Aula: Taxas Relacionadas

Se é o volume de um cubo com aresta de comprimento e o cubo expande-se à medida que o tempo passa, apresenta uma expressão para .

A área de um disco circular aumenta cm²/s. Qual é a taxa de crescimento do seu raio quando o raio é 6 cm? Utilize para simplificar a resposta.

e são duas estradas ortogonais, em que e . Uma pessoa começou a andar de para a uma velocidade uniforme 1 m/s e outra pessoa começou a andar de para com uma velocidade uniforme de 8 m/s. Determine a taxa de variação da distância entre elas após 7 segundos.

Uma caixa retangular expande-se enquanto mantém as suas dimensões relativas. O seu comprimento é 6 cm maior que a sua largura. A sua altura é 2 vezes a largura. Determine as dimensões da caixa no momento em que o seu volume aumenta a 0,3 cm³/min e a sua largura aumenta a 0,01 cm/min.

O comprimento de um retângulo aumenta a uma taxa de 15 cm/s e a sua largura a uma taxa de 13 cm/s. Determina a taxa a que a área do retângulo aumenta quando o comprimento do retângulo é 25 cm e a sua largura é 12 cm.

Um homem puxa um carro para si mesmo com o uso de uma corda em uma polia presa 24 m acima do solo, diretamente acima dele. Se ele puxar a corda 4 m/min, qual é a velocidade do carro quando ele está 10 m longe dele?

No final de uma corrida de 500 metros, um corredor correu em linha reta a 3,5 m/s. Uma câmara estava posicionada 3 metros do fim da linha tal que era perpendicular à pista e estava no mesmo plano horizontal que o corredor. Determine a taxa de variação do ângulo em que a câmara rodou para captar o corredor quando ele estava a 6 metros do final da linha.

A altura de um cilindro é igual ao diâmetro da sua base. O cilindro expande-se de tal forma que a taxa de aumento da área da sua superfície é cm²/s em relação ao tempo. Calcule a taxa de aumento do seu raio quando a sua base é 18 cm.

Uma lâmina tem a forma de um trapézio isósceles. Os seus lados paralelos são cm e cm e um dos seus vértices faz um ângulo de . A lâmina encolhe enquanto preserva a sua forma. Determine a taxa de variação da sua área em relação a quando a sua altura é 3 cm.

Uma lâmina de metal fina tem a forma de um retângulo que tem um comprimento que é do da sua diagonal. A lâmina encolhe por arrefecimento preservando a sua forma geométrica e a razão entre as suas dimensões. Num dado momento, o comprimento da sua diagonal e a área da sua superfície decresceram a uma taxa de 1,5 cm/min e 36 cm²/min, respetivamente. Determine a área da superfície da lâmina nesse momento.

Um cano de água, denotado por , tem um comprimento de 5 metros e é colocado com a sua extremidade num solo horizontal, encostado na borda de uma parede vertical de comprimento3 metros no ponto . Sabendo que a extremidade desliza afastando-se da parede a uma taxa de m/min, determine a taxa a que a extremidade desliza até alcançar o solo.

Dois navios saem de um porto ao mesmo tempo. O primeiro navega para este a 30 km/h. O outro navega para sul a 40 km/h. Qual é a taxa de variação da distância entre eles 5 horas mais tarde?

Um recipiente cilíndrico circular reto tem uma altura interior de 5 cm e um raio da base interior de 6 cm. Uma haste de metal de 16 cm de comprimento é colocada dentro do recipiente. Se a taxa em que a haste desliza para longe da borda do recipiente é de 3 cm/s, determine a taxa na qual a haste desliza na base do recipiente no momento em que ela toca a parede do recipiente.

Os lados adjacentes ao ângulo reto têm inicialmente comprimentos 7 cm e 1 cm. O primeiro lado diminui a uma taxa de 1 cm/min enquanto o segundo lado aumenta a uma taxa de 5 cm/min. A que taxa varia a área do triângulo 6 minutos mais tarde?

Seja a área entre circunferências concêntricas de raios e , onde . Quando e está aumentando a 0,5 cm/s, e está diminuindo a 0,1 cm/s. Qual é a taxa de variação de neste momento?