Vídeo: Assítotas Horizontal e Vertical de uma Função

Neste vídeo, vamos aprender como determinar as assíntotas horizontal e vertical de uma função.

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Assíntotas horizontal e vertical de uma função

Neste vídeo, aprenderemos como determinar as assíntotas horizontais e verticais de uma função considerando certos limites. Vamos começar por abordar a definição de uma assíntota. Uma assíntota horizontal ou vertical de uma curva é uma reta tal que a distância entre a curva e a reta se aproxima de zero, à medida que a coordenada em 𝑥 ou 𝑦 se aproxima de infinito. Podemos ver um exemplo de uma assíntota. Se considerarmos que o gráfico da função 𝑓 de 𝑥 é igual a um sobre 𝑥. Esta função possui uma assíntota vertical em 𝑥 igual a zero e uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a zero.

Existem várias maneiras pelas quais uma assíntota pode aparecer. Para assíntotas verticais, uma maneira pela qual a assíntota pode aparecer é se a função tende para mais infinito à esquerda e para menos infinito à direita. Outra maneira semelhante é se a função se aproxima de menos infinito à esquerda e de mais infinito à direita, que é o que vimos no caso de 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥. E agora, o caso é que, se a função se aproxima de menos infinito à esquerda e à direita, da mesma forma, a curva pode aproximar-se de mais infinito à esquerda e à direita. Em alternativa, pode ser que apenas um dos limites à esquerda ou à direita seja infinito. Este pode ser o limite à esquerda ou à direita a tender para mais ou menos infinito.

A partir disso, podemos concluir que ’igual’ é uma assíntota vertical. Se conforme 𝑥 se aproxima 𝑐 da esquerda ou da direita, 𝑓 de 𝑥 tende ao infinito positivo ou negativo. Agora, podemos considerar assíntotas horizontais. Agora, estas ocorrerão quando o limite quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito de 𝑓 de 𝑥 é igual a uma constante. Dizemos que 𝑦 igual a 𝑐 é uma assíntota horizontal se quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito, 𝑓 de 𝑥 tende para 𝑐. Podemos escrever estas definições para assíntotas verticais e horizontais em termos de limites.

Para assíntota vertical, 𝑥 igual 𝑐 é assíntota vertical se o limite quando 𝑥 tende para 𝑐 acima de 𝑓 de 𝑥 é igual a mais ou menos infinito ou o limite quando 𝑥 tende para 𝑐 abaixo de 𝑓 de 𝑥 é igual a mais ou menos infinito. Para assíntotas horizontais, dizemos que 𝑦 igual 𝑐 é uma assíntota horizontal, se o limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑐 ou o limite quando 𝑥 tende para menos infinito de 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑐. Agora que abordámos a definição de assíntota horizontal e vertical e as maneiras pelas quais as diferentes assíntotas podem ocorrer, estamos prontos para ver um exemplo.

Determine que as assíntotas verticais e horizontais da função 𝑓 de 𝑥 igual a menos um mais três sobre 𝑥 menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado.

Vamos começar por escrever a nossa função como uma fração. Determinamos um denominador comum de 𝑥 ao quadrado. E podemos escrever 𝑓 de 𝑥 como menos 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado. Para determinar as assíntotas verticais, precisamos de determinar os valores de 𝑎 tais que o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 abaixo de 𝑓 de 𝑥 seja igual a mais ou menos infinito ou o limite quando 𝑥 tende para 𝑎 acima de 𝑓 de 𝑥 é igual a mais ou menos infinito. Como o nosso 𝑓 de 𝑥 é uma função irracional, isso acontecerá quando o denominador da nossa função se aproxima de zero.

