Aula: Curvas Integrais de Campos Vetoriais

Matemática

Nesta aula, nós vamos aprender como determinar a curva integral de um campo vetorial.

Atividade

Q1:

As figuras mostram o campo vetorial 𝑦;𝑥+52𝑦, juntamente com vários dos seus fluxos.

Suponhamos que sabemos que para alguns números 𝑘 as curvas integrais 𝑥=𝑓(𝑡);𝑦=𝑔(𝑡) são tais que 𝑓 e 𝑔 são combinações lineares de alguns 𝑒. Quais são os valores de 𝑘?

Quais são as equações paramétricas da curva integral que está em (1;0) quando 𝑡=0?

Quais são as equações paramétricas da curva integral que está em (0;2) quando 𝑡=0?

Quais são as equações paramétricas da curva integral que está em (1;1) quando 𝑡=0?

Como 𝑡 e como 𝑡 ao longo de uma curva integral, a secante entre (0;0) e (𝑓(𝑡);𝑔(𝑡)) se aproxima de uma das retas 𝐿 e 𝐿 mostradas. Quais são as inclinações dessas duas retas?

Q2:

As figuras mostram o campo vetorial 𝑦,𝑥32𝑦, junto com vários de seus fluxos.

Suponha que sabemos que, para alguns números 𝑘, as curvas integrais 𝑥=𝑓(𝑡) e 𝑦=𝑔(𝑡) são tais que 𝑓 e 𝑔 são combinações lineares de alguns 𝑒. Quais são os valores de 𝑘?

Quais são as equações paramétricas da curva integral que estão em (0,2) quando 𝑡=0?

Quais são as equações paramétricas da curva integral que estão em (1,1) quando 𝑡=0?

Quais são as equações paramétricas da curva integral que estão em (2,2) quando 𝑡=0?

Usando o fato de que 𝑒𝑒=1, encontre uma equação cartesiana satisfeita pelos pontos da curva integral que está em (0,2) quando 𝑡=0. Você não precisa simplificar sua expressão.

Como 𝑡 e 𝑡 ao longo de uma curva integral, a secante entre (0,0) e (𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) se aproximam de uma das retas 𝐿 e 𝐿 mostradas. Quais são as inclinações dessas duas retas?

Q3:

Considere a curva paramétrica 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)cos, 𝑦=𝑒(𝑏𝑡)sen com constantes 𝑎 e 𝑏. A figura mostra o caso 𝑎=15 e 𝑏=5 para 𝜋𝑡2𝜋.

Determine o campo vetorial tal que a curva 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)cos e 𝑦=𝑒(𝑏𝑡)sen é a sua curva integral.

Determine a equação diferencial linear de segunda ordem satisfeita por 𝑥.

Pode verificar que 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)sen é também uma solução desta equação diferencial e, portanto, qualquer 𝑥=𝑓(𝑡)=𝑃𝑒(𝑏𝑡)+𝑄𝑒(𝑏𝑡)cossen de constantes 𝑃 e 𝑄. Utilizando o campo vetorial, determine a função correspondente 𝑦=𝑔(𝑡) tal que 𝑥=𝑓(𝑡) e 𝑦=𝑔(𝑡) é uma curva integral.

Para o caso 𝑎=15 e 𝑏=5, determine equações paramétricas para a curva integral que começa no ponto (3,2) para 𝑡=0.

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