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Aula: Equações Diferenciais Separáveis

Nesta aula, nós vamos aprender como resolver equações diferenciais separáveis.

Atividade • 17 Questões

Q1:

Determine a equação da curva que passa pelo ponto ( − 3 ; 2 ) sabendo que o gradiente da tangente a qualquer ponto é − 4 𝑥 7 𝑦 .

  • A 7 𝑦 = − 4 𝑥 + 6 4 2 2
  • B 7 𝑦 = − 4 𝑥 + 7 9 2 2
  • C 7 𝑦 = − 4 𝑥 + C
  • D 7 𝑦 = − 4 𝑥 + 7 9 2 2 2

Q2:

Encontre a equação da curva que passa pelo ponto ( 0 , − 1 ) dado d d 𝑦 𝑥 = − 6 𝑥 − 4 4 𝑦 + 1 3 .

  • A 2 𝑦 + 1 3 𝑦 = − 3 𝑥 − 4 𝑥 − 1 1 2 2
  • B 4 𝑦 + 1 3 𝑦 = − 3 𝑥 − 4 𝑥 − 1 1 2 2
  • C 4 𝑦 + 1 3 𝑦 = − 6 𝑥 − 4 𝑥 − 9 2 2
  • D 2 𝑦 + 1 3 𝑦 = − 3 𝑥 − 4 𝑥 − 9 2 2
  • E 2 𝑦 + 1 3 𝑦 = − 6 𝑥 − 4 𝑥 − 9 2 2

Q3:

Determine a solução da equação diferencial d d 𝑦 𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑦 que satisfaz a condição inicial 𝑦 ( 0 ) = 0 .

  • A 𝑦 = − − 1 2 𝑥 + 1 l n 2
  • B 𝑦 = − − 𝑥 l n 2
  • C 𝑦 = − − 𝑥 + 1 l n 2
  • D 𝑦 = − − 1 2 𝑥 l n 2
  • E 𝑦 = − 1 2 𝑥 + 1 l n 2

Q4:

Resolva a equação diferencial d d 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 1 .

  • A 𝑦 = 1 + 𝑒 C − 𝑥
  • B 𝑦 = 𝑥 + 𝑒 C 𝑥
  • C 𝑦 = 𝑥 𝑒 + 𝑒 − 𝑥 − 𝑥 C
  • D 𝑦 = 1 + 𝑒 C 𝑥
  • E 𝑦 = 𝑥 + 𝑒 C − 𝑥

Q5:

Resolva a equação diferencial d d 𝑦 𝑥 = − 5 𝑥 𝑦 2 2 .

  • A 𝑦 = 3 5 𝑥 + 3 C ou 𝑦 = 0
  • B 𝑦 = − 1 1 5 𝑥 + 3 C ou 𝑦 = 0
  • C 𝑦 = − 3 5 𝑥 + 3 C ou 𝑦 = 0
  • D 𝑦 = 1 1 5 𝑥 + 3 C ou 𝑦 = 0
  • E 𝑦 = 1 5 𝑥 + 3 C ou 𝑦 = 0

Q6:

Determine a solução da equação diferencial d d 𝑃 𝑡 = √ 𝑃 𝑡 que satisfaz a condição inicial 𝑃 ( 1 ) = 2 .

  • A √ 𝑃 = 1 3 𝑡 − 1 3 + √ 2 3 2
  • B √ 𝑃 = 1 3 𝑡 − 3 4 + √ 2 3 2
  • C √ 𝑃 = 1 3 𝑡 − √ 2 − 1 3 3 2
  • D √ 𝑃 = − 1 3 𝑡 − √ 2 + 1 3 3 2
  • E √ 𝑃 = 1 3 𝑡 + 1 3 + √ 2 3 2

Q7:

Suponha que d d c o s s e n 𝑦 𝑥 = 4 𝑥 − 4 2 𝑥 4 𝑦 + 9 e 𝑦 = 0 quando 𝑥 = 0 . Encontre 𝑦 em termos de 𝑥 .

  • A 9 𝑦 − 4 𝑦 = 2 𝑥 − 2 2 𝑥 − 4 c o s s e n 2
  • B 9 𝑦 + 4 𝑦 = 4 𝑥 + 2 2 𝑥 + 4 c o s s e n 2
  • C 9 𝑦 + 4 𝑦 = 2 𝑥 + 2 2 𝑥 + 4 c o s s e n 2
  • D 9 𝑦 − 4 𝑦 = 2 𝑥 − 4 2 𝑥 − 4 c o s s e n 2
  • E 9 𝑦 − 4 𝑦 = 4 𝑥 − 2 2 𝑥 − 4 c o s s e n 2

Q8:

Resolva a equação diferencial d d l n 𝐻 𝑅 = 𝑅 𝐻 √ 1 + 𝑅 𝐻 2 2 .

  • A − 𝐻 𝐻 − 1 𝐻 = 1 3 1 + 𝑅 + l n C 2 3 2
  • B − 𝐻 𝐻 + 1 𝐻 = 1 3 1 + 𝑅 + l n C 2 3 2
  • C − 𝐻 𝐻 − 1 𝐻 = 2 3 1 + 𝑅 + l n C 2 3 2
  • D l n C 𝐻 𝐻 + 1 𝐻 = 1 3 1 + 𝑅 + 2 3 2
  • E − 𝐻 𝐻 − 1 𝐻 = 1 2 1 + 𝑅 + l n C 2 3 2

Q9:

Resolva a equação diferencial d d s e c 𝜃 𝑡 = 𝑡 𝜃 𝜃 𝑒 𝑡 2 .

