Vídeo: Pensando Visualmente em Grandes Dimensões

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Pensando Visualmente em Grandes Dimensões

24:49

Transcrição do vídeo

Às vezes, a matemática é uma provocação real. Ela nos seduz com a beleza de raciocinar geometricamente em duas e três dimensões, onde há um ótimo vai e vem entre pares ou triplas de números e coisas espaciais que nosso córtex visual é bom no processamento.

Por exemplo, se você pensa em um círculo com raio um centrado na origem, está efetivamente conceituando todos os pares possíveis de números, 𝑥 e 𝑦, que satisfazem uma certa propriedade numérica, que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é um. E a utilidade aqui é que muitos fatos que parecem opacos em um contexto puramente analítico tornam-se bastante claros geometricamente e vice-versa. Honestamente, esse canal foi o beneficiário direto desse vai e vem, pois oferece uma biblioteca tão rica dessa categoria especial de inteligência que envolve a conexão de duas ideias aparentemente díspares.

E não me refiro apenas ao vai e vem geral entre pares ou triplas de números e raciocínio espacial. Quero dizer este específico entre somas de quadrados e círculos e esferas. É o cerne do vídeo que fiz mostrando como 𝜋 está conectado à teoria e números primos e o que mostra como visualizar todas as possíveis trincas pitagóricas. Ele também está por trás do vídeo do teorema de Borsuk-Ulam sendo usado para resolver o que era basicamente um quebra-cabeça de contagem, usando fatos topológicos sobre esferas. Não há dúvida de que a capacidade de enquadrar fatos analíticos geometricamente é muito útil para a matemática. Mas é tudo uma provocação, porque quando você começa a fazer perguntas sobre quádruplos ou quíntuplos ou 100 tuplas de números, é frustrante.

As restrições em nosso espaço físico parecem ter restringido nossas intuições sobre geometria, e perdemos esse vai e vem. Quero dizer, é completamente razoável imaginar que existem problemas por aí que teriam soluções inteligentes e esclarecedoras se soubéssemos como conceitualizar, digamos, listas de 10 números como pontos individuais em algum espaço. Para matemáticos, cientistas da computação ou físicos, problemas que são apresentados em termos de listas de números, listas com mais de três números, fazem parte regular do trabalho. E a abordagem padrão para realmente fazer matemática em dimensões mais altas é usar duas e três dimensões para analogia, mas raciocinar fundamentalmente sobre as coisas apenas analiticamente, um pouco análogas a um piloto que depende principalmente de instrumentos e não vê enquanto voa pelas nuvens.

Agora, o que quero oferecer aqui é um híbrido entre as visões puramente geométricas e puramente analíticas, um método para tornar o raciocínio analítico um pouco mais visual de uma maneira que generalize para dimensões arbitrariamente altas. E, para mostrar o valor de uma tática como essa, quero compartilhar com você um exemplo muito famoso em que analogias com duas e três dimensões não podem ajudar, por causa de algo extremamente contra intuitivo que só acontece em grandes dimensões. A esperança, porém, é que o que eu mostro aqui ajude a tornar esse fenômeno mais intuitivo.

O foco será nas esferas de maior dimensão. Por exemplo, quando falamos de uma esfera de quatro dimensões, digamos com um raio, centrado na origem. O que realmente é, é o conjunto de todos os quádruplos de números — 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 — em que a soma dos quadrados desses números é um. O que eu imaginei aqui agora são várias fatias tridimensionais de uma esfera 4D projetadas de volta em três dimensões. Mas é confuso e, mesmo que você envolva a cabeça, apenas empurra a questão de como você pensaria em uma esfera de cinco, seis ou sete dimensões. E, mais importante, apertar os olhos para entender uma projeção como essa não reflete muito qual matemática uma esfera 4D realmente implica.

Em vez disso, a ideia básica aqui será ficar bem literal e pensar em quatro números separados. Eu gosto de imaginar quatro retas numéricas verticais com controles deslizantes para representar cada número. Cada configuração desses controles deslizantes é um ponto no espaço 4D, um quádruplo de números. E o que significa estar em uma esfera de unidade 4D centralizada na origem é que a soma dos quadrados desses quatro valores é um.

