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Aula: Forma Trigonométrica de Números Complexos

Nesta aula, nós vamos aprender como representar um número complexo na forma polar, calcular o módulo e o argumento e utilizar isso para alterar a forma de um número complexo.

Atividade • 23 Questões

Q1:

Determine a forma trigonométrica do número complexo 𝑧 representado no plano de Argand.

  • A 4 − 𝜋 3 + 𝑖 − 𝜋 3 c o s s e n
  • B 4 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s e n
  • C − 4 − 𝜋 3 + 𝑖 − 𝜋 3 c o s s e n
  • D − 4 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s e n

Q2:

Dado que 𝑧 = 1 1 e 𝑧 = ( 3 𝜃 + 𝑖 3 𝜃 ) 2 2 c o s s e n , encontre a forma trigonométrica de 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A c o s s e n ( 2 𝜋 − 6 𝜃 ) + 𝑖 ( 2 𝜋 − 6 𝜃 )
  • B c o s s e n ( 2 𝜋 + 6 𝜃 ) + 𝑖 ( 2 𝜋 + 6 𝜃 )
  • C c o s s e n ( 𝜋 − 6 𝜃 ) + 𝑖 ( 𝜋 − 6 𝜃 )
  • D c o s s e n ( 2 𝜋 − 3 𝜃 ) + 𝑖 ( 2 𝜋 − 3 𝜃 )

Q3:

Escreve 1 2 5 𝜋 6 + 𝑖 5 𝜋 6 c o s s e n na forma algébrica.

  • A − 6 √ 3 + 6 𝑖
  • B 6 − 6 √ 3 𝑖
  • C 6 √ 3 − 6 𝑖
  • D − 6 − 6 √ 3 𝑖

Q4:

Determine o módulo do número complexo 1 + 𝑖 .

  • A √ 2
  • B √ 3
  • C2
  • D4
  • E1

Determine o argumento do número complexo 1 + 𝑖 .

  • A 𝜋 4
  • B − 𝜋 2
  • C 𝜋 2
  • D − 𝜋 4
  • E 𝜋

Em seguida, escreva o número complexo 1 + 𝑖 na forma trigonométrica.

  • A √ 2 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n
  • B √ 2 ( 𝜋 + 𝑖 𝜋 ) c o s s e n
  • C 2 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n
  • D 2 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s e n
  • E √ 2 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s e n

Q5:

Considere o diagrama.

Qual das seguintes opções descreve corretamente a relação entre 𝑎 , 𝑟 , e 𝜃 ?

  • A 𝑎 = 𝑟 𝜃 c o s
  • B 𝑎 = 𝜃 𝑟 s e n
  • C 𝑎 = 𝑟 𝜃 s e n
  • D 𝑎 = 𝜃 𝑟 c o s
  • E 𝑎 = 𝑟 𝜃 t g

Qual das opções descreve corretamente a relação entre 𝑏 , 𝑟 , e 𝜃 ?

  • A 𝑏 = 𝑟 𝜃 s e n
  • B 𝑏 = 𝑟 𝜃 t g
  • C 𝑏 = 𝜃 𝑟 s e n
  • D 𝑏 = 𝜃 𝑟 c o s
  • E 𝑏 = 𝑟 𝜃 c o s

Por fim, escreva 𝑧 em termos de 𝑟 e 𝜃 .

  • A 𝑧 = 𝑟 𝜃 + 𝑟 𝑖 𝜃 c o s s e n
  • B 𝑧 = 𝑟 𝜃 + 𝑖 𝜃 𝑟 c o s s e n
  • C 𝑧 = 𝑟 𝜃 + 𝑟 𝑖 𝜃 s e n c o s
  • D 𝑧 = 𝜃 𝑟 + 𝑖 𝜃 𝑟 s e n c o s
  • E 𝑧 = 𝜃 𝑟 + 𝑖 𝜃 𝑟 c o s s e n

Q6:

O diagrama de Argand mostra o número complexo 𝑧 .

Escreva 𝑧 em forma retangular.

  • A 3 + 5 𝑖
  • B − ( 3 + 5 𝑖 )
  • C 5 + 3 𝑖
  • D 5 − 3 𝑖
  • E 3 − 5 𝑖

Converta 𝑧 para a forma polar, arredondando o argumento para duas casas decimais.

  • A √ 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • B √ 8 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • C 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • D 8 ( 1 , 0 3 − 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • E √ 3 4 ( 1 , 0 3 − 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n

Q7:

Expresse o número complexo 𝑍 = 4 𝑖 na forma trigonométrica.

