Aula: Integração Numérica: A Regra Trapezoidal Mathematics • Ensino Superior

Nesta aula, nós vamos aprender como aproximar integrais definidas utilizando a regra trapezoidal e estimar o erro ao utilizá-la.

Plano de aula

Os alunos serão capazes de

entender a derivação da fórmula utilizada para a regra dos trapézios;
aproximar a área entre uma curva e o eixo dividindo-o em um determinado número de trapézios e utilizando a fórmula;
identificar se uma aproximação utilizando a regra trapezoidal é uma superestimativa ou subestimativa;
calcular o erro porcentual ao usar a regra dos trapézios em comparação com o valor exato da integral.

Vídeo da aula

Lição de casa da aula

Q1:

A tabela a seguir mostra como o ponto médio e a regra trapezoidal são executados em estimar . O erro é a diferença do valor real da integral .

O que parece ser verdade sobre a razão de erros sucessivos para a regra do ponto médio?

O que parece ser verdade sobre a razão de erros sucessivos para a regra trapezoidal?

A regra do ponto médio subestima a integral e a regra trapezoidal a superestima. Qual propriedade geométrica do gráfico de explica isso?

Para um número fixo de intervalos , qual parece ser a relação entre a regra do ponto médio e os erros da regra trapezoidal?

A regra de Simpson pode ser expressa como a média ponderada . Usando a tabela acima com , temos um erro de Simpson de . Usando tecnologia, encontre o erro atual aproximado em 3 casas decimais.

Q2:

Para uma função fixa em um determinado intervalo, seja a integral estimada usando a regra do trapézio com subintervalos. Use o diagrama a seguir para relacionar a concavidade de com como estima bem .

Q3:

Considere uma função cujo gráfico é côncavo para cima no intervalo .

A reta que determina os pontos e é a tangente a reta para sobre o ponto médio do segmento .

Qual quadrilátero tem a área dada por , a estimativa da regra do trapézio da integral ?

Qual quadrilátero tem a área dada por , a estimativa da regra do ponto médio da integral ?

Por que a Área Área ?

Que relação você pode deduzir sobre os números , , e no caso em que o gráfico é côncavo para cima?