Agora, o denominador da nossa função é simplesmente 𝑥 ao quadrado, então podemos dizer que as assíntotas verticais ocorrerão quando 𝑥 ao quadrado for igual a zero. Então descobrimos que haverá uma assíntota vertical em 𝑥 igual a zero. Para determinar as nossas assíntotas horizontais, precisamos de determinar os valores de 𝑏 tais que o limite quando 𝑥 tende para infinito de 𝑓 de 𝑥 seja igual a 𝑏. Ou o limite quando 𝑥 tende para menos infinito de 𝑓 de 𝑥 também seja igual a 𝑏. Portanto, consideremos o limite da nossa função quando 𝑥 tende para infinito. Para determinar este limite, precisamos de multiplicar as partes superior e inferior da nossa fração por um sobre 𝑥 ao quadrado. E obtemos que o limite é 𝑥 tende para infinito de menos um mais três 𝑥 sobre 𝑥 menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado tudo sobre um.

Em seguida, utilizaremos o facto de que o limite quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito de um sobre 𝑥 é igual a zero. Portanto, três sobre 𝑥 e menos quatro sobre 𝑥 ao quadrado tenderão para zero. E assim descobrimos que o nosso limite é igual a menos um. Portanto, descobrimos que temos uma assíntota horizontal em 𝑦 é igual a menos um. Podemos considerar rapidamente o limite quando 𝑥 tende para menos infinito da nossa função. No entanto, como o limite que estávamos a utilizar, este é o limite quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito de um sobre 𝑥 é igual a zero, funciona para mais ou menos infinito. Veremos que o limite quando 𝑥 tende para menos infinito dá-nos a mesma assíntota que o limite quando 𝑥 tende para mais infinito.

Assim, determinámos as assíntotas verticais e horizontais da nossa função. É importante saber que a função 𝑓 de 𝑥 pode intersetar a assíntota nalgum ponto. Podemos ver isso se esboçarmos um gráfico da função utilizada neste exemplo. Aqui, podemos ver um esboço da nossa função, incluindo as assíntotas horizontais e verticais que determinámos, em 𝑥 igual a zero e 𝑦 igual a menos um. Podemos ver que, quando 𝑥 tende para mais infinito, a função realmente interseta a assíntota horizontal. No entanto, esta ainda mostra comportamento assintótico, já que 𝑥 se torna cada vez maior e maior, podemos ver que o gráfico da função está se aproxima cada vez mais da reta 𝑦 igual a menos um. Podemos dizer que à medida que 𝑥 segue para infinito, 𝑓 de 𝑥 aproxima-se arbitrariamente de 𝑦 igual a menos um.

Agora, vejamos outro exemplo.

Quais são as duas assíntotas da hipérbole 𝑦 igual a cinco 𝑥 mais um sobre três 𝑥 menos quatro?

Para determinar aqui uma assíntota vertical, precisamos de determinar os valores de 𝑏 tais que qualquer limite quando 𝑥 tende para 𝑏 de 𝑦 seja igual a mais ou menos infinito. Para determinar as assíntotas verticais, precisamos simplesmente de determinar os valores de 𝑥 tais que o denominador de 𝑦 seja igual a zero. O que isso significa é que três 𝑥 menos quatro é igual a zero. Reorganizando isto, descobrimos que existe uma assíntota vertical em 𝑥 igual a quatro terços. Para determinar as assíntotas horizontais de 𝑦, precisamos de considerar o limite quando 𝑥 para mais ou menos infinito de 𝑦. Para determinar o limite quando 𝑥 tende para infinito de cinco 𝑥 mais um sobre três 𝑥 menos quatro, multiplicamos primeiro o numerador e o denominador da fração por um sobre 𝑥.

Ficamos com o limite quando 𝑥 tende para infinito de cinco mais um sobre 𝑥 sobre três menos quatro sobre 𝑥. Então, podemos utilizar o facto de que o limite quando 𝑥 tende para infinito de um sobre 𝑥 é igual a zero, o que nos diz que um sobre 𝑥 e menos quatro sobre 𝑥 tenderão para zero quando 𝑥 tende para infinito. E, portanto, descobrimos que o nosso limite é igual a cinco terços. Observemos rapidamente que, se considerarmos o limite quando 𝑥 tende para menos infinito de 𝑦, veremos que este limite também é igual a cinco terços. Portanto, a solução para esta questão é que temos uma assíntota vertical em 𝑥 igual a quatro terços e uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a cinco terços.

