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Neste vídeo, aprenderemos como determinar e interpretar a probabilidade de acontecimentos compostos. Vamos considerar acontecimentos compostos independentes e dependentes.
Quando consideramos a probabilidade de um acontecimento simples, esta é a probabilidade de um único acontecimento que não depende de nenhum outro acontecimento. Por exemplo, o lançamento de uma moeda é um acontecimento simples. É um único acontecimento que resulta num de dois resultados, cara ou coroa.
Recordamos que a probabilidade do acontecimento A é todas as maneiras nas quais o acontecimento A pode acontecer sobre todos os resultados possíveis. Para um acontecimento simples, como o lançamento de uma moeda, descobrimos que a probabilidade de obter cara é de um sobre dois. Há uma maneira de sair cara na moeda das duas opções possíveis. Mas se lançarmos a moeda duas vezes, esta não atenderá mais à definição de acontecimento simples, pois não é um acontecimento único. Ao lançar a moeda duas vezes, passamos de um acontecimento simples para um acontecimento composto.
E agora, queremos saber como faríamos para determinar a probabilidade de um acontecimento composto. A probabilidade de um acontecimento composto ainda é igual ao número de resultados bem-sucedidos sobre todos os resultados possíveis. Mas são necessárias algumas etapas adicionais para a calcular. Vejamos um exemplo de como determinar a probabilidade de um acontecimento composto.
Se lançarmos uma moeda duas vezes, qual é a probabilidade de obter cara duas vezes?
Recordamos que a probabilidade é o número de resultados bem-sucedidos sobre todos os resultados possíveis. A moeda é lançada duas vezes. Podemos utilizar um diagrama em árvore para mostrar todos os resultados possíveis. No primeiro lançamento, tem um resultado possível de cara ou coroa. A probabilidade de obter cara no primeiro lançamento é um meio. E a probabilidade de obter coroa no primeiro lançamento é um meio.
E agora, precisamos de considerar duas situações diferentes. Consideramos o segundo lançamento se o primeiro lançamento foi cara. Enquanto o segundo lançamento pode ser apenas cara ou coroa, a probabilidade de que seja cara é um meio e a probabilidade de que seja coroa é novamente um meio. E agora, consideramos se o primeiro lançamento foi coroa, o segundo lançamento pode ser cara ou coroa. E cada uma destas opções tem uma probabilidade de um meio.
Utilizando o diagrama em árvore, podemos ver todos os resultados possíveis, cara, cara; cara, coroa; coroa, cara; ou coroa, coroa. Queremos saber a probabilidade de obter cara duas vezes. E isto acontece uma vez entre os quatro resultados possíveis. Podemos ver que a probabilidade de obter cara na primeira vez era um meio e a probabilidade de obter cara na segunda vez era um meio.
O que está a acontecer aqui é que, para determinar a probabilidade de termos cara duas vezes, consideramos a probabilidade de ter cara na primeira vez e depois multiplicamo-la pela probabilidade de ter cara na segunda vez. Um quarto é igual a um meio vezes um meio. Lembramos que também podemos escrever probabilidade na forma decimal. Portanto, a probabilidade, se lançarmos uma moeda duas vezes, de obter cara nas duas vezes é de um quarto, ou 0.25.
Aqui está outro exemplo de probabilidade de acontecimento composto simples.
Se estas duas roletas giratórias forem giradas, qual é a probabilidade de que a soma dos números em que as setas param seja um múltiplo de cinco?
Para determinar esta probabilidade, precisaremos de considerar girar o primeiro acontecimento giratório um e girar o segundo acontecimento giratório dois, tornando este um acontecimento composto. Se quisermos saber a probabilidade de que a soma das roletas seja um múltiplo de cinco, precisamos dos resultados múltiplos de cinco sobre os resultados totais. Existem alguns métodos que podemos utilizar. Poderemos criar um diagrama em árvore para a roleta um e a roleta dois. No entanto, como precisamos de somar os resultados da roleta um e da roleta dois, uma tabela provavelmente é uma escolha melhor.
Na primeira linha e na primeira coluna, adicionaremos se a roleta um parar em um e a roleta dois parar em dois, esta soma será três. E a seguir, consideraremos como a roleta um parou em um e a roleta dois parou em quatro. Esta soma será cinco. Preenchemos o resto da nossa tabela com as somas corretas. Na tabela, temos todos os resultados possíveis. E podemos circular as unidades que são múltiplos de cinco.
Identificamos cinco dos resultados que são múltiplos de cinco das 21 possibilidades. A probabilidade de que a soma das setas seja um múltiplo de cinco é cinco sobre 21. A fração não pode ser mais reduzida, então cinco sobre 21 é a resposta final.
