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Aula: Identidades da Soma e da Diferença de Ângulos

Nesta aula, nós vamos aprender como derivar as identidades de soma e diferença de ângulo, graficamente ou utilizando o círculo unitário, e utilizá-las para encontrar valores trigonométricos.

Atividade • 18 Questões

Q1:

Sendo s e n c o s c o s s e n s e n 6 0 3 0 βˆ’ 6 0 3 0 = πœƒ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , determine o valor de πœƒ em graus.

  • A 3 0 ∘
  • B 1 3 5 ∘
  • C 6 0 ∘
  • D 4 0 ∘
  • E 9 0 ∘

Q2:

Determine s e n ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) sendo s e n 𝐴 = βˆ’ 5 1 3 tal que 2 7 0 < 𝐴 < 3 6 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = 4 5 tal que 0 < 𝐡 < 9 0 ∘ ∘ .

  • A βˆ’ 6 5 5 6
  • B 5 6 6 5
  • C βˆ’ 5 6 6 5
  • D βˆ’ 1 6 6 5
  • E 1 6 6 5

Q3:

Encontre o valor de s e n ( 𝐡 βˆ’ 2 𝐴 ) dado t g 𝐴 = 4 3 onde 𝐴 ∈ ο€» 0 , πœ‹ 2  e t g 𝐡 = 2 4 7 onde 𝐡 ∈ ο€Ό πœ‹ , 3 πœ‹ 2  .

  • A 3 3 6 6 2 5
  • B βˆ’ 3 3 6 6 2 5
  • C 4 4 1 2 5
  • D βˆ’ 4 4 1 2 5

Q4:

𝐴 𝐡 𝐢 é um triÒngulo onde c o s 𝐴 = 3 5 e s e n 𝐡 = 4 5 . Encontre s e n 𝐢 sem usar uma calculadora.

  • A 2 4 2 5
  • B 2 5 2 4
  • C0
  • D βˆ’ 1

Q5:

Encontre s e n ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) dado s e n 𝐴 = 4 5 onde 9 0 < 𝐴 < 1 8 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = βˆ’ 3 5 onde 1 8 0 < 𝐡 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A βˆ’ 2 4 2 5
  • B βˆ’ 2 5 2 4
  • C 2 4 2 5
  • D0

Q6:

Determine c o s ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) dados c o s 𝐴 = 4 5 e c o s 𝐡 = 3 5 em que 𝐴 e 𝐡 sΓ£o Γ’ngulos agudos.

  • A 2 4 2 5
  • B 2 5 2 4
  • C βˆ’ 2 4 2 5
  • D0

Q7:

Encontre s e c ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) , dado s e n 𝐴 = βˆ’ 4 5 onde 1 8 0 < 𝐴 < 2 7 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = 1 2 1 3 onde 2 7 0 < 𝐡 < 3 6 0 ∘ ∘ .

  • A βˆ’ 6 5 1 6
  • B 5 6 6 5
  • C βˆ’ 1 6 6 5
  • D 1 6 6 5
  • E βˆ’ 5 6 6 5

Q8:

Determine s e n ( π‘Ž + 𝑏 ) sendo c o s π‘Ž = 2 4 2 5 e t g 𝑏 = 1 2 5 em que π‘Ž e 𝑏 sΓ£o dois Γ’ngulos agudos positivos.

  • A 3 2 3 3 2 5
  • B βˆ’ 3 2 3 3 2 5
  • C 3 2 5 3 2 3
  • D 2 5 3 3 2 5
  • E βˆ’ 2 5 3 3 2 5

Q9:

Consideremos as duas figuras mostradas, cada uma apresentando dois pontos no cΓ­rculo trigonomΓ©trico.

Como Γ© que a figura Γ  direita pode ser obtida a partir da figura Γ  esquerda?

  • Apor rotação de um Γ’ngulo de βˆ’ 𝛽 em torno da origem
  • Bpor rotação de um Γ’ngulo de 𝛽 βˆ’ 𝛼 em torno da origem
  • Cpor rotação de um Γ’ngulo de 𝛽 em torno da origem
  • Dpor rotação de um Γ’ngulo de 𝛼 em torno da origem
  • Epor rotação de um Γ’ngulo de βˆ’ 𝛼 em torno da origem

O que pode ser dito acerca dos triΓ’ngulos 𝑂 𝑀 𝑁 e 𝑂 𝑀 𝑁 β€² β€² ?

  • ASΓ£o congruente.
  • BSΓ£o diferentes.
  • CSΓ£o semelhantes.
  • DSΓ£o isΓ³sceles.
  • ESΓ£o equilΓ‘teros.

