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Aula: Integração por Frações Parciais com Fatores Lineares Repetidos

Atividade • 6 Questões

Q1:

Considere a função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 𝑥 𝑒 ) 2 que está definida em { 𝑒 } .

Determine a primitiva 𝐹 de 𝑓 tal que 𝐹 ( 0 ) = 2 . Quanto é 𝐹 ( 2 𝑒 ) ?

  • A 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 𝑒 | ) + 𝑒 𝑒 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 0 .
  • B 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 𝑒 | ) 𝑥 𝑒 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 1 .
  • C 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 𝑒 | ) 𝑒 𝑒 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 0 .
  • D 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 𝑒 | ) 𝑒 𝑒 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 2 .
  • E 𝐹 ( 𝑥 ) = ( | 𝑥 𝑒 | ) + 𝑒 𝑒 𝑥 l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 2 .

Será possível determinar a primitiva de 𝐺 que satisfaça 𝐺 ( 0 ) = 2 , em que 𝐺 ( 2 𝑒 ) = 1 ? Se sim, quanto é 𝐺 ( 𝑥 ) ?

  • Anão
  • BSim, 𝐺 ( 𝑥 ) = ( 𝑒 𝑥 ) + 𝑒 𝑒 𝑥 𝑥 < 𝑒 , ( 𝑥 𝑒 ) + 𝑒 𝑒 𝑥 + 1 𝑥 > 𝑒 . l n s e l n s e

O que determinou em cima parece violar o resultado que diz que quaisquer duas primitivas devem diferir por uma função constante, porque 𝐺 𝐹 não é uma função constante. Porque não existe contradição?

  • Aporque aquele resultado assume que o domínio é um intervalo
  • Bporque aquele resultado só válido às vezes; às vezes falha.
  • Cporque nem 𝐹 nem 𝐺 são deriváveis; aquele resultado aplica-se apenas a funções deriváveis
  • Dporque 𝐺 𝐹 é constante; toma o valor 0 em ( , 𝑒 ) e o valor 1 em ( 𝑒 , )
  • Eporque aquele resultado requer condições adicionais para as primitivas

Q2:

Determine 𝐹 tais que 𝐹 ( 𝑥 ) = 𝑥 ( 𝑥 𝑒 ) 2 e 𝐹 ( 0 ) = 2 .

  • A 𝐹 ( 𝑥 ) = ( 𝑒 𝑥 ) + 𝑒 𝑒 𝑥 l n
  • B 𝐹 ( 𝑥 ) = ( 𝑒 𝑥 ) + 𝑒 𝑥 𝑒 l n
  • C 𝐹 ( 𝑥 ) = ( 𝑒 𝑥 ) 𝑥 𝑒 𝑥 l n
  • D 𝐹 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 𝑒 ) 𝑥 𝑒 𝑥 l n
  • E 𝐹 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 𝑒 ) + 𝑒 𝑒 𝑥 l n

Q3:

Utilize frações parciais para calcular 6 𝑥 + 7 ( 𝑥 + 2 ) 𝑥 2 d .

  • A 6 | 𝑥 + 2 | + 5 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n 1
  • B 3 | 𝑥 + 2 | 4 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n 1
  • C 6 | 𝑥 + 2 | + 5 | 𝑥 + 2 | + 𝐾 l n l n
  • D 6 | 𝑥 + 2 | 5 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n 1
  • E 6 | 𝑥 + 2 | + 5 ( 𝑥 + 2 ) + 𝐾 l n 3

Q4:

Utilize frações parciais para determinar uma expressão analítica para o integral 3 𝑡 9 𝑡 + 8 𝑡 ( 𝑡 2 ) 𝑡 . d

  • A 2 ( 𝑥 ) + ( 2 𝑥 ) 1 𝑥 2 1 l n l n
  • B 2 ( 𝑥 ) + ( 𝑥 2 ) + 1 𝑥 2 1 l n l n
  • C 2 ( 𝑥 ) + ( 2 𝑥 ) 1 𝑥 2 l n l n
  • D 2 ( 𝑥 ) + ( 2 𝑥 ) + 1 𝑥 2 1 l n l n
  • E 2 ( 𝑥 ) + ( 𝑥 2 ) 1 𝑥 2 1 l n l n

Q5:

Utilize frações parciais para calcular 1 ( 𝑥 1 ) 𝑥 2 2 d .

  • A 1 4 | | | 𝑥 + 1 𝑥 1 | | | 𝑥 2 ( 𝑥 1 ) + 𝐾 l n 2
  • B 1 4 | | | 𝑥 + 1 𝑥 1 | | | 1 𝑥 1 + 𝐾 l n 2
  • C 1 2 | | | 𝑥 + 1 𝑥 1 | | | 𝑥 2 ( 𝑥 1 ) + 𝐾 l n 2
  • D 1 4 | | | 𝑥 + 1 𝑥 1 | | | + 𝑥 2 ( 𝑥 1 ) + 𝐾 l n 2
  • E 1 4 | ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 1 ) | 𝑥 2 ( 𝑥 1 ) + 𝐾 l n 2

Q6:

Utilize frações parciais para calcular 𝑥 ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 2 𝑥 + 1 ) 𝑥 2 2 d .

  • A 1 4 | | ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | + 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n 3
  • B 1 4 | | ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | + 1 𝑥 + 1 + 𝐾 l n 3
  • C 1 4 | | ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n 3
  • D 1 4 | | | ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | | + 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n 3
  • E 1 2 | | ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 + 1 ) | | + 1 2 𝑥 + 2 + 𝐾 l n 3
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