Aula: Definição Formal de um Limite

Nesta aula, nós vamos aprender como utilizar a definição formal de um limite para encontrar o valor de delta para um determinado epsilon.

Atividade: 6 Questões

Q1:

Encontre o maior 𝛿 > 0 tal que se | 𝑥 − 𝑎 | < 𝑎 , então | | | 1 𝑥 − 1 𝑎 | | | < 𝜀 . Dê sua resposta como uma fração envolvendo 𝜀 e 𝑎 .

Q2:

Qual ponto está mais perto de 𝑥 ao longo do eixo horizontal, 𝑎 ou 𝑏 ?

Qual é a distância 𝛿 entre o ponto mais próximo e 𝑥 da sua resposta acima? Dê uma expressão que envolva 𝑓 e valores absolutos.

Use suas respostas acima para encontrar 𝛿 de tal modo que | 𝑒 − 1 | < 0 , 1 sempre que | 𝑥 − 0 | < 𝛿 . Dê sua resposta para 4 casas decimais.

Q3:

A partir do gráfico, observando o eixo O 𝑥 , quais dos pontos 𝑎 e 𝑏 está mais proximo de 𝑥 ? Seja este número 𝑝 .

Quanto é 𝑎 em termos de 𝑥 ?

Afirma-se que se 𝑥 > 0 e 2 𝑥 > 1 2 , então | | | 2 𝑥 − 2 𝑥 | | | < 1 2 ∗ desde que | 𝑥 − 𝑥 | < 𝛿 ∗ seja verdadeira para todo o 𝛿 pequeno. Qual é o maior 𝛿 ?

A condição 2 𝑥 > 1 2 garante a veracidade da figura. O mesmo 𝛿 resulta se 𝑥 ≥ 4 ?

Parece que todos os argumentos dependem do facto de o gráfico da função 𝑓 ter concavidade voltada para cima. Seja 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑒 . Determine 𝛿 > 0 tal que | 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑓 ( 𝑥 ) | < 1 4 ∗ para | 𝑥 − 𝑥 | < 𝛿 ∗ . Assuma que 𝑥 é positivo.
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