Vídeo: Encontrando a Solução Geral da Função do Seno Envolvendo Ângulos Notáveis

Qual é a solução geral do sen 𝜃 = √(2)/2?

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Transcrição do vídeo

Qual é a solução geral de sen 𝜃 é igual à raiz quadrada de dois sobre dois?

Bem, uma solução é 𝜋 sobre quatro radianos. Você sabe disso porque 𝜋 sobre quatro é um ângulo notável e, portanto, você sabe que o valor de sen 𝜋 sobre quatro é raiz de dois sobre dois. Se você não souber, então você poderia usar sua calculadora e colocar arcsen ou sen elevado a menos um da raiz de dois sobre dois, e isso lhe daria 𝜋 sobre quatro radianos, supondo que você a tivesse no modo radiano correto ou geralmente em graus ou alguma outra coisa.

Mas é claro que esta é apenas uma solução para a equação e gostaríamos da solução geral, então como achamos isso?

Dê uma olhada no gráfico de 𝑦 igual a sen 𝜃. Se desenharmos a reta 𝑦 igual a raiz dois sobre dois, vemos que ela intersecta o gráfico do seno infinitamente com frequência. Como esperado, uma dessas interseções ocorre quando 𝑥 é 𝜋 sobre quatro, que é uma das soluções que encontramos.

Podemos usar essa solução e as simetrias do gráfico do seno para encontrar todas as outras soluções. Por exemplo, podemos ver qual valor de 𝜃 corresponde a essa interseção?

Podemos ver que esse valor de 𝜃 está tão longe de 𝜋 quanto 𝜋 sobre quatro está longe de zero, então essa solução é 𝜋 menos 𝜋 sobre quatro, o que poderíamos escrever como três 𝜋 sobre quatro.

E se você não está convencido apenas olhando para o gráfico que isso é verdade, podemos usar o fato de que o sen 𝜋 menos 𝜃 é igual ao sen 𝜃. Então, sen 𝜋 menos 𝜋 sobre quatro é sen 𝜋 sobre quatro, apenas substituindo 𝜃 por 𝜋 sobre quatro. Porque sen 𝜋 sobre quatro é a raiz de dois sobre dois como mostramos anteriormente, e sen três 𝜋 sobre quatro é raiz de dois sobre dois também.

Agora temos duas soluções para nossa equação, mas ainda podemos ver no gráfico que existem muitas outras. No entanto, embora essas duas soluções não sejam as únicas soluções, elas são as únicas soluções entre zero e dois 𝜋.

Todas as outras soluções surgem devido à periodicidade da função seno. Por exemplo, esta solução é apenas dois 𝜋 a mais do que a solução que tínhamos antes, que era 𝜋 sobre quatro e, claro, haverá outra solução em outros dois 𝜋, embora não esteja desenhada no gráfico.

E o mesmo é verdade se subtrairmos dois 𝜋. De fato, para qualquer inteiro 𝑛, 𝜋 sobre quatro mais dois 𝜋𝑛 é uma solução. O mesmo vale para a solução três 𝜋 sobre quatro para qualquer inteiro 𝑛, três 𝜋 sobre quatro mais dois 𝜋𝑛 é uma solução para nossa equação e você deve ser capaz de ver no gráfico que qualquer solução para essa equação tem uma dessas duas formas.

Então, vamos escrever essas duas formas juntas e essa será nossa solução geral. Combinando as duas expressões que tivemos antes, obtemos a solução geral que 𝜃 é 𝜋 sobre quatro mais dois 𝜋𝑛 ou três 𝜋 sobre quatro mais dois 𝜋𝑛, onde 𝑛 é um inteiro.

Alternativamente, poderíamos optar por deixar 𝜋 menos 𝜋 sobre quatro sem simplificação. Isto torna mais fácil ver a relação que ele tem com o inverso da raiz de dois sobre dois, que é 𝜋 sobre quatro, e assim a mesma resposta escrita de uma maneira diferente e simplificada seria 𝜋 sobre quatro mais dois 𝜋𝑛 ou 𝜋 menos 𝜋 sobre quatro mais dois 𝜋𝑛, onde 𝑛 é um inteiro.

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