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Aula: Determinando as Equações da Tangente e da Normal a uma Curva Definida Parametricamente

Atividade • 17 Questões

Q1:

Determine uma equação da tangente à curva 𝑥 = 𝑒 𝜋 𝑡 𝑡 s e n , 𝑦 = 𝑒 2 𝑡 no ponto correspondente ao valor 𝑡 = 0 .

  • A 𝑦 = 2 𝜋 𝑥 + 1
  • B 𝑦 = 2 𝑥 + 1
  • C 𝑦 = 1 𝜋 𝑥 + 1
  • D 𝑦 = 𝜋 2 𝑥 + 1
  • E 𝑦 = 𝑥 + 1

Q2:

Determine uma equação da tangente à curva 𝑥 = 𝑡 𝑡 c o s , 𝑦 = 𝑡 𝑡 s e n num ponto correspondente ao valor 𝑡 = 𝜋 .

  • A 𝑦 = 𝜋 𝑥 + 𝜋
  • B 𝑦 = 𝜋 𝑥 𝜋
  • C 𝑦 = 𝜋 𝑥 + 𝜋
  • D 𝑦 = 𝜋 𝑥 𝜋
  • E 𝑦 = 𝜋 𝑥 + 𝜋

Q3:

Determine um equação da tangente à curva 𝑥 = 1 + 𝑡 , 𝑦 = 𝑒 𝑡 2 no ponto ( 2 , 𝑒 ) .

  • A 𝑦 = 4 𝑒 𝑥 7 𝑒
  • B 𝑦 = 2 𝑒 𝑥 + 4 𝑒
  • C 𝑦 = 2 𝑒 𝑥 3 𝑒
  • D 𝑦 = 4 𝑒 𝑥 + 9 𝑒
  • E 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑒

Q4:

Determine uma equação para a tangente à curva 𝑥 = 1 + 𝑡 l n , 𝑦 = 𝑡 + 2 2 no ponto ( 1 , 3 ) .

  • A 𝑦 = 2 𝑥 + 1
  • B 𝑦 = 1 2 𝑥 5 2
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥 + 5 2
  • D 𝑦 = 2 𝑥 1
  • E 𝑦 = 𝑥 + 2

Q5:

Uma curva ciclóide é dada pelas equações 𝑥 = 𝑟 ( 𝑡 𝑡 ) s e n e 𝑦 = 𝑟 ( 1 𝑡 ) c o s .

Encontre a tangente ao ciclóide no ponto em que 𝑡 = 𝜋 3 .

  • A 𝑦 𝑟 2 = 3 𝑥 𝑟 𝜋 3 + 𝑟 3 2
  • B 𝑦 𝑟 2 = 1 3 𝑥 𝑟 𝜋 3 𝑟 3 2
  • C 𝑦 𝑟 2 = 1 3 𝑥 𝑟 𝜋 3 𝑟 3 2
  • D 𝑦 𝑟 2 = 1 2 𝑥 𝑟 𝜋 3 𝑟 3 2
  • E 𝑦 𝑟 2 = 3 2 𝑥 𝑟 𝜋 3 + 𝑟 3 2

Encontre todos os pontos na curva onde a tangente é horizontal.

  • A ( 𝜋 𝑟 ( 2 𝑛 1 ) , 2 𝑟 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • B ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 0 ) , ( 𝜋 𝑟 ( 2 𝑛 1 ) , 2 𝑟 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • C ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 0 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • D ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 2 𝑟 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • E ( 𝜋 𝑟 ( 2 𝑛 1 ) , 2 𝑟 ) , ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 0 ) onde 𝑛 é um inteiro

Encontre todos os pontos na curva onde a tangente é vertical.

  • A ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 0 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • B ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 0 ) , ( 𝜋 𝑟 ( 2 𝑛 1 ) , 2 𝑟 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • C ( 𝜋 𝑟 ( 2 𝑛 1 ) , 2 𝑟 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • D ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 2 𝑟 ) onde 𝑛 é um inteiro
  • E ( 𝜋 𝑟 ( 2 𝑛 1 ) , 2 𝑟 ) , ( 2 𝑛 𝜋 𝑟 , 0 ) onde 𝑛 é um inteiro

Q6:

Encontre o valor de 𝑚 em que a curva 𝑥 = 8 𝑚 + 5 𝑚 + 𝑚 1 3 2 , 𝑦 = 5 𝑚 𝑚 + 2 2 tem uma tangente vertical.

  • A 1 6 , 1 4
  • B 1 6
  • C 1 1 0
  • D 1 4
  • E 1 4 , 1 6

Q7:

Determine todas as equações possíveis das tangentes à curva 𝑥 = 3 𝑡 + 1 2 , 𝑦 = 2 𝑡 + 1 3 que passa pelo ponto ( 4 , 3 ) .

  • A 𝑦 = 𝑥 1 , 𝑦 = 2 𝑥 + 1 1
  • B 𝑦 = 𝑥 1 , 𝑦 = 𝑥 + 7 , 𝑦 = 2 𝑥 + 1 1
  • C 𝑦 = 𝑥 1
  • D 𝑦 = 2 𝑥 + 1 1
  • E 𝑦 = 𝑥 1 , 𝑦 = 𝑥 + 7

Q8:

Encontre a equação da tangente à curva 𝑥 = 𝑡 + 1 3 , 𝑦 = 𝑡 + 𝑡 4 no ponto correspondente ao valor 𝑡 = 1 .

  • A 𝑦 = 𝑥
  • B 𝑦 = 2 𝑥
  • C 𝑦 = 𝑥
  • D 𝑦 = 3 𝑥
  • E 𝑦 = 3 𝑥

Q9:

Uma curva 𝐶 está definida pelas equações paramétricas 𝑥 = 𝑡 2 e 𝑦 = 𝑡 3 𝑡 3 .

