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Aula: Concavidade e Pontos de Inflexão Mathematics

Nesta aula, nós vamos aprender como determinar a concavidade de uma função, bem como seus pontos de inflexão, utilizando sua segunda derivada.

Plano de aula

Os alunos serão capazes de

compreender como é que a segundo derivada de uma função se relaciona com a sua concavidade e como aplicar o teste da segunda derivada;
determinar os intervalos nos quais uma função tem concavidade para cima ou concavidade para baixo;
compreender a relação entre pontos de inflexão e concavidade;
determinar os pontos de inflexão de uma função.

Lição de casa da aula

Q1:

Encontre os pontos de inflexão de .

Q2:

Vamos chamar uma função algebricamente côncava se sempre que é um ponto na reta numérica entre e . Então e podemos assumir que . Vamos chamar a concavidade usual de geométrica quando as inclinações ao longo do gráfico aumentarem com . Este exercício é para mostrar que a concavidade geométrica implica concavidade algébrica.

Com , se pontos , , e são colineares, então . Como essas pistas estão relacionadas se fica acima da reta ?

Na situação acima, o que podemos concluir se a relação entre as inclinações é a inclinação ?

Suponha que é geometricamente côncava e o gráfico é como mostrado.

Qual teorema prova que as retas e deve existir?

Qual de nossas suposições nos permite dizer que ?

O que podemos concluir agora que significa que, de fato, é algebricamente côncava?