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Aula: Utilizando Derivadas em Problemas de Otimização

Nesta aula, nós vamos aprender como utilizar derivadas que identifiquem a localização dos valores máximo e mínimo para otimizar as quantidades nos modelos.

Atividade • 23 Questões

Q1:

Encontre os dois números cuja soma é 74 e seu produto é o máximo possível.

  • A37, 37
  • B − 3 7 , 111
  • C148, − 7 4
  • D − 1 4 8 , 222

Q2:

Encontre os dois números cuja soma é 96 e seu produto é o máximo possível.

  • A48, 48
  • B − 4 8 , 144
  • C192, − 9 6
  • D − 1 9 2 , 288

Q3:

A soma dos lados de um paralelepípedo que tem de base um quadrado é 12 cm. Determine as dimensões que maximizam o volume.

  • A 1 cm, 1 cm, 1 cm.
  • B 2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • C 4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • D 1 cm, 2 cm, 2 cm.

Q4:

A soma dos lados de um paralelepípedo que tem de base um quadrado é 24 cm. Determine as dimensões que maximizam o volume.

  • A 2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • B 4 cm, 4 cm, 4 cm.
  • C 8 cm, 4 cm, 12 cm.
  • D 2 cm, 4 cm, 4 cm.

Q5:

Qual o volume máximo de um cilindro com área de superfície 2 4 𝜋 cm2? Apresente a resposta em termos de 𝜋 .

  • A 1 6 𝜋 cm3
  • B 8 𝜋 cm3
  • C 16 cm3
  • D 4 𝜋 cm3

Q6:

Qual o volume máximo de um cilindro com área de superfície 2 1 6 𝜋 cm2? Apresente a resposta em termos de 𝜋 .

  • A 4 3 2 𝜋 cm3
  • B 7 2 𝜋 cm3
  • C 432 cm3
  • D 3 6 𝜋 cm3

Q7:

Um pedaço retangular de papel cartão tem duas dimensões de 10 cm e 16 cm. Se quadrados congruentes de comprimento lateral 𝑥 cm são cortados de seus quatro cantos, e as partes projetadas são dobradas para cima para formar uma caixa sem tampa, calcule a dimensão da caixa formada quando seu volume é o máximo possível.

  • A 2 cm, 6 cm, 12 cm
  • B 6 cm, 2 cm, 4 cm
  • C 6 cm, 4 cm, 10 cm
  • D 2 cm, 8 cm, 14 cm

Q8:

Um pedaço retangular de papel cartão tem duas dimensões de 5 cm e 8 cm. Se quadrados congruentes de comprimento lateral 𝑥 cm são cortados de seus quatro cantos, e as partes projetadas são dobradas para cima para formar uma caixa sem tampa, calcule a dimensão da caixa formada quando seu volume é o máximo possível.

  • A 1 cm, 3 cm, 6 cm
  • B 3 cm, 1 cm, 2 cm
  • C 3 cm, 2 cm, 5 cm
  • D 1 cm, 4 cm, 7 cm

Q9:

Dado que a soma das áreas das superfícies de uma esfera e um cilindro é 1 0 0 0 𝜋 cm2 e os seus raios são iguais, determine o raio da esfera que torna a soma dos seus volumes o seu maior valor possível.

Q10:

Dado que a soma das áreas das superfícies de uma esfera e um cilindro é 8 1 0 𝜋 cm2 e os seus raios são iguais, determine o raio da esfera que torna a soma dos seus volumes o seu maior valor possível.

Q11:

Uma janela é feita de um semicírculo no topo de um retângulo, com um diâmetro igual à largura do retângulo. Dado que o perímetro da janela é 30 m, determine o raio do semicírculo que maximize a área da janela.

  • A 3 0 4 + 𝜋 m
  • B 4 + 𝜋 3 0 m
  • C 1 4 + 𝜋 m
  • D 3 0 2 + 𝜋 m
  • E 2 + 𝜋 𝜋 m

Q12:

Uma janela é feita de um semicírculo no topo de um retângulo, com um diâmetro igual à largura do retângulo. Dado que o perímetro da janela é 58 m, determine o raio do semicírculo que maximize a área da janela.

