Aula: Teorema de Green Matemática

Nesta aula, nós vamos aprender como aplicar o teorema de Green para calcular integrais de linha como a integral da área da região que ela delimita no plano.

Lição de casa da aula

Q1:

A figura mostra o gráfico de 𝑓(𝑥)=−3𝑥+13(𝑥−1) sobre o intervalo [0,1]. Seja 𝑅 a região sombreada e seu limite 𝐶, traçado no sentido anti-horário. Seja ⃗𝐹(𝑥;𝑦)=𝑦⃗𝑖+𝑦⃗𝑗.

Use o teorema de Green para calcular ⃗𝐹⋅⃗𝑟d.

Calcule ⃗𝐹⋅⃗𝑟d, onde 𝐶 é a reta de 𝑎 a 𝑏.

Calcule ⃗𝐹⋅⃗𝑟d, onde 𝐶 é a curva de 𝑏 a 𝑐.

Calcule ⃗𝐹⋅⃗𝑟d, onde 𝐶 é a reta de 𝑐 a 𝑎.

Q2:

A figura mostra as etapas para produzir uma curva 𝐶 . Começa como o limite do quadrado unitário na Figura (a). Na Figura (b), removemos um quarto quadrado da área do quadrado em (a). Na Figura (c), adicionamos um quarto quadrado da área que removemos em (b). Na Figura (d), removemos um quarto quadrado da área do quadrado que adicionamos (c). Se continuarmos a fazer isso indefinidamente, obteremos a curva 𝐶. Seja 𝑅 a região delimitada por 𝐶.

Somando uma série adequada, encontre a área da região 𝑅. Dê sua resposta como uma fração.

Considere o campo vetorial ⃗𝐹(𝑥;𝑦)=(𝑦;2𝑥). Qual é a função 𝜕⃗𝐹𝜕𝑥−𝜕⃗𝐹𝜕𝑦?

Use o teorema de Green para calcular a integral da linha ⃗𝐹⋅⃗𝑟d, onde 𝐶 é a curva acima.

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