Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos sobre progressões geométricas. Vamos descobrir como encontrar o termo geral ou 𝑛-ésimo termo e como encontrar a regra termo a termo. Também abordaremos como encontrar a ordem de um termo dado seu valor.
A primeira coisa a notar sobre uma progressão geométrica é que essas são sequências em que a razão entre os termos é constante. Observe que isso é diferente das progressões aritméticas, em que a diferença entre os termos que é constante. Podemos descrever uma progressão geométrica de duas maneiras, usando uma regra de termo a termo ou usando uma regra de posição a termo. A regra da posição do termo geralmente é chamado de 𝑛-ésimo termo é muito útil para encontrar o valor de um termo específico. Por exemplo, se quiséssemos encontrar o 15º termo de uma progressão, poderíamos calculá-lo diretamente substituindo 15 na regra do 𝑛-ésimo termo em vez de ter que calcular todos os termos até o 15º usando a regra termo a termo.
Então, vamos pensar sobre algumas notações que usamos em progressões geométricas. Dizemos que se o primeiro termo é denotado como a letra 𝑎 e a razão comum é 𝑟, então nossa progressão seria assim. O primeiro termo é 𝑎. O segundo termo seria 𝑎𝑟 porque multiplicamos o primeiro termo 𝑎 pela razão comum 𝑟. Multiplicando o segundo termo 𝑎𝑟 por outro 𝑟 nos daria 𝑎𝑟 ao quadrado. Podemos significar os termos usando a notação subscrita. Por exemplo, o primeiro termo seria escrito como 𝑎 sub um, o segundo termo seria escrito como 𝑎 sub dois, o terceiro como 𝑎 sub três e assim por diante.
Então, como poderíamos encontrar uma regra para encontrar o 𝑛-ésimo termo que está escrito como 𝑎 sub 𝑛? Bem, poderíamos começar observando que cada termo tem um valor de expoente de 𝑟 que é um a menos que o número do termo. Sabemos que o 𝑛-ésimo termo ainda teria um valor de 𝑎 e o expoente de 𝑟 seria um a menos que 𝑛. Podemos, portanto, dizer que o 𝑛-ésimo termo de qualquer progressão geométrica pode ser escrito como 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Lembramos, é claro, que é apenas o 𝑟 que é elevado a 𝑛 menos um e não inclui o 𝑎 também. Então, vamos ver como podemos colocar essa fórmula em prática para encontrar o 𝑛-ésimo termo de nossa primeira progressão geométrica.
Encontre o termo geral da progressão geométrica menos 76, menos 38, menos 19, menos 19 sobre dois.
Outra maneira de expressar o termo geral é o 𝑛-ésimo termo. Então, estamos procurando o 𝑛-ésimo termo dessa progressão geométrica, que é uma sequência que tem uma razão comum entre os termos. Então, vamos dar uma olhada na progressão e ver o que podemos determinar. Em primeiro lugar, podemos ver que o primeiro termo na progressão é menos 76. Quando estamos trabalhando com progressões geométricas, geralmente usamos a letra 𝑎 para significar o primeiro termo da progressão. Para encontrar o 𝑛-ésimo termo, também precisaremos encontrar 𝑟, a razão comum. Quando consideramos uma progressão geométrica geral escrita como 𝑎 depois 𝑎𝑟 depois 𝑎𝑟 ao quadrado e assim por diante, podemos encontrar a razão comum 𝑟 dividindo qualquer termo pelo termo imediatamente anterior.
Então, aqui, poderíamos pegar o segundo termo de menos 38 e dividi -lo por menos 76. Portanto, 𝑟 é igual a um meio. Observe que mesmo se tivéssemos escolhido dois termos diferentes, por exemplo, se dividíssemos o terceiro termo de menos 19 pelo segundo termo de menos 38, ainda teríamos encontrado a razão comum 𝑟 como sendo um meio. Afinal, se não fosse o mesmo, não teríamos uma progressão geométrica.