Antes de seguirmos em frente e examinarmos outros exemplos, precisamos de examinar um pouco mais de perto os acontecimentos compostos. Existem dois tipos de acontecimentos compostos. Temos acontecimentos compostos que são independentes uns dos outros e acontecimentos compostos que são dependentes um do outro. Até agora, nos nossos exemplos anteriores, considerámos apenas acontecimentos independentes.
O lançamento de uma moeda várias vezes é independente. Quando lançamos uma moeda, o que acontece na primeira vez não afeta o que acontece na segunda vez. Se jogamos cara ou coroa no primeiro lançamento, não faz diferença na probabilidade do que acontecerá no segundo lançamento. A mesma coisa vale para as roletas. A primeira roleta – ou na verdade, o primeiro resultado – não tem influência sobre a que as próximas serão.
Por outro lado, se tivermos um saco cheio de berlindes e determinarmos a probabilidade de remover uma bola amarela e não a repusermos, estamos a alterar o número de resultados para o segundo acontecimento. Se estivéssemos à procura da probabilidade da primeira ser amarela e da segunda ser verde, primeiro determinamos a probabilidade de selecionar uma bola amarela. E a seguir, precisamos de calcular a probabilidade de selecionarmos uma verde, pois a amarela já foi retirada.
Se tivermos dois acontecimentos A e B, se o facto de A ocorrer não afetar a probabilidade de B ocorrer, os acontecimentos são independentes. E, nesse caso, dizemos que a probabilidade de A e B ocorrerem é a probabilidade de A vezes a probabilidade de B. Os acontecimentos compostos são dependentes se o facto de A ocorrer afeta a probabilidade de B ocorrer. E, nesse caso, a probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A vezes a probabilidade de B sabendo A.
Vamos considerar como determinamos a probabilidade de dois acontecimentos acontecerem se já sabemos que são acontecimentos independentes.
A e B são acontecimentos independentes, onde a probabilidade de A é um terço e a probabilidade de B é de dois quintos. Qual é a probabilidade de que os dois acontecimentos A e B ocorram?
Sabemos que estes são acontecimentos independentes, o que significa que a ocorrência do acontecimento A não afeta a probabilidade de B. E podemos dizer que a probabilidade de A e B ocorrerem é a probabilidade de A vezes a probabilidade de B. A probabilidade de A e B é igual a um terço vezes dois quintos. Multiplicamos os numeradores e depois multiplicamos os denominadores para obter dois quinze avos. E não podemos simplificar mais isto. Então, esta é a resposta final. A probabilidade de que os dois acontecimentos A e B ocorram é de dois quinze avos.
Esta questão foi realmente direta porque nos disseram que os acontecimentos eram independentes e nos deram as probabilidades de ambos. Nem sempre será tão simples. E, em muitos casos, precisaremos de determinar se os acontecimentos são ou não, de facto, independentes. Este é um dos momentos em que teremos que decidir se estes acontecimentos são independentes ou dependentes.
Um saco contém oito bolas vermelhas, sete bolas verdes, 12 bolas azuis, 15 bolas laranja e sete bolas amarelas. Se duas bolas forem retiradas consecutivamente sem substituição, qual é a probabilidade de a primeira bola ser vermelha e da segunda bola ser azul?
Devemos notar que estamos a considerar dois acontecimentos diferentes, o que significa que estes são acontecimentos compostos. E como estamos a retirar bolas do saco, não as estamos a substituir. Isto significa que a primeira coisa que acontecer afetará a probabilidade do segundo resultado. E isto diz-nos que estes são acontecimentos dependentes compostos. Quando procuramos a probabilidade de acontecimentos dependentes compostos, será igual à probabilidade do acontecimento A vezes a probabilidade do acontecimento B, sabendo que o acontecimento A ocorre.
Neste caso, queremos a probabilidade de retirar uma vermelha e depois uma azul. Sabemos que a probabilidade é igual aos resultados de sucesso sobre todos os resultados possíveis. E primeiro precisamos de determinar a probabilidade de escolhermos uma vermelha na primeira tiragem. Quando começámos, havia oito bolas vermelhas. No início, antes da tiragem, há um total de sete mais sete mais oito mais 12 mais 15 bolas no saco, para um total de 49. Na primeira tiragem, a probabilidade de retirar uma vermelha é igual a oito sobre 49.
