Aula: Transformação Linear em Três Dimensões

Matemática

Nesta aula, nós vamos aprender como determinar a matriz de transformações lineares simples ou compostas em três dimensões.

Atividade

Q1:

No espaço bidimensional, você só precisa especificar o ângulo de uma rotação. No espaço tridimensional, você precisa fornecer um ângulo e um vetor que representa o eixo de rotação. Considere a matriz 𝐴 que representa uma rotação de ℝ por 90∘ sobre um eixo através da origem e na direção de 𝑛=221.

O que é 𝐴𝑛?

Encontre a forma geral da matriz que transforma 𝑛 ao vetor apropriado, conforme determinado na parte anterior da questão.

O vetor 𝑣=3−30 é perpendicular a 𝑛. O que você pode dizer sobre a direção do vetor 𝑤=𝐴𝑣?

O que você pode dizer sobre a magnitude de 𝑤=𝐴𝑣?

Qual dos seguintes vetores tem as propriedades necessárias para ser 𝑤?

O que você pode dizer sobre o vetor 𝐴𝑤?

Utilizando a forma geral da matriz da segunda parte da questão, e os valores de 𝐴𝑣 e 𝐴𝑤, encontre a matriz 𝐴.

Q2:

Considere a transformação linear 𝐿′∶ℝ→ℝ, que roda todos os vetores 90 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O𝑥 e, em seguida, roda 45 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O𝑦. Determine a representação na forma de matriz da base canónica de 𝐿′.

Q3:

Considere a transformação linear 𝐿′∶ℝ→ℝ, que roda todos os vetores 45 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O𝑥 e, em seguida, roda 90 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O𝑦. Determine 𝐿′12−1 na base canónica.
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