Nosso objetivo é entender quais movimentos desses controles deslizantes correspondem aos movimentos na esfera. Para fazer isso, ajuda se derrubarmos as coisas em duas dimensões, onde podemos realmente ver o círculo. Então, pergunte-se, qual é uma boa maneira de pensar sobre essa relação, que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é um? Bem, eu gosto de pensar no valor de 𝑥 ao quadrado como o real imóvel pertencente a 𝑥 e, da mesma forma, o valor de 𝑦 ao quadrado é o real imóvel pertencente a 𝑦 e que eles têm um total de uma unidade de reais imóveis para compartilhar entre eles. Portanto, mover-se no círculo corresponde a uma troca constante de reais imóveis entre as duas variáveis. Parte da razão pela qual escolhi esse termo é que ele nos permite fazer uma analogia muito útil, que reais imóveis são baratos perto de zero e mais caros longe de zero.

Para ver isso, considere começar em uma posição em que 𝑥 seja igual a um e 𝑦 seja zero. O significado 𝑥 tem todo o espaço próprio, o que, em nossa imagem geométrica usual, significa que estamos no ponto mais à direita do círculo. Se você mover 𝑥 um pouco para 0.9, o valor de 𝑥 ao quadrado mudará para 0.81. Com isso, entregou 0.19 unidades de imóveis. Mas para 𝑦 ao quadrado aumentar nessa mesma quantidade, é necessário 𝑦 afastar 0.44 unidades inteiras de zero, mais de quatro vezes a quantidade que 𝑥 foi movida. Em outras palavras, 𝑥 mudou um pouco para abrir mão de imóveis caros, para que 𝑦 pudesse se movimentar muito e ganhar o mesmo valor de imóveis baratos. Em termos do desenho de círculo usual, isso corresponde à inclinação íngreme perto do lado direito. Um pequeno empurrão em 𝑥 permite uma mudança muito grande em 𝑦.

No futuro, adicionaremos algumas marcas de escala a essas retas para indicar a aparência de 0.05 unidades de imóveis em cada ponto. Ou seja, quanto 𝑥 teria que mudar para que o valor de 𝑥 ao quadrado fosse alterado em 0.05? À medida que você caminha em volta do círculo, a troca de valor entre 𝑥 ao quadrado e 𝑦 ao quadrado dá esse movimento de dança com aparência de pistão, onde os controles deslizantes se afastam mais lentamente do zero. Porque o imóvel é mais caro nessas regiões. Existem apenas mais marcas para cobrir por unidade de distância. Além disso, um bom efeito colateral do termo imóvel é que ele se alinha naturalmente ao fato de que ele vem em unidades de distância ao quadrado. Portanto, a raiz quadrada do total de imóveis entre todas as coordenadas nos dá a distância da origem.

Para uma esfera unitária em três dimensões, o conjunto de todas as triplas 𝑥, 𝑦, 𝑧, onde a soma de seus quadrados é um, basta adicionar um terceiro controle deslizante para 𝑧. Mas esses três controles deslizantes ainda têm apenas uma unidade de imóvel para compartilhar entre eles. Para ter uma ideia, imagine manter 𝑥 no lugar de 0.5, onde ele ocupa 0.25 unidades de imóveis. O que isso significa é que 𝑦 e 𝑧 podem se mover no mesmo movimento de dança do pistão que vimos antes, pois trocam as 0.75 unidades restantes de imóveis. Em termos de nossa maneira típica de visualizar uma esfera, isso corresponde a cortar a esfera ao longo do plano onde 𝑥 é 0.5 e observar o círculo formado por todas as opções para 𝑦 e 𝑧 nessa esfera.

À medida que você aumenta o valor de 𝑥, a quantidade de imóveis restantes para 𝑦 e 𝑧 é menor. E essa dança de pistão mais restrita é a sensação da fatia circular ser menor. Eventualmente, quando 𝑥 atingir o valor um, não sobrará mais imóveis. Então você alcança esse ponto de singularidade onde 𝑦 e 𝑧 são forçados a serem zero. O sentimento aqui é um pouco como ser um inseto na superfície da esfera. Você é incapaz de ver toda a esfera de uma só vez. Em vez disso, você está apenas sentado em um único ponto. E você tem alguma noção de quais movimentos locais são permitidos. Em quatro dimensões ou mais, perdemos a muleta da visão global que uma visão espacial oferece. Mas as regras fundamentais dessa troca de imóveis permanecem as mesmas.

