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Aula: Determinando a Matriz da Transformação Linear de Vetores por Rotação ou Reflexão

Atividade • 11 Questões

Q1:

Determine a matriz em relação a uma base canónica para a transformação linear que roda cada vetor em 2 um ângulo de 𝜋 3 e depois reflete-os pelo eixo O 𝑦 .

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 3 2 1 2 3 2 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

Q2:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em no eixo 𝑦 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 4 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 0 0 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 2 2 2 2 2 2
  • E 2 2 2 2 2 2 2 2

Q3:

Seja que a matriz 𝐴 representa a rotação no plano através de um ângulo de 𝜃 e seja que a matriz 𝐵 representa a reflexão no eixo 𝑥 .

Qual é a matriz 𝐴 ?

  • A 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • B 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • C 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • E 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n

Qual é a matriz 𝐵 ?

  • A 1 0 0 1
  • B 0 1 1 0
  • C 1 0 0 1
  • D 0 1 1 0
  • E 1 0 0 1

Qual é a matriz 𝐴 𝐵 ?

  • A 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • B 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • C 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • E 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s

Q4:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em através de um ângulo de 3 0 no sentido anti-horário (quando visto do positivo eixo 𝑧 ) sobre o eixo 𝑧 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no plano 𝑥 𝑦 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1
  • B 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1
  • C 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1
  • D 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1
  • E 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1

Q5:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em 2 através de um ângulo de 2 𝜋 3 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 1 2 3 2 3 2 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 0 0 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

Q6:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em 2 no eixo 𝑦 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 6 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 0 0 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 1 2 1 2 3 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

Q7:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em 2 através de um ângulo de 𝜋 6 , refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 e, finalmente, refletindo esse vetor no eixo 𝑦 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 0 0 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 1 2 1 2 3 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

Q8:

Considere a figura apresentada.

Os pontos 𝑂 ( 0 , 0 ) , 𝐴 ( 1 , 0 ) , 𝐵 ( 1 , 1 ) e 𝐶 ( 0 , 1 ) são vértices do quadrado unitário. Este quadrado é refletido pela reta 𝑂 𝐷 com equação 𝑦 = 𝑘 𝑥 para formar a imagem 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 .

Como 𝐴 é a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷 , 𝑚 ( 𝐴 𝑂 𝐴 ) = 2 𝑚 ( 𝐷 𝑂 𝐴 ) . Utilize este facto e a identidade t g t g t g 2 𝜃 = 2 𝜃 1 𝜃 para determinar o declive e em seguida a equação de 𝑂 𝐴 a partir do declive de 𝑂 𝐷 .

  • A 𝑦 = 2 𝑘 1 𝑘 𝑥
  • B 𝑦 = 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑥
  • C 𝑦 = 2 𝑘 𝑘 1 𝑥
  • D 𝑦 = 𝑘 𝑘 1 𝑥
  • E 𝑦 = 𝑘 1 𝑘 𝑥

Recorrendo ao facto de 𝑂 𝐶 ser perpendicular a 𝑂 𝐴 , determine a equação de 𝑂 𝐶 .

  • A 𝑦 = 𝑘 1 2 𝑘 𝑥
  • B 𝑦 = 𝑘 1 2 𝑘 𝑥
  • C 𝑦 = 1 𝑘 2 𝑘 𝑥
  • D 𝑦 = 2 𝑘 𝑘 1 𝑥
  • E 𝑦 = 2 𝑘 1 𝑘 𝑥

Utilizando o facto de 𝑂 𝐶 = 𝑂 𝐴 = 1 , determine as coordenadas de 𝐶 e 𝐴 .

  • A 𝐶 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 1 + 𝑘 , 𝐴 = 1 𝑘 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘
  • B 𝐶 = 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 1 + 𝑘 , 𝐴 = 1 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 + 𝑘
  • C 𝐶 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 1 + 𝑘 , 𝐴 = 1 𝑘 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘
  • D 𝐶 = 𝑘 1 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝐴 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 1 𝑘 1 + 𝑘
  • E 𝐶 = 𝑘 1 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝐴 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 1 𝑘 1 + 𝑘

Recorrendo ao facto de uma reflexão numa reta que passa a origem ser uma transformação linear, determine a matriz que representa a reflexão na reta 𝑦 = 𝑘 𝑥 .

  • A 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 1 1 + 𝑘
  • B 1 + 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 1
  • C 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 1 1 + 𝑘
  • D 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘
  • E 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘

Q9:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em 2 através de um ângulo de 𝜋 3 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 1 2 3 2 3 2 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 0 0 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

Q10:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em 2 no eixo 𝑥 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 6 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 0 0 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 1 2 1 2 3 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

Q11:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em 2 no eixo 𝑥 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 4 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 0 0 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 2 2 2 2 2 2
  • E 2 2 2 2 2 2 2 2
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