Agora, se retirámos uma vermelha na primeira tiragem, restarão 48 bolas. E destas 48 bolas, 12 delas são azuis. A probabilidade de retirar uma vermelha e depois uma azul será oito sobre 49 vezes 12 sobre 48. Podemos reduzir estas frações antes de multiplicar. 12 sobre 48 simplifica para um quarto. E oito sobre quatro simplifica para dois sobre um. Portanto, a probabilidade de selecionar uma vermelha e uma azul é igual a dois sobre 49, que não pode ser mais simplificada. Então, é a resposta final, dois quarenta e nove avos.
Agora, veremos outro exemplo em que não nos é dito se os acontecimentos são independentes ou dependentes.
Um meteorito aterra ao acaso num campo que contém muitas ovelhas. Considerando o tamanho do meteorito, o tamanho do campo e a quantidade de espaço ocupado pelas ovelhas, a probabilidade de que algumas das ovelhas sejam feridas no incidente é de uma em 35. Perto dali, um painel cai de um helicóptero e cai num campo de vacas. O painel é bastante grande e o campo está cheio de vacas. Portanto, a probabilidade de algumas vacas serem feridas é de um terço. Qual é a probabilidade de que nenhum animal se ferido nos dois incidentes?
Estamos interessados em probabilidade. E houve dois incidentes. Então, sabemos que a probabilidade estará a lidar com acontecimentos compostos. Se considerarmos os dois acontecimentos, o impacto de um meteorito e o impacto de um painel de um helicóptero, estes dois acontecimentos são independentes ou dependentes? O facto do primeiro acontecimento afeta a probabilidade do segundo acontecimento? Se uma ovelha for ferida, isto muda a probabilidade de uma vaca ser ferida?
Como o facto do primeiro acontecimento não afeta a probabilidade do segundo acontecimento, podemos dizer que estes acontecimentos compostos são independentes. Como estamos a lidar com acontecimentos compostos independentes, a probabilidade de que os acontecimentos A e B ocorram é a probabilidade de A vezes a probabilidade de B.
Estamos interessados na probabilidade de que as ovelhas estejam seguras e as vacas estejam em segurança. Temos que ter cuidado aqui, porque nos deram apenas a probabilidade de que uma ovelha seja ferida. Para determinar a probabilidade de que as ovelhas estejam em segurança, podemos pegar na probabilidade de que as ovelhas sejam feridas e subtraí-la de um. Se houver uma probabilidade de uma em 35 de que as ovelhas sejam feridas, há uma probabilidade de 34 em 35 de que elas estejam em segurança. E assim, podemos pegar nesta informação e inseri-la na nossa fórmula. A probabilidade de que as ovelhas estejam em segurança é de 34 em 35.
Precisamos de seguir o mesmo processo para as vacas. A probabilidade de que as vacas estejam em segurança é um menos um terço, o que equivale a dois terços. E podemos substituir isto no acontecimento B. A probabilidade de que as ovelhas e as vacas estejam todas em segurança será igual à probabilidade de que as ovelhas estejam em segurança vezes a probabilidade de que as vacas estejam em segurança. 34 sobre 35 vezes dois terços e depois temos 68 sobre 105. A probabilidade de que nenhum animal se tenha ferido nos dois incidentes é de 68 de 105. Esta fração não pode ser reduzida, por isso está na sua forma final.
Nesta altura, devemos observar algo. Probabilidades com acontecimentos compostos são probabilidades que lidam com mais do que um acontecimento simples. E isto significa que podemos ter mais de dois acontecimentos que estamos a considerar. Poderia ter uma moeda lançada três vezes ou 15 vezes. Isto seria um acontecimento independente. E assim, para determinar a probabilidade de acontecimentos independentes onde são mais do que dois acontecimentos, seguimos o mesmo procedimento. Multiplicaremos a probabilidade do acontecimento A pela probabilidade do acontecimento B pela probabilidade do acontecimento C.
Os acontecimentos dependentes seguirão o mesmo procedimento, mas precisaremos de ter um pouco mais de cuidado. Para determinar a probabilidade de três acontecimentos dependentes, A e B e C, determinaremos a probabilidade de A vezes a probabilidade de B sabendo A. E a seguir, teremos que multiplicar isto pela probabilidade de C sabendo A e B.
Vamos resumir o que aprendemos. A probabilidade composta está relacionada com a probabilidade de mais do que um acontecimento ocorrer. Os acontecimentos compostos podem ser independentes ou dependentes. Para acontecimentos compostos independentes, a probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A vezes a probabilidade de B. Para calcular a probabilidade de acontecimentos compostos dependentes, dizemos que a probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A vezes a probabilidade de B sabendo A.