Em seguida, consideraremos um caso mais geral noutro exemplo.

O gráfico da equação 𝑦 é igual a 𝑎𝑥 mais 𝑏 sobre 𝑐𝑥 mais 𝑑 é uma hipérbole apenas se 𝑐 não estiver em zero. Nesse caso, quais são as duas assíntotas?

Vamos começar por determinar a assíntota vertical desta função. As assíntotas verticais ocorrem em 𝑥 igual 𝑘 quando o limite quando 𝑥 tende para 𝑘 abaixo de 𝑦 é igual a menos infinito em dobro ou o limite quando 𝑥 tende para 𝑘 acima de 𝑦 é igual a mais ou menos infinito. Como 𝑦 é uma função racional, isto ocorrerá em valores 𝑥 onde o denominador de 𝑦 é igual a zero. Portanto, podemos determinar as nossas assíntotas verticais definindo o denominador de 𝑦 igual a zero. Agora, resolvemos 𝑐𝑥 mais 𝑑 igual a zero em ordem a 𝑥. Concluímos que existe uma assíntota vertical quando 𝑥 é igual a menos 𝑑 sobre 𝑐.

Para determinar a assíntota horizontal de 𝑦, precisamos de considerar o limite quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito 𝑦. Para determinar esse limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador por um sobre 𝑥. Então, utilizamos o facto de que o limite quando 𝑥 tende para infinito de um sobre 𝑥 é igual a zero, para dizer que, quando consideramos esse limite, 𝑏 sobre 𝑥 e 𝑑 sobre 𝑥 tenderão para zero. E isso deixa-nos com 𝑎 sobre 𝑐. Agora, determinámos a nossa assíntota horizontal. Portanto, descobrimos que as duas assíntotas da nossa hipérbole são 𝑥 igual a menos 𝑑 sobre 𝑐 e 𝑦 igual a 𝑎 sobre 𝑐.

Podemos utilizar este resultado para nos ajudar a determinar rapidamente assíntotas de hipérboles desta forma.

Por exemplo, se queremos determinar as assíntotas da função 𝑦 igual a nove 𝑥 menos 12 sobre cinco menos 12𝑥. Podemos utilizar o facto de que a nossa função da forma 𝑦 igual a 𝑎𝑥 mais 𝑏 sobre 𝑐𝑥 mais 𝑑 tem assíntotas 𝑥 igual a menos 𝑑 sobre 𝑐 e 𝑦 igual a 𝑎 sobre 𝑐 para determinar rapidamente as nossas assíntotas. Anotar os valores de 𝑎, 𝑏 𝑐 e 𝑑 pode facilitar um pouco as coisas. Descobrimos que a nossa assíntota vertical é 𝑥 igual a cinco sobre 12. E a nossa assíntota horizontal é menos três sobre quatro. Agora, observe rapidamente que é possível que uma função tenha mais que uma assíntota vertical e que uma horizontal.

Por exemplo, vamos considerar que a função 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro. Percebemos que o denominador da nossa função é uma diferença de dois quadrados. E a função pode, portanto, ser escrita como um sobre 𝑥 mais dois multiplicados por 𝑥 menos dois. Agora, para determinar as nossas assíntotas verticais, precisamos de determinar os valores de 𝑥 que mandarão as nossas funções para infinito. Para fazer isso, estabelecemos o denominador da função igual a zero. Isso nos dará duas assíntotas, uma em 𝑥 igual a menos dois, que vem de 𝑥 mais dois sendo igual a zero, e a outra em 𝑥 igual a dois, que virá de 𝑥 menos dois sendo igual a zero.