Determine as duas equações das tangentes à curva 𝐶 no ponto ( 3 , 0 ) .

  • A 𝑦 = 3 ( 𝑥 3 ) , 𝑦 = 3 ( 𝑥 3 )
  • B 𝑦 = 6 𝑥 3 2 , 𝑦 = 6 𝑥 3 2
  • C 𝑦 = 1 3 ( 𝑥 3 ) , 𝑦 = 1 3 ( 𝑥 3 )
  • D 𝑦 = 1 3 𝑥 3 2 , 𝑦 = 1 3 𝑥 3 2
  • E 𝑦 = 3 𝑥 3 2 , 𝑦 = 3 𝑥 3 2

Determine todos os pontos possíveis em 𝐶 em que a tangente é horizontal.

  • A ( 1 , 2 ) , ( 1 , 2 )
  • B ( 0 , 0 ) , ( 3 , 0 )
  • C ( 0 , 0 )
  • D ( 3 , 0 )
  • E ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 2 )

Determine todos os pontos possíveis em 𝐶 em que a tangente é vertical.

  • A ( 0 , 0 )
  • B ( 0 , 0 ) , ( 3 , 0 )
  • C ( 1 , 2 ) , ( 1 , 2 )
  • D ( 3 , 0 )
  • E ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 2 )

Q10:

Determine uma equação da tangente à curva 𝑥 = 𝑡 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 + 𝑡 + 1 no ponto ( 0 , 3 ) .

  • A 𝑦 = 3 𝑥 + 3
  • B 𝑦 = 3 𝑥 + 3
  • C 𝑦 = 1 3 𝑥 + 3
  • D 𝑦 = 1 3 𝑥 3
  • E 𝑦 = 3 𝑥 3

Q11:

Considere a curva 𝑥 = 𝑒 s e n 𝜃 , 𝑦 = 𝑒 c o s 𝜃 .

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente é horizontal.

  • A ( 1 , 𝑒 ) , 1 , 𝑒 1
  • B sem tangentes horizontais.
  • C ( 𝑒 , 1 ) , 𝑒 , 1 1
  • D ( 1 , 𝑒 ) , 1 , 𝑒 1 , ( 𝑒 , 1 ) , 𝑒 , 1 1
  • E 1 , 𝑒 1

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente é vertical.

  • A ( 𝑒 , 1 ) , 𝑒 , 1 1
  • B sem tangentes verticais.
  • C ( 1 , 𝑒 ) , 1 , 𝑒 1
  • D ( 1 , 𝑒 )
  • E ( 1 , 𝑒 ) , 1 , 𝑒 1 , ( 𝑒 , 1 ) , 𝑒 , 1 1

Q12:

Considere a curva 𝑥 = 𝑡 3 𝑡 3 , 𝑦 = 𝑡 3 𝑡 3 2 .

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente é horizontal.

  • A ( 2 , 4 ) , ( 0 , 0 )
  • BNão há tangentes horizontais.
  • C ( 2 , 2 ) , ( 2 , 4 )
  • D ( 0 , 0 )
  • E ( 2 , 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 2 )

Encontre todos os pontos nesta curva onde a tangente é vertical.

  • A ( 2 , 2 ) , ( 2 , 4 )
  • BNão há tangentes verticais.
  • C ( 2 , 4 ) , ( 0 , 0 )
  • D ( 2 , 2 )
  • E ( 2 , 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 2 )

Q13:

Determine a equação da normal para a curva 𝑥 = 4 𝜃 + 3 c o t g , 𝑦 = 3 𝜃 + 2 𝜃 s e n s e c em 𝜃 = 𝜋 4 .

  • A 𝑥 + 5 𝑦 8 1 9 1 6 = 0
  • B 𝑥 + 8 𝑦 5 2 3 5 = 0
  • C 5 𝑥 8 + 𝑦 3 3 8 = 0
  • D 𝑥 + 5 𝑦 8 5 1 1 6 = 0

Q14:

Determine uma equação da tangente à curva 𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 2 𝑡 2 ao ponto correspondente ao valor 𝑡 = 4 .

  • A 𝑦 = 2 4 𝑥 4 0
  • B 𝑦 = 3 0 𝑥 5 2
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥 1 6
  • D 𝑦 = 1 6 𝑥 2 4
  • E 𝑦 = 3 2 𝑥 5 6

Q15:

Encontre a equação da normal para as curvas 𝑥 = 2 𝜃 s e c e 𝑦 = 4 𝜃 t g para 𝜃 = 𝜋 6 .

  • A 4 𝑦 𝑥 + 2 0 3 3 = 0
  • B 𝑦 + 4 𝑥 2 0 3 3 = 0
  • C 𝑦 4 𝑥 + 4 3 = 0
  • D 4 𝑦 𝑥 4 3 = 0

Q16:

Determine o declive da tangente ao astroide 𝑥 = 𝑎 𝜃 c o s 3 , 𝑦 = 𝑎 𝜃 s e n 3 em termos de 𝜃 .

  • A 𝜃 t g
  • B t g 𝜃
  • C 𝜃 c o t g
  • D c o t g 2 𝜃
  • E 𝜃 t g 2

Q17:

Sendo 𝑥 = 2 𝑡 9 3 e 𝑦 = 7 𝑡 + 8 3 , determine a equação da tangente à curva em 𝑡 = 1 .

  • A 7 𝑥 + 1 8 𝑦 9 5 = 0
  • B 7 𝑥 + 1 8 𝑦 + 5 9 = 0
  • C 7 𝑥 + 1 8 𝑦 1 2 = 0
  • D 7 𝑥 + 1 8 𝑦 + 5 9 = 0
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