Aula: Utilizando Indução Matemática para Provar uma Fórmula com Somatório

Matemática

Nesta aula, nós vamos aprender como aplicar o método de indução matemática para provar uma fórmula com somatório.

Atividade

Q1:

Renato leu em um livro que 𝑟=𝑛(𝑛+1)2.Renato quer provar isso utilizando indução.

Primeiro, ele começa com o passo base substituindo 𝑛=1 em cada lado da equação. Ele calcula que o lado esquerdo, 𝑟, é igual a 1. Calcule o valor do lado direito e, portanto, determine se a base é verdadeira.

Renato assumiu que a fórmula de soma é verdadeira quando 𝑛=𝑘 dando a ele que 𝑟=𝑘(𝑘+1)2.Para o passo de indução, ele precisa mostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)2.Usando o fato de que =+(𝑘+1), substitua na suposição de Renato e simplifique o resultado para encontrar uma expressão para 𝑟.

Renato então faz a seguinte conclusão:

Se a nossa suposição é correta para 𝑛=𝑘, mostramos que a fórmula de soma está correta quando 𝑛=𝑘+1. Portanto, como mostramos que a fórmula da soma é verdadeira quando 𝑛=1, por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todos os números naturais 𝑛.

A conclusão de Renato está correta?

Q2:

Natália está tentando provar a fórmula de soma 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6. Ela verificou que a base está correta, assumiu que 𝑟=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6, e está tentando mostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)6.

Natália sabe que precisa expressar 𝑟 em termos de sua suposição para a 𝑟 mas ela não consegue lembrar o método. Determine qual das seguintes opções está correta.

Q3:

A Milena pretende provar, recorrendo à indução, que 𝑓(𝑛)=23 é divisível por 5 para todos os inteiros 𝑛1.

Primeiro, ela precisa de verificar o caso base, quando 𝑛=1. Substitua 𝑛=1 na expressão e determine o resultado quando é dividido por 5.

Em seguida, a Milena assume que 𝑓(𝑘)=23 é divisível por 5. Ela precisa agora de provar que 𝑓(𝑘+1)=23() é divisível por 5. Para o fazer, ela considera a diferença 𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘). Escreva esta diferença na forma 𝑎2𝑏3.

Nesta fase, não é claro se 𝑓(𝑘+1) é divisível por 5. A Milena observa que poderá substituir 𝑓(𝑘) na expressão. Escrevendo 72 como 52+22, reescreva a expressão de 𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘) para incorporar 𝑓(𝑘).

A Milena reorganiza a equação 𝑓(𝑘+1)=52+3𝑓(𝑘). Depois, ela chega à seguinte conclusão: se a hipótese estiver correta que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛=𝑘, então provámos que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛=𝑘+1. Uma vez que provámos que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛=1, provámos por indução matemática que a expressão é divisível por 5 para todos os inteiros 𝑛1.

A conclusão da Milena está correta?

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