Vídeo: Determinando o Número de Soluções de Sistemas de Equações Lineares

Quantas soluções existem para o sistema de equações 𝑥 + 7𝑦 = 20 e 2𝑥 + 14𝑦 = 40?

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Quantas soluções existem para o sistema de equações 𝑥 mais sete 𝑦 é igual a 20 e dois 𝑥 mais 14𝑦 é igual a 40?

Nosso método usual para resolver um sistema de equações lineares é fazer os coeficientes 𝑥 ou 𝑦 iguais. Nesse caso, poderíamos multiplicar a primeira equação por dois ou, alternativamente, poderíamos dividir a segunda equação por dois. Multiplicar a primeira equação por dois nos dá dois 𝑥 mais 14 𝑦 é igual a 40.

Nesta fase você notará que as duas equações são realmente idênticas. Então, inicialmente pensamos que tínhamos um sistema de equações. Mas, na realidade, neste caso, precisamos apenas resolver uma equação. Se considerarmos a versão simplificada da equação 𝑥 mais sete 𝑦 igual a 20, podemos ver imediatamente que existem muitas soluções de valor inteiro.

Por exemplo, quando 𝑥 é igual a 13 e 𝑦 é igual a um, 𝑥 mais sete 𝑦 é igual a 20, como 13 mais sete multiplicado por um é igual a 20. Os valores 𝑥 igual a seis e 𝑦 igual a dois também resolvem a equação como seis mais sete multiplicados por dois é igual a 20. Podemos estender isso para soluções negativas. Quando 𝑥 é igual a menos oito e 𝑦 é igual a quatro, menos oito e sete multiplicados por quatro são iguais a 20, sendo menos oito mais 28 iguais a 20.

As três soluções que vimos até agora são todas soluções inteiras para 𝑥 e 𝑦. Mas quando estendemos isso para frações ou decimais, podemos ver que existe um número infinito de soluções para a equação 𝑥 mais sete 𝑦 é igual a 20. Como 𝑥 mais sete 𝑦 é igual a 20 tem um número infinito de soluções, o sistema de equações nesta questão também deve ter um número infinito de soluções.

Podemos estender esse passo um a um, para dizer que qualquer equação linear da forma 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 é igual a 𝑐 onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes, tem um número infinito de soluções. Em termos de sistema de equações, haverá um número infinito de soluções se e somente se as duas equações forem idênticas. Nós também poderíamos ter resolvido esta equação graficamente.

Reescrevendo as duas equações na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐 nos dá 𝑦 igual a menos um sétimo 𝑥 mais 20 sétimos e a segunda equação 𝑦 é igual a menos dois 14 avos 𝑥 mais 40 14 avos. Como os dois gradientes são iguais, as duas retas seriam definitivamente paralelas. Além disso, como o valor interceptado também é igual, as duas retas serão posicionadas exatamente uma em cima da outra.

Ambas as retas têm um gradiente de menos um sétimo e um valor interceptado em 𝑦 de 20 sétimos. Isso significa que elas terão um número infinito de soluções.

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