Então, agora que encontramos os valores de 𝑎 e 𝑟, lembramos a fórmula geral para o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. 𝑎 sub 𝑛, que é o 𝑛-ésimo termo, é igual a 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Tudo o que precisamos fazer agora é inserir os valores de 𝑎 igual a menos seis e 𝑟 igual a um meio nesta fórmula. Isso nos dá 𝑎 sub 𝑛 é igual a menos 76 vezes um meio elevado a 𝑛 menos um. Como não podemos simplificar mais, essa é a nossa resposta para o termo geral ou o 𝑛-ésimo termo da progressão geométrica.
Vamos dar uma olhada em outra pergunta em que estamos encontrando o 𝑛-ésimo termo de uma progressão um pouco mais complexa.
Encontre, em termos de 𝑛, o termo geral da progressão um quarto, nove sobre 16, 81 sobre 64, 729 sobre 256 e assim por diante.
Nesta pergunta, recebemos os quatro primeiros termos dessa progressão. Não parece haver uma diferença comum entre os termos, então podemos dizer que definitivamente não é uma progressão aritmética. Podemos verificar se é uma progressão geométrica que teria uma razão comum entre os termos, vendo se podemos descobrir qual seria essa razão comum.
Para encontrar a razão 𝑟 entre os dois primeiros termos, pegaríamos o segundo termo, nove sobre 16, e dividiríamos pelo termo anterior, um quarto. Podemos lembrar que dividir por um quarto, isso seria equivalente a multiplicar pelo inverso, que seria quatro sobre um. Podemos simplificar o quatro no numerador e o 16 no denominador tirando um fator de quatro. Em seguida, multiplicamos nossos numeradores e denominadores. Nove vezes um nos dá nove e quatro vezes um nos dá quatro. Podemos verificar se há a mesma razão entre o terceiro termo e o segundo termo. Então, calculamos 81 sobre 64 dividido por nove sobre 16. Podemos ver que o inverso de nove sobre 16 seria 16 sobre nove. E simplificamos as frações antes de multiplicar os numeradores e denominadores, o que nos dá a mesma razão comum 𝑟 de nove sobre quatro. E se verificarmos isso calculando o que precisamos para multiplicar o terceiro termo 81 sobre 64 para obter o quarto termo de 729 sobre 256, obteremos a mesma resposta de nove sobre quatro.
Então, vamos pensar em como encontraríamos o termo geral dessa sequência. Podemos lembrar que o termo geral é outra maneira de dizer o 𝑛-ésimo termo. Podemos lembrar que a fórmula para encontrar o 𝑛-ésimo termo 𝑎 sub 𝑛 é que 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. O valor 𝑟 representa a razão comum e o valor 𝑎 representa o primeiro termo da progressão. Já estabelecemos que 𝑟 é igual a nove sobre quatro e o valor de 𝑎, o primeiro termo na progressão, seria um quarto. Podemos então pegar os valores de 𝑎 e 𝑟 e inseri-los nessa fórmula. Isso nos dá 𝑎 sub 𝑛 igual a um quarto vezes nove quartos elevado a 𝑛 menos um.
Embora essa seja uma resposta perfeitamente válida para o 𝑛-ésimo termo da progressão, pode valer a pena ver se podemos simplificar ainda mais esse lado direito. Podemos começar nossa simplificação pensando no que acontece quando temos uma potência de uma fração. Uma fração com um certo valor de expoente é equivalente ao numerador com esse expoente sobre o denominador com esse expoente. Se considerarmos essas frações multiplicadas, multiplicar os numeradores um vezes nove elevado a 𝑛 menos um nos daria o valor no numerador de nove elevado a 𝑛 menos um. Multiplicando os denominadores nos daria quatro vezes quatro elevado a 𝑛 menos um.