Se você fixar um controle deslizante e observar as outras três serem trocadas, é basicamente isso que significa pegar uma fatia da esfera 4D para obter uma pequena esfera 3D da mesma maneira que consertar um dos controles deslizantes para o caso em três dimensões nos dão uma fatia circular quando os dois restantes estavam livres para variar. Agora, assistir esses controles deslizantes se moverem e pensar na troca de imóveis é bem divertido. Mas corre o risco de ficar sem rumo, a menos que tenhamos um quebra-cabeça de alta dimensão para afundar. Vamos deixar de lado os controles deslizantes por um momento e trazer um exemplo muito clássico de algo que parece razoável e até monótono em duas e três dimensões, mas que está totalmente fora de sintonia em dimensões mais altas.

Para começar, pegue uma caixa dois por dois centralizada na origem. Seus cantos estão nos vértices um, um; um, menos um; menos um, um; e menos um, menos um. Desenhe quatro círculos, cada um com raio um, centralizado nesses quatro vértices. Portanto, cada um é tangente a dois de seus vizinhos. Agora eu quero que você pense no círculo centrado na origem que é grande o suficiente para tocar esses círculos de canto, tangentes a cada um deles. O que queremos fazer para essa configuração e suas analogias em dimensões mais altas é encontrar o raio desse círculo interno. Aqui em duas dimensões, podemos usar o teorema de Pitágoras para ver que a distância da origem ao canto da caixa é a raiz quadrada de dois, que é de cerca de 1.414. Então você pode subtrair essa parte aqui, o raio do círculo do canto, que por definição é um. E isso significa que o raio do círculo interno é a raiz quadrada de dois menos um ou cerca de 0.414.

Não há surpresas aqui, isso parece bastante razoável. Agora faça algo análogo em três dimensões. Desenhe um cubo dois por dois por dois cujos cantos tenham vértices um, um, um; um, um, menos um; e assim por diante. E então vamos pegar oito esferas diferentes, cada uma com raio um, e centralizá-las nesses vértices para que cada uma seja tangente a três de seus vizinhos. Agora, novamente, pense na esfera centralizada na origem, que é grande o suficiente para mal tocar nessas oito esferas de canto. Como antes, podemos começar pensando sobre a distância da origem ao canto da caixa, digamos o canto um, um, um.

A propósito, acho que ainda não disse explicitamente que a maneira como as distâncias funcionam em grandes dimensões é sempre somar os quadrados das componentes em cada direção e tirar a raiz quadrada. Se você nunca viu por que isso acontece, do teorema de Pitágoras, apenas no caso bidimensional, é realmente um quebra-cabeça muito divertido de se pensar. E deixei a imagem relevante na tela para qualquer um de vocês que queira fazer uma pausa e refletir sobre ela.

De qualquer forma, no nosso caso, a distância entre a origem e o canto um, um, um é a raiz quadrada de um quadrado mais um ao quadrado mais um ao quadrado mais um ao quadrado ou a raiz quadrada de três, que é cerca de 1.73. Então o raio dessa esfera interna será essa quantidade menos o raio de uma esfera de canto, que por definição é um. E, novamente, 0.73 parece um raio razoável para essa esfera interna. Mas o que acontece com esse raio interno à medida que você aumenta as dimensões? Obviamente, a razão pela qual trato disso é que algo surpreendente acontecerá. E alguns de vocês podem ver para onde isso está indo. Mas na verdade não quero que seja uma surpresa.

Por mais divertido que seja, impressionar as pessoas com fatos contra intuitivos em matemática, o objetivo aqui é uma compreensão genuína, não um choque. Para grandes dimensões, usaremos controles deslizantes para ter uma ideia do que está acontecendo. Mas, como é uma maneira diferente de visualizar as coisas, ajuda rapidamente a começar analisando os casos bidimensionais e tridimensionais no contexto de controles deslizantes.

