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Ajuda com a lição de casa

Aula: Determinando a Matriz da Transformação Linear de Vetores por Rotação ou Reflexão

Nesta aula, nós vamos aprender como determinar a matriz da transformação linear que roda cada vetor um dado ângulo e reflete-os nos eixos Ox ou Oy.

Atividade • 11 Questões

Q1:

Determine a matriz em relação a uma base canónica para a transformação linear que roda cada vetor em ℝ 2 um ângulo de 𝜋 3 e depois reflete-os pelo eixo O 𝑦 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q2:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em ℝ no eixo 𝑦 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 4 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 2 2 0 0 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q3:

Seja que a matriz 𝐴 representa a rotação no plano através de um ângulo de 𝜃 e seja que a matriz 𝐵 representa a reflexão no eixo 𝑥 .

Qual é a matriz 𝐴 ?

  • A 𝜃 − 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • B 𝜃 𝜃 − 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • C 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • E 𝜃 − 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n

Qual é a matriz 𝐵 ?

  • A 1 0 0 − 1
  • B 0 − 1 − 1 0
  • C − 1 0 0 1
  • D 0 1 1 0
  • E − 1 0 0 − 1

Qual é a matriz 𝐴 𝐵 ?

  • A 𝜃 𝜃 𝜃 − 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • B 𝜃 − 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • C 𝜃 𝜃 − 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 − 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • E 𝜃 − 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s

Q4:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em ℝ através de um ângulo de 3 0 ∘ no sentido anti-horário (quando visto do positivo eixo 𝑧 ) sobre o eixo 𝑧 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no plano 𝑥 𝑦 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 0 1 2 √ 3 2 0 0 0 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 0 − 1 2 − √ 3 2 0 0 0 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 0 √ 3 2 1 2 0 0 0 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 0 √ 3 2 1 2 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 0 1 2 √ 3 2 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q5:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em ℝ 2 através de um ângulo de 2 𝜋 3 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 √ 3 2 − √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 0 0 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q6:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em ℝ 2 no eixo 𝑦 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 6 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 − 1 2 − 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 0 0 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 − 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q7:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em ℝ 2 através de um ângulo de 𝜋 6 , refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 e, finalmente, refletindo esse vetor no eixo 𝑦 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 − 1 2 − √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 0 0 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 − 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 − 1 2 − √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q8:

Considere a figura apresentada.

Os pontos 𝑂 ( 0 , 0 ) , 𝐴 ( 1 , 0 ) , 𝐵 ( 1 , 1 ) e 𝐶 ( 0 , 1 ) são vértices do quadrado unitário. Este quadrado é refletido pela reta 𝑂 𝐷 com equação 𝑦 = 𝑘 𝑥 para formar a imagem 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 ∗ ∗ ∗ .

Como 𝐴 ∗ é a imagem de 𝐴 na reta que passa por 𝑂 e 𝐷 , 𝑚 ( 𝐴 ∗ 𝑂 𝐴 ) = 2 𝑚 ( 𝐷 𝑂 𝐴 ) . Utilize este facto e a identidade t g t g t g 2 𝜃 = 2 𝜃 1 − 𝜃 para determinar o declive e em seguida a equação de ⃖ ⃗ 𝑂 𝐴 ∗ a partir do declive de ⃖ ⃗ 𝑂 𝐷 .

  • A 𝑦 = 2 𝑘 1 − 𝑘 𝑥
  • B 𝑦 = 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑥
  • C 𝑦 = 2 𝑘 𝑘 − 1 𝑥
  • D 𝑦 = 𝑘 𝑘 − 1 𝑥
  • E 𝑦 = 𝑘 1 − 𝑘 𝑥

Recorrendo ao facto de ⃖ ⃗ 𝑂 𝐶 ∗ ser perpendicular a ⃖ ⃗ 𝑂 𝐴 ∗ , determine a equação de ⃖ ⃗ 𝑂 𝐶 ∗ .

  • A 𝑦 = 𝑘 − 1 2 𝑘 𝑥
  • B 𝑦 = 𝑘 − 1 2 𝑘 𝑥
  • C 𝑦 = 1 − 𝑘 2 𝑘 𝑥
  • D 𝑦 = 2 𝑘 𝑘 − 1 𝑥
  • E 𝑦 = 2 𝑘 1 − 𝑘 𝑥

Utilizando o facto de 𝑂 𝐶 = 𝑂 𝐴 = 1 ∗ ∗ , determine as coordenadas de 𝐶 ∗ e 𝐴 ∗ .

  • A 𝐶 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 − 1 1 + 𝑘 ∗ , 𝐴 = 1 − 𝑘 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 ∗
  • B 𝐶 = 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 − 1 1 + 𝑘 ∗ , 𝐴 = 1 − 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 + 𝑘 ∗
  • C 𝐶 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 − 1 1 + 𝑘 ∗ , 𝐴 = 1 − 𝑘 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 ∗
  • D 𝐶 = 𝑘 − 1 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 ∗ , 𝐴 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 1 − 𝑘 1 + 𝑘 ∗
  • E 𝐶 = 𝑘 − 1 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 ∗ , 𝐴 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 1 − 𝑘 1 + 𝑘 ∗

Recorrendo ao facto de uma reflexão numa reta que passa a origem ser uma transformação linear, determine a matriz que representa a reflexão na reta 𝑦 = 𝑘 𝑥 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 − 1 1 + 𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 + 𝑘 1 − 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 − 1 1 + 𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 − 2 𝑘 1 + 𝑘 1 − 𝑘 1 + 𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 1 − 𝑘 1 + 𝑘 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q9:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em ℝ 2 através de um ângulo de 𝜋 3 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 − √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 0 0 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q10:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em ℝ 2 no eixo 𝑥 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 6 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 1 2 1 2 − √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 0 0 − √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 1 2 − √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 − 1 2 − √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q11:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em ℝ 2 no eixo 𝑥 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋 4 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 0 0 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
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