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Aula: Matriz de uma Transformação Linear

Atividade • 13 Questões

Q1:

Considere a transformação linear que transforma ( 1 , 1 ) em ( 3 , 7 ) e ( 2 , 0 ) em ( 2 , 6 ) .

Determine a matriz 𝐴 que representa esta transformação.

  • A 𝐴 = 1 2 3 4
  • B 𝐴 = 3 2 4 1
  • C 𝐴 = 1 2 3 4
  • D 𝐴 = 2 3 1 4
  • E 𝐴 = 3 1 4 3

Em que se tornam ( 1 , 0 ) e ( 0 , 1 ) pela transformação?

  • A ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 2 , 4 )
  • B ( 1 , 0 ) ( 3 , 2 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 1 )
  • C ( 1 , 0 ) ( 1 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 3 , 4 )
  • D ( 1 , 0 ) ( 2 , 3 ) , ( 0 , 1 ) ( 1 , 4 )
  • E ( 1 , 0 ) ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) ( 4 , 3 )

Q2:

O determinante de uma matriz 2 × 2 é 1 . Qual é a área da imagem de um quadrado unitário sob a transformação que ela representa?

Q3:

Suponha que a transformação linear 𝐿 transforma ( 1 , 0 ) em ( 1 , 5 ) e ( 1 , 1 ) em ( 6 , 6 ) . Qual é o valor absoluto do determinante da matriz que representa 𝐿 ?

Q4:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em 2 através de um ângulo de 𝜋 4 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 . Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 2 2 2 2 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 0 0 2 2
  • E 2 2 2 2 2 2 2 2

Q5:

Uma transformação linear transforma os pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , e 𝐷 em 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , e 𝐷 , como mostrado.

Ao encontrar as áreas do objeto e da imagem e considerando a orientação, encontre o determinante da matriz que representa essa transformação.

  • A 8 5
  • B 9 5
  • C 8 5
  • D 6 5
  • E 6 5

Q6:

A matriz 𝐴 representa uma transformação linear que transforma o vetor 1 0 para 𝑝 𝑞 . O que você pode dizer sobre a matriz 𝐴 ?

  • ASua primeira coluna é 𝑝 𝑞 .
  • BSua segunda coluna é 𝑝 𝑞 .
  • CSua segunda linha é [ 𝑝 𝑞 ] .
  • DSua primeira linha é [ 𝑝 𝑞 ] .

Q7:

No espaço bidimensional, você só precisa especificar o ângulo de uma rotação. No espaço tridimensional, você precisa fornecer um ângulo e um vetor que representa o eixo de rotação. Considere a matriz 𝐴 que representa uma rotação de por 9 0 sobre um eixo através da origem e na direção de 𝑛 = 2 2 1 .

O que é 𝐴 𝑛 ?

  • A 𝑛
  • B 0 0 1
  • C 𝑛
  • D 0 1 0
  • E 1 0 0

Encontre a forma geral da matriz que transforma 𝑛 ao vetor apropriado, conforme determinado na parte anterior da questão.

  • A 𝑎 𝑏 2 2 𝑎 2 𝑏 𝑐 𝑑 2 2 𝑐 2 𝑑 𝑒 𝑓 1 2 𝑒 2 𝑓
  • B 𝑎 𝑏 2 𝑎 2 𝑏 𝑐 𝑑 2 𝑐 2 𝑑 𝑒 𝑓 1 2 𝑒 2 𝑓
  • C 𝑎 𝑏 2 2 𝑎 2 𝑏 𝑐 𝑑 2 2 𝑐 2 𝑑 𝑒 𝑓 1 2 𝑒 2 𝑓
  • D 𝑎 𝑏 2 𝑎 2 𝑏 𝑐 𝑑 1 2 𝑐 2 𝑑 𝑒 𝑓 2 𝑒 2 𝑓
  • E 𝑎 𝑏 1 2 𝑎 2 𝑏 𝑐 𝑑 2 𝑐 2 𝑑 𝑒 𝑓 2 𝑒 2 𝑓

O vetor 𝑣 = 3 3 0 é perpendicular a 𝑛 . O que você pode dizer sobre a direção do vetor 𝑤 = 𝐴 𝑣 ?