Se olharmos para o denominador, podemos aplicar outra propriedade de expoente que 𝑥 elevado a 𝑎 multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑏 é igual a 𝑥 elevado a 𝑎 mais 𝑏. No denominador, o valor de 𝑥 aqui seria quatro. E nossos valores de 𝑎 e 𝑏, que são os expoentes, seriam representados por um e 𝑛 menos um. Adicionando um e 𝑛 menos um nos deixaria com o valor de 𝑛. Então, encontramos uma resposta totalmente simplificada para o termo geral dessa progressão em termos de 𝑛. São nove elevado a 𝑛 menos um sobre quatro elevado a 𝑛.
Nas duas perguntas que acabamos de ver, estamos encontrando o 𝑛-ésimo termo ou a regra da posição a termo. Na próxima pergunta, veremos como encontraríamos uma regra termo a termo.
Encontre uma fórmula recursiva para a progressão 486, 162, 54, 18, seis, dois, dois terços.
Então, aqui temos uma sequência que começa com o número 486, e somos solicitados a encontrar uma fórmula recursiva. Isso significa que, em vez de encontrar um termo geral ou um 𝑛-ésimo termo para a progressão, encontraremos uma regra de termo a termo. Isso significa que vamos pensar em como vamos de um termo para outro. Vamos começar vendo se podemos encontrar uma razão comum entre os termos. Podemos significar isso com a letra 𝑟. Em uma progressão geométrica, dizemos que o primeiro termo é 𝑎, o segundo termo seria 𝑎 vezes a razão comum 𝑟, o terceiro termo seria 𝑎𝑟 ao quadrado e o quarto termo seria 𝑎𝑟 ao cubo e assim por diante. Portanto, para encontrar a razão entre os termos, pegamos qualquer termo e dividimos pelo termo imediatamente anterior.
Então, poderíamos, por exemplo, pegar o segundo termo de 162 e dividir pelo termo anterior, 486. Ou, se for uma progressão geométrica, como assumimos, poderíamos pegar o terceiro termo e dividir pelo segundo termo. Poderíamos até pegar o sexto termo de dois e dividir pelo quinto termo. Esperamos ver imediatamente que dois sextos podem ser simplificados para um terço. Então, as outras duas frações aqui também simplificam para um terço? Bem, se pegarmos 54 e adicionarmos 54, são 108. E adicionar mais 54 nos daria 162. Portanto, essa fração também simplificaria para um terço. 162 sobre 486 também nos daria um terço.
Parece que temos uma razão comum de um terço. De fato, se tomarmos quaisquer dois termos consecutivos nessa progressão, descobriremos que precisamos multiplicar o primeiro um por um terço para obter o segundo. Os termos que recebemos definitivamente têm uma razão comum de um terço. Então, isso responde à pergunta para encontrar uma fórmula recursiva? É suficiente dizer que multiplicaríamos um termo por um terço para encontrar o próximo?
Bem, não exatamente. Podemos usar alguma notação mais formal aqui. Dizemos que o primeiro termo 𝑎 um será igual a 486. Para encontrar o segundo termo, sabemos que isso seria 486 vezes a razão 𝑟 de um terço. Então, 𝑎 sub dois, o segundo termo, é igual a um terço de 𝑎 sub um. Da mesma forma, se quiséssemos encontrar o terceiro termo e não soubéssemos o valor dele, pegamos o segundo termo e o multiplicamos pela razão 𝑟 de um terço. Poderíamos continuar assim para dizer que o quarto termo seria igual a um terço vezes o terceiro termo.
Então, se quiséssemos encontrar o 𝑛-ésimo termo dessa progressão, calcularíamos um terço multiplicado pelo termo anterior, escrito como 𝑎 sub 𝑛 menos um. É aqui que obtemos a fórmula útil de que, se quisermos encontrar o termo 𝑛 mais um de uma progressão, multiplicamos a razão comum pelo 𝑛-ésimo termo. Parece a fórmula para o 𝑛-ésimo termo de uma progressão, mas desta vez o termo é baseado no termo anterior, em vez do termo inicial de uma progressão. Mas aqui, podemos dar nossa resposta que qualquer termo na progressão 𝑎 sub 𝑛 pode ser calculado por um terço vezes o termo anterior, 𝑎 sub 𝑛 menos um.
