Aula: Utilizando Indução Matemática para Provar uma Fórmula com Somatório

Nesta aula, nós vamos aprender como aplicar o método de indução matemática para provar uma fórmula com somatório.

Atividade: 2 Questões

Q1:

Primeiro, ele começa com o passo base substituindo 𝑛 = 1 em cada lado da equação. Ele calcula que o lado esquerdo, 𝑟 , é igual a 1. Calcule o valor do lado direito e, portanto, determine se a base é verdadeira.

Renato assumiu que a fórmula de soma é verdadeira quando 𝑛 = 𝑘 dando a ele que 𝑟 = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) 2 . Para o passo de indução, ele precisa mostrar que 𝑟 = ( 𝑘 + 1 ) ( 𝑘 + 2 ) 2 . Usando o fato de que = + ( 𝑘 + 1 ) , substitua na suposição de Renato e simplifique o resultado para encontrar uma expressão para 𝑟 .

Renato então faz a seguinte conclusão:

Se a nossa suposição é correta para 𝑛 = 𝑘 , mostramos que a fórmula de soma está correta quando 𝑛 = 𝑘 + 1 . Portanto, como mostramos que a fórmula da soma é verdadeira quando 𝑛 = 1 , por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todos os números naturais 𝑛 .

A conclusão de Renato está correta?

Q2:

Natália está tentando provar a fórmula de soma 𝑟 = 𝑛 ( 𝑛 + 1 ) ( 2 𝑛 + 1 ) 6 . Ela verificou que a base está correta, assumiu que 𝑟 = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 , e está tentando mostrar que 𝑟 = ( 𝑘 + 1 ) ( 𝑘 + 2 ) ( 2 𝑘 + 3 ) 6 .

Natália sabe que precisa expressar 𝑟 em termos de sua suposição para a 𝑟 mas ela não consegue lembrar o método. Determine qual das seguintes opções está correta.

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