Para começar, como você pensa em um círculo centrado em um canto como um, menos um? Bem, anteriormente, para um círculo centrado na origem, a quantidade de imóveis pertencentes a 𝑥 e 𝑦 dependia de sua distância do número zero. E é a mesma ideia básica aqui enquanto você se move pelo centro. Só que o imóvel pode depender da distância entre cada coordenada e outro número. Portanto, para esse círculo centrado em um, menos um, a quantidade de imóveis pertencentes a 𝑥 é o quadrado de sua distância de um. Da mesma forma, o imóvel pertencente a 𝑦 é o quadrado de sua distância de menos um. Fora isso, o visual e a sensação dessa troca de dança de pistão são completamente iguais.

Por simplicidade, focaremos apenas um desses círculos, aquele centrado em um, um. Agora, pergunte-se: o que significa encontrar um círculo centrado na origem grande o suficiente para ser tangente a esse cara quando pensamos apenas em termos de controles deslizantes? Bem, observe como esse ponto de tangência acontece quando as coordenadas 𝑥 e 𝑦 são as mesmas. Ou, de outro modo, no ponto desse círculo de canto mais próximo da origem, o imóvel é compartilhado igualmente entre 𝑥 e 𝑦. Isso será importante para mais tarde. Então, vamos nos aprofundar e pensar porque é verdade.

Imagine perturbar um pouco esse ponto, talvez movendo 𝑥 um pouco mais perto de zero, o que significa que 𝑦 teria que se afastar um pouco de zero. A mudança em 𝑥 teria que ser um pouco menor que a mudança em 𝑦, uma vez que o imóvel que ganha ao se afastar de um é mais caro do que o imóvel 𝑦 que perde ao se aproximar de um. Mas, da perspectiva do ponto de origem zero, zero, essa troca é revertida. A mudança resultante para 𝑥 ao quadrado é menor que a mudança resultante para 𝑦 ao quadrado, pois quando os imóveis são medidos em relação a zero, zero, esse movimento de 𝑦 em direção a um é o mais caro.

O que isto significa é que qualquer perturbação leve longe deste ponto, onde os imóveis são compartilhados uniformemente, resulta em uma distância crescente da origem. A razão pela qual nos preocupamos é que esse ponto é tangente ao círculo interno. Então, também podemos pensar nisso como um ponto do círculo interno. E isso será muito útil para dimensões mais altas. Ele nos fornece um ponto de referência para entender o raio desse círculo interno. Especificamente, você pode perguntar o quanto de imóveis é compartilhado entre 𝑥 e 𝑦 nesse ponto quando as medições de imóveis são feitas com relação à origem, zero, zero. Por exemplo, aqui em duas dimensões, 𝑥 e 𝑦 caem abaixo de 0.5 nesta configuração. Portanto, o valor total, 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado, será menor que 0.5 ao quadrado mais 0.5 ao quadrado.

Comparando com esse ponto intermediário, será realmente útil para entender o que acontece em dimensões mais altas. Dando um passo de cada vez, vamos aumentar para três dimensões. Considere a esfera de canto com raio um centrado em um, um, um. O ponto nessa esfera que está mais próximo da origem corresponde à configuração dos controles deslizantes onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 estão todos chegando ao zero e iguais um ao outro. Novamente, todos eles precisam ir um pouco além desse ponto intermediário, porque a posição 0.5 representa apenas 0.5 ao quadrado ou 0.25 unidades de imóveis. Portanto, com as três coordenadas recebendo um terço de uma unidade imóvel, elas precisam estar mais afastadas.

E, novamente, como esse é um ponto em que a esfera de canto é tangente à esfera interna, também é um ponto da esfera interna. Portanto, com referência à origem zero, zero, zero, pense na quantidade de imóveis compartilhados entre 𝑥, 𝑦 e 𝑧 nessa posição correspondente ao ponto tangente. Definitivamente, é menor que 0.75, já que todos os três são menores que 0.5. Portanto, cada um tem menos de 0.25 unidades de imóveis. E, novamente, voltamos e sentimos confortáveis ​​com esse resultado, certo? A esfera interna é menor que as esferas de canto. Mas as coisas ficam interessantes quando passamos para quatro dimensões. Nossa caixa dois por dois por dois por dois terá 16 vértices em um, um, um, um; um, um, um, menos um; e assim por diante, com todas as combinações binárias possíveis de um e menos um.