  • A 𝑍 = 4 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s e n
  • B 𝑍 = 4 − 𝜋 2 + 𝑖 − 𝜋 2 c o s s e n
  • C 𝑍 = 4 − 𝜋 2 − 𝑖 − 𝜋 2 c o s s e n
  • D 𝑍 = 4 𝜋 2 − 𝑖 𝜋 2 c o s s e n

Q8:

Dado 𝑍 = √ 3 + 𝑖 , determine a forma trigonométrica de 𝑍 .

  • A 2 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s e n
  • B 1 3 1 1 𝜋 6 + 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s e n
  • C 2 7 𝜋 3 + 𝑖 7 𝜋 3 c o s s e n
  • D 2 1 1 𝜋 6 − 𝑖 1 1 𝜋 6 c o s s e n
  • E 2 1 7 𝜋 6 + 𝑖 1 7 𝜋 6 c o s s e n

Q9:

Se 𝑍 = 𝑟 ( 𝜃 + 𝑖 𝜃 ) c o s s e n , qual é 1 𝑍 ?

  • A 1 𝑟 ( ( − 𝜃 ) + 𝑖 ( − 𝜃 ) ) c o s s e n
  • B 𝑟 ( ( − 𝜃 ) + 𝑖 ( − 𝜃 ) ) c o s s e n
  • C 𝑟 ( ( − 𝜃 ) − 𝑖 ( − 𝜃 ) ) c o s s e n
  • D 1 𝑟 ( 𝜃 + 𝑖 𝜃 ) c o s s e n

Q10:

Simplifique 6 − 6 𝑖 − 2 𝑖 , dando sua resposta na forma algébrica e trigonométrica.

  • A 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n
  • B − 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 3 𝜋 4 + 𝑖 3 𝜋 4 c o s s e n
  • C 3 − 3 𝑖 , 3 √ 2 − 𝜋 4 + 𝑖 − 𝜋 4 c o s s e n
  • D − 3 − 3 𝑖 , 3 √ 2 − 3 𝜋 4 + 𝑖 − 3 𝜋 4 c o s s e n

Q11:

Simplifique − 5 + 5 √ 3 𝑖 − √ 3 − 𝑖 , dando sua resposta na forma algébrica e trigonométrica.

  • A − 5 𝑖 , 5 − 𝜋 2 + 𝑖 − 𝜋 2 c o s s e n
  • B 5 𝑖 , 5 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s e n
  • C 5 𝑖 , 5 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s e n
  • D − 5 𝑖 , 5 ( 𝜋 + 𝑖 𝜋 ) c o s s e n

Q12:

Sendo 𝑧 − 2 = ( 𝑧 + 2 ) 𝑖 , determine a forma trigonométrica do número complexo 𝑧 .

  • A 2 𝜋 2 + 𝑖 𝜋 2 c o s s e n
  • B 2 − 𝜋 2 + 𝑖 − 𝜋 2 c o s s e n
  • C 2 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s e n
  • D 2 ( 𝜋 + 𝑖 𝜋 ) c o s s e n

Q13:

Sendo 𝑍 = ( 6 𝑖 − 6 ) ( 4 + 3 𝑖 ) ( 1 + 2 𝑖 ) 2 , escreva o número complexo 𝑍 na forma 𝑥 + 𝑦 𝑖 , e em seguida escreva-o na forma trigonométrica.

  • A 6 + 6 𝑖 , 6 √ 2 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n
  • B 6 − 6 𝑖 , 6 √ 2 − 𝜋 4 + 𝑖 − 𝜋 4 c o s s e n
  • C 6 − 6 𝑖 , − 𝜋 4 + 𝑖 − 𝜋 4 c o s s e n
  • D 6 + 6 𝑖 , 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n

Q14:

Determine, na forma trigonométrica, as raízes quadradas de − 5 − 5 𝑖 − 5 + 5 𝑖 9 .

  • A 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n , − 3 𝜋 4 + 𝑖 − 3 𝜋 4 c o s s e n
  • B 3 𝜋 4 + 𝑖 3 𝜋 4 c o s s e n , − 𝜋 4 + 𝑖 − 𝜋 4 c o s s e n
  • C − 𝜋 4 + 𝑖 − 𝜋 4 c o s s e n , 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n
  • D 𝜋 4 + 𝑖 𝜋 4 c o s s e n , 3 𝜋 4 + 𝑖 3 𝜋 4 c o s s e n

Q15:

Simplifique − 7 + 4 √ 3 + − 7 √ 3 − 4 𝑖 7 + 4 𝑖 , apresentando a resposta nas formas algébrica e trigonométrica.