Na próxima pergunta, veremos como podemos encontrar a ordem de um termo dado seu valor e o 𝑛-ésimo termo da progressão.
Encontre a ordem do termo cujo valor é 4374 na progressão geométrica 𝑎 sub 𝑛 é igual a dois terços vezes três elevado a 𝑛.
Vamos começar analisando as informações que recebemos. Este valor de 𝑎 sub 𝑛 representa o 𝑛-ésimo termo dessa progressão. Somos solicitados a encontrar a ordem do termo cujo valor é 4374. Isso significa que temos uma progressão, e em algum lugar dessa progressão está esse valor de 4374. A ordem desse termo significa que estamos realmente perguntando: é o segundo termo, o 10º termo, o 100º termo? Isso é o que precisamos descobrir. Podemos fazer isso dizendo vamos descobrir a ordem desse termo 𝑛 e, em seguida, nosso 𝑛-ésimo termo será 4374. Poderíamos então preencher isso na fórmula e reorganizar para encontrar esse valor de 𝑛, o que nos daria a ordem desse termo.
Podemos começar nosso rearranjo dividindo ambos os lados dessa equação por dois terços. No lado esquerdo, podemos lembrar que, para dividir por uma fração, multiplicamos pelo seu inverso. E do lado direito, ficaremos com três elevado a 𝑛. Podemos simplificar os valores do lado esquerdo. Então, calculamos 2187 multiplicado por três, o que nos dá 6561 é igual a três elevado a 𝑛.
Agora, neste estágio, há um ramo da matemática chamado logaritmo, que nos ajudaria a resolver esse problema diretamente. Mas como a maioria das pessoas aprende isso muito depois de aprender sobre progressões geométricas, usaremos um pouco de tentativa e erro aqui. Lembre-se de que um valor como três elevado a 𝑛 é igual a 6561 é realmente equivalente a dizer três elevado a potência do que nos dá esse valor. Você pode saber suas primeiras potências de três de cor, até cerca de três elevado a quatro é igual a 81. Poderíamos então continuar com mais algumas multiplicando cada um dos valores por três à medida que subimos. Se estivermos usando um método que não seja de calculadora, provavelmente precisaremos começar a usar lápis e papel para calcular. Mas então, descobrimos que três elevado a oito é igual a 6561. Isso significa que nosso valor de 𝑛 aqui deve ser igual a oito. Assim, podemos dar nossa resposta que a ordem do termo cujo valor é 4374 é oito, pois seria o oitavo termo nessa progressão.
Agora podemos resumir o que aprendemos neste vídeo. Em primeiro lugar, vimos que uma progressão geométrica é uma sequência em que a razão entre os termos é constante. Para um primeiro termo 𝑎 e uma razão comum 𝑟, temos os termos da progressão como 𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟 ao quadrado, 𝑎𝑟 elevado à terceira potência e assim por diante. Para encontrar a razão comum 𝑟 dado um valor de termos em uma progressão, podemos dividir qualquer termo por seu termo anterior. Por exemplo, 𝑟 pode ser encontrado dividindo o terceiro termo pelo segundo termo. A regra da posição ao termo ou o 𝑛-ésimo termo pode ser escrito como 𝑎 sub 𝑛 igual a 𝑎 vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um.
Por fim, vimos a regra termo a termo, ou fórmula recursiva, que pode ser escrita como 𝑎 sub 𝑛 mais um igual a 𝑟 vezes 𝑎 sub 𝑛, lembrando que isso significa se quisermos encontrar o valor do termo com ordem 𝑛 mais um, então pegamos o valor do termo com ordem 𝑛 e o multiplicamos pela razão comum 𝑟.