  • A 𝑤 será perpendicular a ambos 𝑛 e 𝑣
  • B 𝑤 será perpendicular a 𝑣 mas não necessariamente a 𝑛
  • C 𝑤 será paralelo a 𝑛
  • D 𝑤 será perpendicular a 𝑛 mas não necessariamente a 𝑣
  • E 𝑤 será paralelo a 𝑣

O que você pode dizer sobre a magnitude de 𝑤 = 𝐴 𝑣 ?

  • A | 𝑤 | = | 𝑣 |
  • B | 𝑤 | = 3 | 𝑛 |
  • C | 𝑤 | = | 𝑛 |
  • D | 𝑤 | = 3 | 𝑣 |
  • E | 𝑤 | = 1

Qual dos seguintes vetores tem as propriedades necessárias para ser 𝑤 ?

  • A 1 1 4
  • B 3 3 1 2
  • C 3 3 0
  • D 1 1 4
  • E 3 3 1 2

O que você pode dizer sobre o vetor 𝐴 𝑤 ?

  • A 𝐴 𝑤 = 𝑣
  • B 𝐴 𝑤 = 𝑤
  • C 𝐴 𝑤 = 𝑣
  • D 𝐴 𝑤 = 𝑛
  • E 𝐴 𝑤 = 𝑛

Utilizando a forma geral da matriz da segunda parte da questão, e os valores de 𝐴 𝑣 e 𝐴 𝑤 , encontre a matriz 𝐴 .

  • A 1 9 4 1 8 7 4 4 4 8 1
  • B 1 5 4 2 3 1 2 3 1 1 0 4
  • C 4 1 8 7 4 4 4 8 1
  • D 2 3 1 2 3 1 1 0 4
  • E 2 2 1 3 3 0 1 1 4

Q8:

Considere as transformações lineares para as quais 𝑣 , a imagem de 1 0 , e 𝑤 , a imagem de 0 1 , são vetores unitários. Seja 𝐿 uma transformação linear deste tipo que tem a propriedade adicional de que a área do paralelogramo com vértices 0 , 𝑣 , 𝑤 , e 𝑣 + 𝑤 é a maior possível. Quais são os valores possíveis da medida do ângulo entre 𝑣 e 𝑤 para a transformação 𝐿 ?

  • A 9 0 e 2 7 0
  • B 1 8 0
  • C 9 0 somente
  • D 0
  • E 2 7 0 somente

Q9:

Suponha que a matriz 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 representa uma transformação que envia o vetor 0 0 1 para si e envia todos os vetores no plano 𝑥 𝑦 para um vetor (possivelmente diferente) no plano 𝑥 𝑦 . O que pode ser dito sobre as entradas de 𝐴 ?

  • A 𝑐 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1
  • B 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 0 , = 0 , 𝑖 = 1
  • C 𝑐 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑔 = 1 , = 1 , 𝑖 = 0
  • D 𝑏 = 1 , = 1 , 𝑑 = 1 , 𝑓 = 1 , 𝑒 = 0
  • E 𝑏 = 0 , = 0 , 𝑑 = 0 , 𝑓 = 0 , 𝑒 = 1

Q10:

Determine a matriz da transformação que transforma os pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 e 𝐷 em 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 e 𝐷 como se mostra.

  • A 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • B 9 5 3 5 1 1 5 1 7 1 5
  • C 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5
  • D 5 9 1 5 1 1 3 5 1 7 1 5
  • E 9 5 1 1 1 5 3 5 1 7 1 5

Q11:

Qual é a matriz 𝑀 que transforma os pontos 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 em 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 como se mostra?

  • A 𝑀 = 1 3 4 1
  • B 𝑀 = 2 3 4 1
  • C 𝑀 = 1 1 3 1
  • D 𝑀 = 3 1 2 4
  • E 𝑀 = 1 2 3 4

Q12:

Um quadrado de área 1 sofre uma transformação linear. Sabendo que a área da imagem também é 1, o que pode ser dito sobre a matriz da transformação?

  • ATem determinante 1 ou 1 .
  • BÉ uma rotação ou uma reflexão.
  • CPreserva as distâncias.
  • DPreserva os ângulos.

Q13:

Uma transformação linear de um plano envia um vetor 1 0 para 𝑝 𝑞 . Se a transformação é uma rotação, para onde ela envia 0 1 ?

  • A 𝑞 𝑝
  • B 𝑞 𝑝
  • C 𝑞 𝑝
  • D 𝑝 𝑞
  • E 𝑞 𝑝
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