mais cinco ou 10 vezes 𝐵 mais cinco igual a 10 porque os 𝐵 mais cinco foi anulado no segundo membro. Agora, dividindo os dois membros por dez, posso anular as dezenas de cada membro para me dar 𝐵 mais cinco igual a um. Agora, subtrair cinco dos dois membros dá-me a minha resposta: 𝐵 igual a menos quatro.

Então, vimos que relações diretamente proporcionais podem ter diferentes potências de uma das variáveis ​​ou podem até ser relações inversas.

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