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Aula: Raízes Reais e Complexas de Polinómios

Nesta aula, nós vamos aprender como determinar o número e o tipo de raízes de polinómios e como determinar coeficientes desconhecidos se as raízes são fornecidas.

Atividade • 17 Questões

Q1:

Determine o tipo de raízes da equação ( 2 𝑥 − 4 ) + 1 7 = 0 2 .

  • Areais e iguais
  • Bcomplexos e não reais
  • Creais e diferentes

Q2:

Encontre a equação quadrática cujas raízes são 9 + 7 𝜔 𝑖 e 9 + 7 𝜔 𝑖 .

  • A 𝑥 − ( 1 8 − 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 − 6 3 𝑖 = 0
  • B 𝑥 + ( 1 8 − 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 − 6 3 𝑖 = 0
  • C 𝑥 + ( 1 8 − 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 + 6 3 𝑖 = 0
  • D 𝑥 − ( 1 8 − 7 𝑖 ) 𝑥 + 3 2 + 6 3 𝑖 = 0

Q3:

Se 𝑎 + 𝑏 𝑖 é uma raiz do polinômio 𝑓 ( 𝑥 ) , qual é o valor de 𝑓 ( 𝑎 + 𝑏 𝑖 ) ?

Q4:

Resolva a equação 𝑥 + 1 = 0 3 , 𝑥 ∈ ℂ .

  • A 1 2 + √ 3 2 𝑖 ; − 1 ; 1 2 − √ 3 2 𝑖
  • B − 1 2 + √ 3 2 𝑖 ; − 1 2 − √ 3 2 𝑖 ; 1
  • C 1 2 + √ 3 2 𝑖
  • D 1 2 + √ 3 2 𝑖 ; − 1 2 + √ 3 2 𝑖 ; − 1

Q5:

Sabendo que tem um zero em e , determine os valores de , e .

  • A , ,
  • B , ,
  • C , ,
  • D , ,
  • E , ,

Q6:

É possível que um polinômio com coeficientes reais tenha exatamente 3 raízes não reais?

  • A sim
  • B não

Q7:

Dada a equação 𝑥 − 1 2 1 𝑦 + ( 𝑥 + 1 1 𝑦 ) 𝑖 = 5 ( 1 + 𝑖 ) , em que 𝑥 e 𝑦 são números reais, determine o valor de 𝑥 e o valor de 𝑦 .

  • A 𝑥 = 3 , 𝑦 = 2 1 1
  • B 𝑥 = 6 , 𝑦 = 5 1 1
  • C 𝑥 = 3 , 𝑦 = − 2 1 1
  • D 𝑥 = 6 , 𝑦 = 6 1 1
  • E 𝑥 = 3 , 𝑦 = 3 1 1

Q8:

Encontre a equação quadrática cujas duas raízes são − 4 1 + 𝜔 e − 4 1 + 𝜔 .

  • A 𝑥 + 4 𝑥 + 1 6 = 0
  • B 𝑥 − 4 𝑥 + 1 6 = 0
  • C 𝑥 + 8 𝑥 + 1 6 = 0
  • D 𝑥 + 1 6 = 0

Q9:

O polinômio 𝑎 𝑧 + 𝑏 𝑧 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 𝑧 + 𝑒 𝑧 + 𝑓 5 4 3 2 , quando 𝑎 é diferente de zero e todos os coeficientes são reais, tem pelo menos uma raiz real?

  • A não
  • B sim
  • Cnão posso afirmar

Q10:

Se 7 e 6 são as raízes da equação 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0 2 , quais são os valores de 𝑎 e 𝑏 ?

  • A 𝑎 = − 1 3 , 𝑏 = 4 2
  • B 𝑎 = − 2 3 , 𝑏 = − 4 2
  • C 𝑎 = 1 3 , 𝑏 = 4 2
  • D 𝑎 = 2 3 , 𝑏 = 4 2
  • E 𝑎 = 4 2 , 𝑏 = − 1 3

Q11:

Se as raízes da equação 𝑥 + 1 3 𝑥 + 𝑚 = 0 2 têm uma diferença de 3, qual o valor de 𝑚 ?

Q12:

Quantas soluções reais tem a equação 4 𝑥 + 4 𝑥 = − 1 ?

Q13:

Determinar o tipo de raízes da equação ( 𝑥 − 𝑚 ) ( 𝑥 − 𝑛 ) − 4 6 = 0 , se 𝑚 e 𝑛 são números reais.

  • Acomplexas e não reais
  • Breais

Q14:

Determine o tipo de soluções da equação ( 𝑥 − 1 0 ) ( 𝑥 + 1 0 ) = 2 ( 𝑥 + 8 ) ( 𝑥 + 6 ) .

  • Acomplexas e imaginárias
  • Breais e iguais
  • Creais e distintas

Q15:

Determine o tipo de raízes da equação 𝑥 + 4 𝑥 + 1 = 3 .

  • Acomplexas e não reais
  • Breais e iguais
  • Creais e diferentes

Q16:

Determine a equação quadrática cujas raízes são 2 + 2 𝜔 + 𝜔 e − 4 + 5 𝜔 − 4 𝜔 .

  • A 𝑥 − 7 2 8 𝑥 − 7 2 9 = 0
  • B 𝑥 + 7 2 8 𝑥 − 7 2 9 = 0
  • C 𝑥 + 2 8 𝑥 + 2 7 = 0
  • D 𝑥 − 2 8 𝑥 + 2 7 = 0

Q17:

Se 𝑎 + 𝑏 𝑖 é uma raiz da equação 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 , onde 𝑓 ( 𝑥 ) é um polinômio com coeficientes reais, que outro número complexo também deve ser uma raiz?

  • A 𝑎 − 𝑏 𝑖
  • B 𝑏 + 𝑎 𝑖
  • C − 𝑎 + 𝑏 𝑖
  • D 𝑏 − 𝑎 𝑖
  • E − 𝑎 − 𝑏 𝑖
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