  • A 5 8 4 + 𝜋 m
  • B 4 + 𝜋 5 8 m
  • C 1 4 + 𝜋 m
  • D 5 8 2 + 𝜋 m
  • E 2 + 𝜋 𝜋 m

Q13:

Dado que o volume de um balão de ar quente cresce de acordo com a relação 𝑓 ( 𝑡 ) = 7 0 0 0 𝑡 𝑡 + 4 9 + 4 0 0 0 2 , onde o tempo é medido em horas, determine seu volume máximo.

Q14:

Dado que o volume de um balão de ar quente cresce de acordo com a relação 𝑓 ( 𝑡 ) = 6 0 0 0 𝑡 𝑡 + 9 + 6 0 0 0 2 , onde o tempo é medido em horas, determine seu volume máximo.

Q15:

Qual é a área máxima de um triângulo isósceles inscrito em uma circunferência de raio 47 cm? Dê sua resposta para o centésimo mais próximo.

Q16:

Qual é a área máxima de um triângulo isósceles inscrito em uma circunferência de raio 28 cm? Dê sua resposta para o centésimo mais próximo.

Q17:

Determine os pontos na curva 𝑦 = 2 𝑥 + 2 1 2 que estão mais próximos do ponto ( − 6 , 0 ) .

  • A − 7 ; √ 7 , − 7 ; − √ 7
  • B 5 ; √ 3 1 , 5 ; − √ 3 1
  • C − 4 ; √ 1 3 , − 4 ; − √ 1 3
  • D 7 ; √ 3 5 , 7 ; − √ 3 5

Q18:

Determine os pontos na curva 𝑦 = − 3 𝑥 + 2 4 2 que estão mais próximos do ponto ( − 3 , 0 ) .

  • A − 3 2 ; √ 1 1 4 2 , − 3 2 ; − √ 1 1 4 2
  • B 9 2 ; √ 4 2 2 , 9 2 ; − √ 4 2 2
  • C 0 ; 2 √ 6 , 0 ; − 2 √ 6
  • D 3 2 ; √ 7 8 2 , 3 2 ; − √ 7 8 2

Q19:

Encontre dois números cuja soma é 156 e a soma de cujos quadrados é o menor possível.

  • A78, 78
  • B − 3 4 4 , 500
  • C148, 8
  • D − 4 5 2 , 608

Q20:

Encontre dois números cuja soma é − 4 0 e a soma de cujos quadrados é o menor possível.

  • A − 2 0 , − 2 0
  • B − 7 3 , 33
  • C − 4 2 4 , 384
  • D − 4 6 8 , 428

Q21:

Um setor de um círculo tem de área 16 cm2. Determine o raio 𝑟 que minimize o seu perímetro e, em seguida, determine o ângulo correspondente 𝜃 em radianos.

  • A 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 2 r a d
  • B 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 2 r a d
  • C 𝑟 = 1 6 c m , 𝜃 = 1 8 r a d
  • D 𝑟 = 8 c m , 𝜃 = 1 2 r a d
  • E 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 1 6 r a d

Q22:

Um silo vertical cilíndrico de capacidade 3 8 4 𝜋 m3 será construído com uma cúpula semiesférica no topo. Se a pintura da cúpula custa três vezes mais que a pintura dos lados, que dimensões minimizarão o custo da pintura?

  • A raio = 4 m, altura = 24 m
  • B raio = 3 m, altura = 30 m
  • C raio = 8 m, altura = 24 m
  • D raio = 6 m, altura = 36 m
  • E raio = 5 m, altura = 8 m

Q23:

Um silo vertical cilíndrico de capacidade 1 2 8 𝜋 m3 será construído com uma cúpula semiesférica no topo. Se a pintura da cúpula custa quatro vezes mais que a pintura dos lados, que dimensões minimizarão o custo da pintura?

  • A raio = 4 m, altura = 8 m
  • B raio = 3 m, altura = 10 m
  • C raio = 8 m, altura = 8 m
  • D raio = 6 m, altura = 12 m
  • E raio = 5 m, altura = 8 m
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