  • A − 1 − √ 3 𝑖 , 2 − 2 𝜋 3 + 𝑖 − 2 𝜋 3 c o s s e n
  • B 1 − √ 3 𝑖 , 2 − 𝜋 3 + 𝑖 − 𝜋 3 c o s s e n
  • C 1 + √ 3 𝑖 , 2 𝜋 3 + 𝑖 𝜋 3 c o s s e n
  • D − 1 + √ 3 𝑖 , 2 2 𝜋 3 + 𝑖 2 𝜋 3 c o s s e n

Q16:

Dado que | 𝑧 | = 9 e o argumento de 𝑧 é 𝜃 = 𝜋 6 , determine 𝑧 , apresentando a resposta na forma trigonométrica.

  • A 𝑧 = 9 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 c o s s e n
  • B 𝑧 = 9 𝜋 6 − 𝑖 𝜋 6 c o s s e n
  • C 𝑧 = 9 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 s e n c o s
  • D 𝑧 = 9 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 s e n c o s
  • E 𝑧 = 9 𝜋 6 + 𝑖 𝜋 6 c o s s e n

Q17:

Dado que | 𝑍 | = 8 e o argumento de 𝑍 é 𝜃 = 3 6 0 ∘ , encontre 𝑍 , dando sua resposta na forma trigonométrica.

  • A 𝑍 = 8 [ 2 𝜋 + 𝑖 2 𝜋 ] c o s s e n
  • B 𝑍 = 8 [ 𝜋 + 𝑖 𝜋 ] c o s s e n
  • C 𝑍 = 8 [ 2 𝜋 + 𝑖 2 𝜋 ] s e n c o s
  • D 𝑍 = 8 𝜋 + 𝑖 𝜋 c o s s e n
  • E 𝑍 = 8 2 𝜋 + 𝑖 2 𝜋 c o s s e n

Q18:

Dado que | 𝑧 | = 5 e o argumento de 𝑧 é 𝜃 = 2 𝜋 + 2 𝑛 𝜋 , tal que 𝑛 ∈ ℤ , determine 𝑧 , apresentando a resposta na forma trigonométrica.

  • A 𝑧 = 5 ( 2 𝜋 + 𝑖 2 𝜋 ) c o s s e n
  • B 𝑧 = 5 ( 4 𝜋 + 𝑖 4 𝜋 ) c o s s e n
  • C 𝑧 = 5 ( 2 𝜋 + 𝑖 2 𝜋 ) s e n c o s
  • D 𝑧 = 1 0 ( 2 𝜋 + 𝑖 2 𝜋 ) s e n c o s
  • E 𝑧 = 1 0 ( 2 𝜋 + 𝑖 2 𝜋 ) c o s s e n

Q19:

Dado que | 𝑍 | = 3 e o argumento de 𝑍 é 𝜃 = 𝜋 3 , encontre 𝑍 , dando sua resposta em forma algébrica.

  • A 𝑍 = 3 2 + 3 √ 3 2 𝑖
  • B 𝑍 = 3 2 − 3 √ 3 2 𝑖
  • C 𝑍 = 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖
  • D 𝑍 = − 3 2 − 3 √ 3 2 𝑖
  • E 𝑍 = − 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖

Q20:

Dado que | 𝑍 | = 1 2 e o argumento de 𝑍 é 𝜃 = 1 2 0 ∘ , encontre 𝑍 , dando sua resposta em forma algébrica.

  • A 𝑍 = − 6 + 6 √ 3 𝑖
  • B 𝑍 = − 6 − 6 √ 3 𝑖
  • C 𝑍 = 6 √ 3 − 6 𝑖
  • D 𝑍 = 6 − 6 √ 3 𝑖
  • E 𝑍 = − 6 √ 3 − 6 𝑖

Q21:

Dado que | 𝑧 | = 5 e o argumento de 𝑧 é 𝜃 = 2 7 0 ∘ , encontre 𝑧 , dando sua resposta em forma algébrica.

  • A 𝑧 = − 5 𝑖
  • B 𝑧 = 5 + 5 𝑖
  • C 𝑧 = 5
  • D 𝑧 = − 5
  • E 𝑧 = 5 𝑖

Q22:

Dado que 𝑍 = 7 [ ( − 5 8 ) + 𝑖 ( − 5 8 ) ] c o s s e n ∘ ∘ , determine a forma algébrica de 𝑍 , arredondando as partes real e imaginária para as duas casas decimais mais próximas.

  • A 𝑍 = 3 , 7 1 − 5 , 9 4 𝑖
  • B 𝑍 = 5 , 9 4 + 3 , 7 1 𝑖
  • C 𝑍 = − 5 , 9 4 + 5 , 9 4 𝑖
  • D 𝑍 = − 3 , 7 1 + 5 , 9 4 𝑖

Q23:

Dado que 𝑧 = 1 3 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘ , encontre 1 𝑧 .

  • A 3 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • B 1 3 ( 2 1 0 + 𝑖 2 1 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • C 3 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • D 3 ( 2 1 0 + 𝑖 2 1 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • E 1 3 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘
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