O que isso significa é que existem 16 esferas unitárias centradas nesses cantos, cada uma tangente a quatro de seus vizinhos. Como antes, focaremos apenas um deles, aquele centrado em um, um, um, um. O ponto da esfera mais próximo da origem corresponde à configuração dos controles deslizantes, onde todas as quatro coordenadas atingem exatamente o meio do caminho entre um e zero. E isso porque quando uma das coordenadas está a 0.5 unidade longe de um, ela tem 0.25 unidades de imóveis em relação ao ponto um. Nós fazemos o mesmo truque de antes, pensando nisso agora como um ponto da esfera interna e medindo as coisas em relação à origem. Mas você já pode ver o que é interessante em quatro dimensões.

À medida que você passa a pensar em imóveis em relação a zero, zero, zero, zero, ainda é o caso de cada uma dessas quatro coordenadas ter 0.25 unidades de imóveis, totalizando um compartilhado entre as quatro coordenadas. Em outras palavras, essa esfera interna é precisamente do mesmo tamanho que as esferas de canto. A propósito, isso corresponde ao que você vê numericamente, onde é possível calcular a distância entre a origem e o canto, um, um, um, um é a raiz quadrada de quatro. E então, quando você subtrai o raio de um das esferas dos cantos, o que obtém é um. Mas há algo muito mais gratificante em ver isso, do que apenas calculá-lo.

Em particular, aqui está um aspecto interessante do fato de que a esfera interna possui um raio um. Mova as coisas para que todo o imóvel vá para a coordenada 𝑥 e você acabará no ponto um, zero, zero, zero. Este ponto está realmente tocando a caixa de dois por dois por dois por dois. E quando você fica parado pensando nos casos bidimensionais ou tridimensionais, esse fato de a esfera interna ter um raio um, o mesmo tamanho das esferas de canto e de tocar a caixa, parece muito grande. Mas é importante perceber que este é fundamentalmente um fenômeno de quatro dimensões. E você simplesmente não pode compactá-lo em dimensões menores.

Mas as coisas ficam mais estranhas. Vamos aumentar para cinco dimensões. Nesse caso, temos algumas esferas de canto, 32 no total. Mas, novamente, por simplicidade, pensaremos apenas naquele que está centrado em um, um, um, um, um. Pense no ponto da esfera mais próxima da origem, onde todas as cinco coordenadas estão dividindo igualmente a unidade de imóveis compartilhados. Desta vez, cada coordenada é um pouco maior que 0.5. Se eles atingirem 0.5, cada um teria 0.25 unidades de imóveis, resultando em um total de 1.25, o que é demais. Mas, as tabelas são viradas quando você vê isso como um ponto na esfera interna. Porque em relação à origem, essa configuração possui muito mais de uma unidade de imóvel.

Não apenas todas as coordenadas estão a mais de 0.5 unidades longe de zero, mas o maior número de dimensões significa que há mais espaço total quando você soma tudo. Especificamente, você pode calcular que o raio dessa esfera interna é de cerca de 1.24. A sensação intuitiva do que isso significa é que os controles deslizantes podem percorrer mais território do que apenas uma unidade imóvel permitiria. Uma maneira divertida de ver o que isso significa é ajustar tudo para que todo imóvel atinja apenas uma coordenada. Como essa coordenada pode ir além de um, o que você está vendo é que essa esfera interna de cinco dimensões realmente sai da caixa.

