Aula: Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Matemática

Nesta aula, nós vamos aprender como encontrar a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva orientada diferenciável no plano.

Atividade

Q1:

Na figura, a curva 𝐶 de 𝑃 a 𝑄 consiste em dois quartos de circunferências unitárias, uma com centro (1, 0) e outra com centro (3, 0). Calcule o integral de linha 𝐹𝑟d, em que 𝐹=𝑥2𝑦2sensen𝑖𝑥2𝑦2𝑗coscos.

Q2:

Seja 𝑃 o arco de uma circunferência unitária no plano 𝑥𝑦 atravessado no sentido anti-horário a partir de (0;1) a (1;0). Determine o valor exato da integral de linha do campo vetorial 𝐹(𝑥;𝑦;𝑧)=3𝑥𝑒𝑖+2𝑦𝑧𝑒𝑗+𝑦𝑒𝑘 sobre 𝑃.

Q3:

Nós exploramos um exemplo onde um campo vetorial 𝐹=(𝐹,𝐹) satisfaz 𝜕𝐹𝜕𝑦𝜕𝐹𝜕𝑥=0 mas não vem de um potencial. No plano com a origem removida, considere o campo vetorial 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦.

No meio plano (aberto) 𝑥>0, podemos definir a função de ângulo 𝜃(𝑥,𝑦)=𝑦𝑥arctan. Isso é bem definido e dá um valor entre 𝜋2 e 𝜋2. Qual é o gradiente 𝜃?

Usando a figura mostrada, use 𝜃 acima para definir a função do ângulo 𝜃(𝑥,𝑦) na região 𝑦>0 por uma composição adequada com uma rotação de 𝜋2.

Qual é 𝜃(𝑥,𝑦)?

Desde que 𝜃 e 𝜃 concorda com o quadrante 𝑥>0, 𝑦>0, podemos definir o ângulo 𝑇(𝑥,𝑦) em cada ponto da união com valores entre 𝜋2 e 3𝜋2. Use as funções 𝜃 e 𝜃 para encontrar 𝐹𝑟d, onde 𝐶 é o arco do círculo unitário de 12,32 a 12,12? Responda em termos de 𝜋.

Da mesma forma, podemos definir 𝜃 no meio-plano 𝑥<0 e 𝜃 em 𝑦<0. Então, calcule a integral de linha 𝐹𝑟d ao redor do círculo de raio 2, começando de 𝑃(1,1) e indo no sentido anti-horário de volta para 𝑃, afirmando sua resposta em termos de 𝜋.

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