  • A 𝜃 𝜃 + 𝜃 = − 𝑒 2 + s e n c o s C − 𝑡 2
  • B − 𝜃 𝜃 − 𝜃 = 𝑒 + s e n c o s C − 𝑡 2
  • C 𝜃 𝜃 + 𝜃 = 𝑒 + s e n c o s C − 𝑡 2
  • D − 𝜃 𝜃 − 𝜃 = − 𝑒 2 + s e n c o s C − 𝑡 2
  • E 𝜃 𝜃 = − 𝑒 2 + s e n C − 𝑡 2

Q10:

Determine uma relação entre 𝑦 e 𝑥 , sabendo que 𝑥 𝑦 𝑦 ′ = 𝑥 − 5 2 .

  • A 𝑦 = 𝑥 − 1 0 | 𝑥 | + 2 2 l n C
  • B 𝑦 = 2 𝑥 − 1 0 𝑥 + 2 2 l n C
  • C 𝑦 = 𝑥 − 5 | 𝑥 | + 2 2 l n C
  • D 𝑦 = 𝑥 2 − 5 | 𝑥 | + 2 2 l n C
  • E 𝑦 = 2 𝑥 − 1 0 | 𝑥 | + 2 2 l n C

Q11:

Uma relação 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 0 é implicitamente diferenciada para obter d d 𝑦 𝑥 = 2 𝑥 + 5 2 𝑦 + 5 . Encontre a relação dado que quando 𝑦 = 3 , 𝑥 = 3 .

  • A 𝑥 + 5 𝑥 − 𝑦 − 5 𝑦 = 0
  • B 𝑥 + 5 𝑥 + 5 𝑦 − 9 = 0
  • C 𝑥 − 5 𝑦 − 3 = 0
  • D 𝑥 + 5 𝑥 − 2 𝑦 − 5 𝑦 = 0

Q12:

Determine a equação da curva que passa pelo ponto ( − 8 , 1 ) dado que o gradiente da tangente a qualquer ponto é igual a 2 vezes o quadrado da coordenada em 𝑦 .

  • A 𝑦 = − 1 2 𝑥 + 1 5
  • B 𝑦 = − 1 2 𝑥 + 1 7
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥 − 1 5
  • D 𝑦 = − 1 2 𝑥 − 1 7

Q13:

Resolva a seguinte equação diferencial: d d 𝑝 𝑡 = 𝑡 𝑝 − 5 𝑝 + 𝑡 − 5 .

  • A 𝑝 = 𝑒 − 1 K
  • B 𝑝 = 𝑒 − 1 K
  • C 𝑝 = 𝑒 − 1 K
  • D 𝑝 = 𝑒 + 1 K
  • E 𝑝 = 𝑒 + 1 K

Q14:

Resolva a seguinte equação diferencial: ( 𝑒 − 5 ) 𝑦 ′ = 2 + 𝑥 𝑦 c o s .

  • A 𝑒 − 5 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 s e n C
  • B 𝑒 − 5 = 2 𝑥 − 𝑥 + 𝑦 s e n C
  • C 𝑒 − 5 𝑦 = 2 𝑥 − 𝑥 + 𝑦 s e n C
  • D 𝑒 − 5 = 2 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 s e n C
  • E 𝑒 − 5 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 s e n C

Q15:

Suponha que d d s e n c o s 𝑦 𝑥 = 3 𝑥 4 2 𝑦 2 2 e 𝑦 = 𝜋 4 quando 𝑥 = 𝜋 2 . Determine 𝑦 em termos de 𝑥 .

  • A 8 𝑦 + 2 4 𝑦 = 6 𝑥 − 3 2 𝑥 − 𝜋 s e n s e n
  • B 8 𝑦 + 8 4 𝑦 = 6 𝑥 − 6 2 𝑥 − 𝜋 s e n s e n
  • C 8 𝑦 − 8 4 𝑦 = 6 𝑥 + 6 2 𝑥 − 𝜋 s e n s e n
  • D 8 𝑦 − 2 4 𝑦 = 6 𝑥 + 3 2 𝑥 − 𝜋 s e n s e n

Q16:

Resolva a equação diferencial 𝑦 + 𝑥 𝑒 = 0 ′ 𝑦 .

  • A 𝑦 = − 𝑥 2 + l n C 2
  • B 𝑦 = 2 𝑥 + l n C 2
  • C 𝑦 = 𝑥 2 + l n C 2
  • D 𝑦 = − 2 𝑥 + l n C 2
  • E 𝑦 = − 𝑥 + l n C 2

Q17:

O modelo populacional logístico assume um limite superior 𝐿 , para lá do qual o crescimento não pode ocorrer. A população 𝑦 ( 𝑡 ) tem uma taxa de variação que satisfaz d d 𝑦 𝑡 = 𝑘 𝑦 1 − 𝑦 𝐿 para uma constante positiva 𝑘 . Uma função adequada 𝑦 ( 𝑡 ) envolve um segundo parâmetro 𝑏 , determinado pela velocidade de crescimento inicial. Sem integrar, qual das seguintes expressões poderia ser 𝑦 ( 𝑡 ) ?

  • A 𝐿 1 + 𝑏 𝑒
  • B 𝐿 𝑏 𝑒 − 1
  • C 𝐿 𝑏 𝑒 − 1
  • D 𝑏 1 + 𝐿 𝑒
  • E 𝑏 𝐿 𝑒 − 1
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