Determine as coordenadas de 𝑀 , 𝑁 , 𝑀 β€² e 𝑁 β€² .

  • A 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 1 , 0 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • B 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • C 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 ( 1 , 0 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² c o s s e n
  • D 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) s e n c o s , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) s e n c o s , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² s e n c o s
  • E 𝑀 ( 𝛽 , 𝛽 ) c o s s e n , 𝑁 ( 𝛼 , 𝛼 ) c o s s e n , 𝑀 ( 0 , 1 ) β€² , 𝑁 ( ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) ) β€² s e n c o s

Calcule as medidas de 𝑀 𝑁 e 𝑀 𝑁 β€² β€² .

  • A 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • B 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 𝑁 = 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • C 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • D 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 2 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n s e n , 𝑀 𝑁 = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s
  • E 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 𝑁 = √ 2 + 2 ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β€² β€² c o s

Recorra ao que foi abordado nas questΓ΅es anteriores para escrever uma expressΓ£o para c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) .

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • B c o s s e n s e n c o s c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • C c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 1 2 𝛼 𝛽 βˆ’ 1 2 𝛼 𝛽
  • E c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽

Q10:

Encontre c o s s e c ( 𝐴 + 𝐡 ) dado s e n 𝐴 = 4 5 onde 9 0 < 𝐴 < 1 8 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = βˆ’ 5 1 3 onde 1 8 0 < 𝐡 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A 6 5 1 6
  • B 5 6 6 5
  • C 1 6 6 5
  • D βˆ’ 1 6 6 5
  • E βˆ’ 5 6 6 5

Q11:

Calcule t g c o t g c o t g t g 1 6 + 7 6 1 βˆ’ 7 6 1 6 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A √ 3 3
  • B βˆ’ √ 3 3
  • C βˆ’ √ 3
  • D √ 3

Q12:

Num triÒngulo 𝐴 𝐡 𝐢 , 𝐴 e 𝐡 são Òngulos agudos, em que s e n 𝐴 = 4 5 e c o s 𝐡 = 3 5 . Sem recorrer a uma calculadora, determine o valor de c o s 𝐢 .

  • A 7 2 5
  • B βˆ’ 1 5
  • C βˆ’ 1 6 2 5
  • D 1 5
  • E 1 6 2 5

Q13:

Determine s e n ( π‘Ž βˆ’ 𝑏 ) sendo s e n π‘Ž = βˆ’ 4 5 tal que 2 7 0 < π‘Ž < 3 6 0 ∘ ∘ e c o s 𝑏 = βˆ’ 4 5 tal que 1 8 0 < 𝑏 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A1
  • B βˆ’ 1
  • C 7 2 5
  • D βˆ’ 7 2 5

Q14:

Determine c o s s e c ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) dados c o s 𝐴 = 7 2 5 e c o s 𝐡 = 3 5 em que 𝐴 e 𝐡 sΓ£o Γ’ngulos agudos.

  • A 1 2 5 4 4
  • B βˆ’ 4 5
  • C 4 4 1 2 5
  • D βˆ’ 4 4 1 2 5
  • E 4 5

Q15:

Calcule t g t g t g t g ο€»  βˆ’ ο€»  1 + ο€»  ο€»  5 πœ‹ 6 2 πœ‹ 3 5 πœ‹ 6 2 πœ‹ 3 .

  • A √ 3 3
  • B βˆ’ √ 3 3
  • C βˆ’ √ 3
  • D √ 3

Q16:

Determine s e n ( 𝐴 + 𝐡 ) dados c o s 𝐴 = 4 5 e c o s 𝐡 = 3 5 em que 𝐴 e 𝐡 são Òngulos agudos.

  • A1
  • B βˆ’ 7 2 5
  • C βˆ’ 1
  • D 7 2 5

Q17:

Determine s e n ( π‘₯ βˆ’ 𝑦 ) sabendo que 2 5 π‘₯ + 7 = 0 c o s com 9 0 < π‘₯ < 1 8 0 ∘ ∘ e c o s 𝑦 = 4 5 com 2 7 0 < 𝑦 < 3 6 0 ∘ ∘ .

  • A 3 5
  • B 5 3
  • C 1 1 7 1 2 5
  • D βˆ’ 3 5

Q18:

Determine c o s s e c ( 𝐴 + 𝐡 ) sabendo que s e n 𝐴 = βˆ’ 3 5 com 2 7 0 < 𝐴 < 3 6 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = βˆ’ 2 4 2 5 com 1 8 0 < 𝐡 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A 4 4 1 2 5
  • B 4 5
  • C 1 2 5 4 4
  • D βˆ’ 4 4 1 2 5
  • E βˆ’ 4 5
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