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Ajuda com a lição de casa

Aula: Séries de Maclaurin

Nesta aula, nós vamos aprender como representar funções exponenciais e trigonométricas como séries de potências, determinar a expansão em torno de zero e determinar o intervalo de convergência da série.

Atividade • 3 Questões

Q1:

Considere a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 .

Encontre 𝑓 ( 𝑥 ) ′ .

  • A 𝑒 𝑥
  • B l n 𝑥
  • C 𝑒 𝑥 − 1
  • D 𝑒 𝑥 𝑥 − 1 l n
  • E 𝑒 𝑥 𝑥 l n

Encontre 𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑛 ) , onde 𝑓 ( 𝑛 ) representa a 𝑛 (enésima) derivada de 𝑓 em relação a 𝑥 .

  • A 𝑒 𝑥
  • B 𝑒 𝑥 + 𝑒 ( − 1 ) ( 𝑛 − 2 ) ! 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 ( 𝑛 − 1 ) l n para 𝑛 > 1
  • C 𝑒 𝑥 − 𝑛
  • D 𝑒 𝑥 + 𝑒 ( − 1 ) ( 𝑛 − 2 ) ! 𝑥 𝑥 − 𝑛 𝑥 − 1 𝑛 ( 𝑛 − 1 ) l n para 𝑛 > 1
  • E ( − 1 ) ( 𝑛 − 2 ) ! 𝑥 𝑛 ( 𝑛 − 1 ) para 𝑛 > 1

E então, derive a série Maclaurin para 𝑒 𝑥 .

  • A 𝑒 = 𝑥 𝑛 ! 𝑥 ∞ 𝑛 = 0 𝑛
  • B 𝑒 = 𝑓 ( 𝑎 ) ( 𝑥 − 𝑎 ) 𝑛 ! 𝑥 ∞ 𝑛 = 1 ( 𝑛 ) 𝑛
  • C 𝑒 = 𝑥 𝑛 ! 𝑥 ∞ 𝑛 = 1 𝑛
  • D 𝑒 = 𝑓 ( 𝑎 ) ( 𝑥 − 𝑎 ) 𝑛 ! 𝑥 ∞ 𝑛 = 0 ( 𝑛 ) 𝑛
  • E 𝑒 = 𝑒 𝑛 ! 𝑥 ∞ 𝑛 = 0 𝑛

Qual é o raio de convergência 𝑅 da série Maclaurin para 𝑒 𝑥 ?

  • A 𝑅 = + ∞
  • B 𝑅 = 1 0 0
  • C 𝑅 = 𝑒
  • D 𝑅 = 1
  • ENão converge.

Q2:

Considere a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 s e n .

Quais são as quatro primeiras derivadas de 𝑓 em relação a 𝑥 ?

  • A 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s , e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) s e n
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s , e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) s e n
  • C 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) s e n
  • D 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s , e 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 ( 4 ) s e n
  • E 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s , e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) s e n

Escreva a fórmula geral para a 𝑛 (enésima) derivada de 𝑓 em relação a 𝑥 .

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) s e n
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) c o s
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 𝑛 𝜋 ) ( 𝑛 ) s e n
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) s e n
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) c o s

E então, derive a série Maclaurin para s e n 𝑥 .

  • A ∞ 𝑛 = 0 𝑛 2 𝑛 + 1 ( − 1 ) 𝑥 ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • B ∞ 𝑛 = 0 2 𝑛 𝑛 ( − 1 ) 𝑥 𝑛 !
  • C ∞ 𝑛 = 0 𝑛 2 𝑛 ( − 1 ) 𝑥 ( 2 𝑛 ) !
  • D ∞ 𝑛 = 0 𝑛 𝑛 ( − 1 ) 𝑥 𝑛 !
  • E ∞ 𝑛 = 0 2 𝑛 + 1 2 𝑛 + 1 ( − 1 ) 𝑥 ( 2 𝑛 + 1 ) !

Qual é o raio 𝑅 de convergência da série Maclaurin para s e n 𝑥 ?

  • A 𝑅 = + ∞
  • B 𝑅 = 2 𝜋
  • C 𝑅 = 1
  • D 𝑅 = 𝜋
  • E 𝑅 = 𝜋 2

Q3:

Considere a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s .

Quais são as primeiras quatro derivadas de 𝑓 em ordem a 𝑥 ?

  • A 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 s e n e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) c o s
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) c o s
  • C 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 c o s e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) s e n
  • D 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 s e n e 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 ( 4 ) c o s
  • E 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 s e n , 𝑓 ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s , 𝑓 ′ ′ ′ ( 𝑥 ) = 𝑥 s e n e 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 4 ) c o s

Escreva a forma geral da 𝑛 -ésima derivada de 𝑓 em ordem a 𝑥 .

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) c o s
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 𝑛 𝜋 ) ( 𝑛 ) c o s
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) c o s
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) s e n
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 𝑛 𝜋 2 ( 𝑛 ) s e n

Por fim, derive a série de Maclaurin de c o s 𝑥 .

  • A ∞ 𝑛 = 0 𝑛 2 𝑛 ( − 1 ) 𝑥 ( 2 𝑛 ) !
  • B ∞ 𝑛 = 0 2 𝑛 𝑛 ( − 1 ) 𝑥 𝑛 !
  • C ∞ 𝑛 = 0 𝑛 2 𝑛 + 1 ( − 1 ) 𝑥 ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • D ∞ 𝑛 = 0 𝑛 𝑛 ( − 1 ) 𝑥 𝑛 !
  • E ∞ 𝑛 = 0 2 𝑛 2 𝑛 ( − 1 ) 𝑥 ( 2 𝑛 ) !

Qual é o raio 𝑅 de convergência da série de Maclaurin de c o s 𝑥 ?

  • A 𝑅 = + ∞
  • B 𝑅 = 2 𝜋
  • C 𝑅 = 1
  • D 𝑅 = 𝜋
  • E 𝑅 = 𝜋 2
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