Se tomarmos o limite da nossa função quando 𝑥 tende para infinito, podemos ver que o denominador dessa fração irá para infinito quando 𝑥 vai para infinito. Portanto, o valor deste limite é simplesmente zero, o que nos dá uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a zero, sabendo que os valores destas três assíntotas nos ajudarão a esboçar o nosso gráfico. É assim que o gráfico da nossa função será. Como podemos ver, tem duas assíntotas verticais e uma horizontal. No próximo exemplo, consideraremos um caso do qual devemos ter muito cuidado, que é quando temos um fator na nossa função racional que pode ser anulado. Vamos agora ver o próximo exemplo.

Determine as assíntotas da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 mais dois sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro.

Agora, normalmente começamos por determinar a assíntota vertical estabelecendo o denominador da nossa função igual a zero. No entanto, não podemos fazer isso imediatamente com esta função. Em vez disso, vamos começar por fatorizar o denominador de 𝑓 de 𝑥. Podemos ver que temos um fator de 𝑥 mais dois no numerador e no denominador. E assim podemos anular o fator no numerador e no denominador aqui. No entanto, temos que ter cuidado, pois, ao fazer isso, mudaremos ligeiramente a nossa função, pois 𝑓 de 𝑥 original não está definida para o valor de 𝑥 igual a menos dois. Entretanto, a nossa nova função, que podemos chamar de 𝑔 de 𝑓𝑥, é. No entanto, as assíntotas de 𝑓 e 𝑔 ainda serão as mesmas.

Agora, para determinar as assíntotas de 𝑓, precisamos simplesmente de determinar as assíntotas de 𝑔. Para determinar as assíntotas verticais, definimos o denominador de 𝑔 igual a zero. Isso dá-nos uma assíntota vertical em 𝑥 igual a dois. Para determinar as assíntotas horizontais, precisamos de determinar o limite de 𝑔 quando 𝑥 tende para infinito. Então, é este o limite quando 𝑥 tende para infinito de um sobre 𝑥 menos dois. Agora, quando 𝑥 tende para infinito, 𝑥 menos dois também irá para infinito. E como 𝑥 menos dois está no denominador da função aqui, isso significa que este limite tenderá para zero. Portanto, temos uma assíntota horizontal em 𝑦 igual a zero. Vamos esboçar rapidamente os gráficos de 𝑔 de 𝑥 e 𝑓 de 𝑥, para que possamos ver como estas duas funções diferem, apesar de partilharem as mesmas assíntotas.

Como podemos ver nos esboços com o gráfico de 𝑔 de 𝑥 à esquerda e 𝑓 de 𝑥 à direita, as duas funções parecem idênticas. A única diferença é que, no gráfico de 𝑓 de 𝑥, o ponto que tem um valor de 𝑥 de menos dois não está definido. Se tivéssemos tentado determinar as assíntotas verticais sem anular o fator 𝑥 mais dois, o nosso denominador seria 𝑥 mais dois multiplicado por 𝑥 menos dois. E, ao determinar a assíntota vertical, definiríamos este denominador igual a zero. E teríamos dito que havia duas assíntotas verticais, uma em 𝑥 igual a menos dois e uma em 𝑥 igual a dois. No entanto, como podemos ver no nosso gráfico, não há assíntota em 𝑥 igual a menos dois. Tudo o que temos é um ponto não definido. Portanto, é muito importante verificar se não há fatores na nossa função que possam ser anulados antes de começarmos a determinar assíntotas.

Assim, vimos uma variedade de exemplos de como podemos determinar assíntotas e quão úteis podem ser as assíntotas, especialmente ao identificar ou desenhar gráficos. Agora, reveremos alguns dos principais pontos deste vídeo. Pontos chave. Para determinar assíntotas verticais, precisamos de identificar pontos que dão um denominador zero. No entanto, devemos ter cuidado para verificar se a função racional se pode simplificar. Para determinar assíntotas horizontais, precisamos de considerar o limite da função quando 𝑥 tende para mais ou menos infinito. As assíntotas de uma função podem ser úteis para nos ajudar a identificar ou esboçar o gráfico da função.

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