Mas, para realmente sentir como as coisas se tornam estranhas, como último exemplo, quero pular para 10 dimensões. Lembre-se, tudo isso significa que os pontos têm 10 coordenadas. Para uma esfera com raio um, uma única unidade imóvel deve ser compartilhada entre todas as 10 dessas coordenadas. Como sempre, o ponto desta esfera de canto mais próximo da origem é aquele em que todas as 10 coordenadas dividem o imóvel igualmente. E aqui, você pode realmente ver o quão longe isso está da origem. Ou, de outro modo, é permitido que a esfera interna tenha uma quantidade muito grande de imóveis. De fato, você pode calcular que o raio da esfera interna é de cerca de 2.16.

E visto dessa perspectiva, onde você tem 10 dimensões completas para compartilhar esse imóvel, não parece realmente razoável que a esfera interna deva ter um raio mais que o dobro do tamanho de todas as esferas de canto? Para ter uma noção do tamanho dessa esfera interna, olhe para trás em duas dimensões e imagine uma caixa de quatro por quatro delimitando todos os quatro círculos do lado de fora. Ou vá para três dimensões e imagine uma caixa de quatro por quatro por quatro delimitando todas as esferas de canto do lado de fora. Bem aqui em 10 dimensões, que, citado, não citado, “esfera interna” é na verdade grande o suficiente para sair da caixa delimitadora externa, pois possui um diâmetro maior que quatro.

Eu sei que parece loucura! Mas você deve perceber que a face da caixa está sempre a duas unidades da origem, não importa a altura da dimensão. E, fundamentalmente, é porque envolve apenas mover-se ao longo de um único eixo. Mas o ponto um, um, um, um, um, um, um, um, um, um, que determina o raio da esfera interna é realmente muito longe do centro, até aqui em 10 dimensões. E é porque todas as 10 dessas dimensões adicionam uma unidade completa de imóveis para esse ponto. E, é claro, à medida que você aumenta as dimensões, essa esfera interna continua crescendo sem limites. Não apenas está cutucando fora dessas caixas, mas a proporção da esfera interna que fica dentro da caixa diminui exponencialmente em direção a zero à medida que a dimensão continua aumentando.

Então, dando um passo atrás, uma das coisas que eu mais gosto em usar esse método deslizante para ensinar é que, quando eu o compartilhei com alguns amigos, a maneira como eles começaram a falar sobre grandes dimensões se tornou um pouco menos metafísica e começou a soar mais como você ouviria um matemático falar sobre o assunto. Em vez de perguntar com ceticismo se o espaço de 10 dimensões é ou não uma coisa real, reconhecendo que é exatamente tão real quanto os números são, as pessoas realmente investigam quais outras propriedades as esferas de grandes dimensões têm e como são as outras formas em termos de controles deslizantes.

Essa situação de caixa é apenas uma dentre várias coisas que parecem muito loucas por esferas de dimensões superiores. E é realmente divertido pensar sobre essas outras no contexto de controles deslizantes e imóveis. Obviamente é limitado. Quero dizer, você é um inseto na superfície desses objetos, apenas percebendo um ponto de cada vez e as regras de movimento. Além disso, a geometria pode ser bastante agradável quando sua coordenada é livre. E isso é o oposto disso. Mas dá um ponto de apoio para pensar sobre formas de grande dimensão um pouco mais concreta.

Agora você pode dizer que visualizar coisas com controles deslizantes não é diferente de pensar sobre coisas puramente analíticas. Quero dizer, é honestamente um pouco mais do que representar cada coordenada literalmente. É a coisa mais óbvia que você pode fazer. Mas esse pequeno movimento torna muito mais possível jogar com o pensamento de um ponto de alta dimensão. E até pequenas coisas, como pensar nos quadrados das coordenadas como imóveis, podem lançar luz sobre alguns aspectos aparentemente estranhos de altas dimensões, como a que distância o canto de uma caixa está do centro.

De qualquer forma, o fato de ser uma representação tão direta de uma descrição puramente analítica é exatamente o que faz com que seja uma reflexão tão fiel do que realmente faz a matemática em grandes dimensões. Ainda estamos voando nas nuvens, confiando nos instrumentos do raciocínio analítico. Mas esse é um redesenho desses instrumentos, que tiram melhor proveito do fato de que uma porção tão grande de nossos cérebros vai para o processamento de imagens. Quero dizer, só porque você não pode visualizar algo não significa que você ainda não pode pensar visualmente.

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